Analytická geometrie
Elementární analytická geometrie
Apollonius z Pergy (asi 262-190 př. n. l.), známý svým současníkům jako „Velký geometr“, předznamenal svou knihou Konusy vývoj analytické geometrie o více než 1800 let. Kuželosečku definoval jako průsečík kužele a roviny (viz obrázek). S využitím Euklidových výsledků o podobných trojúhelnících a o sekantách kružnic nalezl vztah, který splňují vzdálenosti z libovolného bodu P kuželosečky ke dvěma kolmým přímkám, hlavní ose kuželosečky a tečně v koncovém bodě osy. Tyto vzdálenosti odpovídají souřadnicím bodu P a vztah mezi těmito souřadnicemi odpovídá kvadratické rovnici kuželosečky. Apollonius použil tento vztah k odvození základních vlastností kuželoseček. Viz kuželosečky.
Encyclopædia Britannica, Inc.
Další rozvoj souřadnicových systémů (viz obrázek) se v matematice objevil až poté, co pod vedením islámských a indických matematiků dozrála algebra. (Viz matematika: Islámský svět (8.-15. století) a matematika, jižní Asie). Na konci 16. století zavedl francouzský matematik François Viète první systematický algebraický zápis, který používal písmena pro znázornění známých a neznámých číselných veličin, a vyvinul výkonné obecné metody pro práci s algebraickými výrazy a řešení algebraických rovnic. Díky schopnosti algebraického zápisu již matematici nebyli při řešení problémů zcela závislí na geometrických číslech a geometrické intuici. Ti odvážnější začali opouštět standardní geometrický způsob myšlení, v němž lineární (první mocnina) proměnné odpovídaly délkám, čtverce (druhá mocnina) plochám a krychle (třetí mocnina) objemům, přičemž vyšší mocniny postrádaly „fyzikální“ interpretaci. K tomuto odvážnému kroku se jako jedni z prvních odhodlali dva Francouzi, matematik-filozof René Descartes a právník-matematik Pierre de Fermat.
Encyclopædia Britannica, Inc.
Descartes a Fermat nezávisle na sobě založili ve 30. letech 16. století analytickou geometrii tím, že přizpůsobili Viètovu algebru studiu geometrických loci. Rozhodujícím způsobem se posunuli za Vièteho tím, že použili písmena pro znázornění vzdáleností, které jsou proměnné, a nikoliv pevné. Descartes používal rovnice ke studiu geometricky definovaných křivek a zdůrazňoval potřebu uvažovat obecné algebraické křivky – grafy polynomiálních rovnic v x a y všech stupňů. Svou metodu demonstroval na klasickém problému: najít všechny body P tak, aby se součin vzdáleností z P k určitým přímkám rovnal součinu vzdáleností k jiným přímkám. Viz geometrie:
Fermat zdůraznil, že jakýkoli vztah mezi souřadnicemi x a y určuje křivku (viz obrázek). Pomocí této myšlenky přepracoval Apolloniovy argumenty do algebraických pojmů a obnovil ztracené dílo. Fermat naznačil, že jakoukoli kvadratickou rovnici v x a y lze dosadit do standardního tvaru některého z kuželoseček.
Encyclopædia Britannica, Inc.
Fermat své dílo nezveřejnil a Descartes záměrně ztížil jeho čtení, aby odradil „fušery“. Jejich myšlenky získaly všeobecné uznání až díky úsilí dalších matematiků v druhé polovině 17. století. Zejména nizozemský matematik Frans van Schooten přeložil Descartovy spisy z francouzštiny do latiny. Doplnil je o důležité vysvětlivky, stejně jako francouzský právník Florimond de Beaune a nizozemský matematik Johan de Witt. V Anglii popularizoval analytickou geometrii matematik John Wallis, který pomocí rovnic definoval kuželosečky a odvozoval jejich vlastnosti. Volně používal záporné souřadnice, ačkoli to byl Isaac Newton, kdo jednoznačně použil dvě (šikmé) osy k rozdělení roviny na čtyři kvadranty, jak ukazuje obrázek.
Analytická geometrie měla největší vliv na matematiku prostřednictvím kalkulu. Bez přístupu k možnostem analytické geometrie řešili klasičtí řečtí matematici, jako byl Archimedes (asi 285-212/211 př. n. l.), speciální případy základních problémů kalkulu: hledání tečen a krajních bodů (diferenciální kalkul) a délek oblouků, ploch a objemů (integrální kalkul). Renesanční matematiky přivedly zpět k těmto problémům potřeby astronomie, optiky, navigace, válečnictví a obchodu. Přirozeně se snažili využít sílu algebry k definování a analýze rostoucího počtu křivek.
Fermat vyvinul algebraický algoritmus pro nalezení tečny k algebraické křivce v bodě nalezením přímky, která má s křivkou v daném bodě dvojnásobný průsečík – v podstatě vynalezl diferenciální počet. Descartes zavedl podobný, ale složitější algoritmus pomocí kružnice. Fermat vypočítal plochy pod křivkami y = axk pro všechna racionální čísla k ≠ -1 součtem ploch vepsaných a opsaných obdélníků. (Viz vyčerpání, metoda.) Po zbytek 17. století pokračovalo v práci na základech kalkulu mnoho matematiků, včetně Francouze Gillese Personna de Roberval, Itala Bonaventury Cavalieriho a Britů Jamese Gregoryho, Johna Wallise a Isaaca Barrowa.
Newton a Němec Gottfried Leibniz způsobili na konci 17. století revoluci v matematice tím, že nezávisle na sobě prokázali možnosti kalkulu. Oba muži použili souřadnice k vývoji zápisů, které vyjadřovaly myšlenky kalkulu v plné obecnosti a přirozeně vedly k diferenčním pravidlům a základní větě kalkulu (spojující diferenciální a integrální počet). Viz analýza.
Newton prokázal význam analytických metod v geometrii, kromě jejich úlohy v kalkulu, když tvrdil, že každá kubická nebo algebraická křivka třetího stupně má jednu ze čtyř standardních rovnic,xy2 + ey = ax3 + bx2 + cx + d,xy = ax3 + bx2 + cx + d,y2 = ax3 + bx2 + cx + d,y = ax3 + bx2 + cx + d, pro vhodné souřadnicové osy. Toto tvrzení dokázal v roce 1717 skotský matematik James Stirling, pravděpodobně s Newtonovou pomocí. Newton rozdělil krychle na 72 druhů, jejichž celkový počet později opravil na 78.
Newton také ukázal, jak vyjádřit algebraickou křivku v blízkosti počátku pomocí zlomkové mocninné řady y = a1x1/k + a2x2/k + … pro kladné celé číslo k. Matematici od té doby používají tuto techniku ke studiu algebraických křivek všech stupňů.