Apollónius z Pergy

Elipsa (zeleně stínovaná) byla jedním z kuželoseček, které Apollónius studoval a pojmenoval.

Apollonius z Pergy (Pergaeus) (asi 262 př. n. l. – asi 190 př. n. l.) byl řecký geometr a astronom alexandrijské školy, známý svými spisy o kuželosečkách. Jeho novátorská metodologie a terminologie, zejména v oblasti kuželoseček, ovlivnila mnoho pozdějších učenců, včetně Ptolemaia, Francesca Maurolica, Isaaca Newtona a Reného Descarta.

Parabola (zeleně stínovaná) je další kuželosečka popsaná Apollóniem.

Hyperbola (vystínovaná zeleně) je třetí kuželosečka, kterou studoval Apollónius.

Byl to Apollónius, kdo dal elipse, parabole a hyperbole názvy, pod kterými jsou dnes známy. Připisuje se mu také hypotéza excentrických oběžných drah neboli deferentů a epicyklů, které mají vysvětlit zdánlivý pohyb planet a proměnlivou rychlost Měsíce. Apolloniova věta dokazuje, že dva modely mohou být za předpokladu správných parametrů ekvivalentní. Ptolemaios tuto větu popisuje v Almagestu 12.1. Apollónius také zkoumal měsíční teorii, kterou nazval Epsilon (ε). Na jeho počest byl na Měsíci pojmenován kráter Apollonius.

Život a hlavní dílo

Apollonius se narodil kolem roku 262 př. n. l., asi 25 let po Archimédovi. Rozkvetl za vlády Ptolemaia Euergetese a Ptolemaia Filopatora (247-205 př. n. l.). Jeho pojednání o kuželosečkách mu vyneslo jméno „Velký geometr“, což mu zajistilo slávu.

Z jeho pojednání se dochovalo pouze pojednání o kuželosečkách. Z ostatních mají historikové díky pozdějším autorům, zejména Pappovi, k dispozici názvy a určité údaje o jejich obsahu. Po prvním vydání osmiknihové Koniky přinesl Apollónius na popud Eudema z Pergamu druhé vydání. Když Apollón revidoval každou z prvních tří knih, poslal Eudemovi jeden výtisk; nejpodstatnější změny nastaly v prvních dvou knihách. Eudemus zemřel před dokončením zbytku revize, a tak Apollónius věnoval posledních pět knih králi Attalovi I. (241-197 př. n. l.). V řečtině se dochovaly pouze čtyři knihy, další tři jsou v arabštině, osmá nebyla nikdy objevena.

Ačkoli byl nalezen fragment latinského překladu z arabštiny ze třináctého století, teprve v roce 1661 pořídili Giovanni Alfonso Borelli a Abraham Ecchellensis překlad knih 5-7 do latiny. Ačkoli použili arabskou verzi Abú ‚l-Fatha z Ispahanu z roku 983, která se dochovala ve florentském rukopise, většina badatelů se dnes shoduje na tom, že nejlepším arabským překladem je překlad Hilala ibn Abi Hilala pro knihy 1-4 a Thabita ibn Qurra pro knihy 5-7.

Apollonius se zabýval čistou matematikou. Když byl dotázán na užitečnost některých svých vět ve 4. knize Konics, hrdě prohlásil, že „jsou hodny přijetí kvůli samotným demonstracím, stejně jako přijímáme mnoho jiných věcí v matematice z tohoto a žádného jiného důvodu“. A protože mnohé z jeho výsledků nebyly použitelné pro tehdejší vědu nebo techniku, Apollonius v předmluvě páté knihy Konics dále tvrdil, že „tento předmět patří k těm, které se zdají být hodny studia kvůli nim samotným.“

Konika

Apollonius uvádí, že v 1.-4. knize rozpracovává generování křivek a jejich základní vlastnosti uvedené v 1. knize podrobněji než dřívější pojednání a že řada tvrzení ve 3. knize a větší část 4. knihy jsou nová. Narážky na díla předchůdců, jako jsou Eukleidovy čtyři knihy o konikách, ukazují na dluh nejen vůči Eukleidovi, ale také vůči Cononovi a Nikotelovi.

Všeobecnost Apolloniova pojednání je pozoruhodná. Definuje a pojmenovává kuželosečky, parabolu, elipsu a hyperbolu. Každou z těchto křivek chápe jako základní vlastnost kuželosečky, která je ekvivalentem rovnice (později nazvané kartézská rovnice) aplikované na šikmé osy – například osy tvořené průmětnou a tečnou na jejím konci -, které získáme řezem šikmého kruhového kužele. (Šikmý kruhový kužel je takový, jehož osa nesvírá s přímkou úhel 90 stupňů. Naproti tomu pravý kruhový kužel je takový, jehož osa svírá s přímkou úhel 90 stupňů.) Na způsobu řezu kužele podle něj nezáleží. Ukazuje, že šikmé osy jsou pouze zvláštním případem, poté co dokázal, že základní vlastnost kužele lze vyjádřit ve stejném tvaru s ohledem na libovolný nový průměr a tečnu na jeho konci. Knihy 5-7 jsou tedy zjevně původní.

Apollonův génius dosahuje v páté knize svých největších výšin. Zde pojednává o matematických normálách (normála je přímka vedená kolmo k ploše nebo k jiné přímce) jako o minimálních a maximálních přímkách vedených z daných bodů ke křivce (nezávisle na vlastnostech tečny); pojednává o tom, kolik normál lze vést z určitých bodů; konstrukcí nachází jejich paty; uvádí věty, které určují střed křivosti v libovolném bodě a vedou také ke kartézské rovnici evoluty libovolného kuželosečky.

V knize Kuželosečky Apollónius dále rozvinul metodu, která je natolik podobná analytické geometrii, že jeho dílo bývá někdy považováno za dílo předcházející Descartovu práci asi o 1800 let. Jeho použití vztažných čar (jako je průměr a tečna) je v podstatě stejné jako naše moderní použití souřadnicového rámce. Na rozdíl od moderní analytické geometrie však nebral v úvahu záporné veličiny. Také na každou křivku po jejím získání nanášel souřadnicový systém. Odvozoval tedy rovnice z křivek, ale neodvozoval křivky z rovnic.

Další díla

Pappus zmiňuje další Apolloniova pojednání. Každé z nich bylo rozděleno do dvou knih a – spolu s Eukleidovými Daty, Porismy a Povrchovými loci a Apolloniovými Konikly – byly podle Pappa zahrnuty do souboru antické analýzy.

De Rationis Sectione

De Rationis Sectione (Řez poměrem) se snažil vyřešit určitý problém: Jsou-li dány dvě přímky a bod v každé z nich, narýsuj třetím daným bodem přímku protínající obě pevné přímky tak, aby části protnuté mezi danými body v nich a body průsečíku s touto třetí přímkou mohly mít daný poměr.

De Spatii Sectione

De Spatii Sectione (Řez plochou) pojednával o podobné úloze vyžadující, aby obdélník obsažený dvěma průsečíky byl roven danému obdélníku.

De Sectione Determinata

De Sectione Determinata (Determinovaný řez) se zabýval problémy způsobem, který lze nazvat analytickou geometrií jednoho rozměru; otázkou nalezení bodů na přímce, které byly v poměru k ostatním. Konkrétní problémy jsou následující: Dané jsou dva, tři nebo čtyři body na přímce, najděte na ní jiný bod tak, aby jeho vzdálenosti od daných bodů splňovaly podmínku, že čtverec na jednom nebo obdélník obsažený dvěma má daný poměr buď (1) ke čtverci na zbývajícím jednom nebo k obdélníku obsaženému zbývajícími dvěma, nebo (2) k obdélníku obsaženému zbývajícím jedním a další danou přímkou.

De Tactionibus

De Tactionibus (Tangencies) obsáhl následující obecnou úlohu: Jsou-li dány tři věci (body, přímky nebo kružnice) v poloze, popište kružnici procházející danými body a dotýkající se daných přímek nebo kružnic. Nejobtížnější a historicky nejzajímavější případ nastává, když tři dané věci jsou kružnice. V šestnáctém století předložil Vieta tento problém (někdy známý jako Apollónův problém) Adrianu Romanovi, který jej vyřešil pomocí hyperboly. Vieta poté navrhl jednodušší řešení, což ho nakonec vedlo k obnovení celého Apolloniova pojednání v drobném díle Apollonius Gallus.

De Inclinationibus

Předmětem spisu De Inclinationibus (Sklonění) bylo ukázat, jak lze přímku dané délky směřující k danému bodu vložit mezi dvě dané (přímé nebo kruhové) přímky.

De Locis Planis

De Locis Planis (Loci roviny) je sbírka vět týkajících se loci, jimiž jsou buď přímky, nebo kružnice.

Dědictví

Apollonius, známý jako „Velký geometr“, svými díly výrazně ovlivnil vývoj matematiky. Jeho slavná kniha Konusy zavedla pojmy parabola, elipsa a hyperbola. Vymyslel hypotézu excentrických oběžných drah, aby vysvětlil zdánlivý pohyb planet a proměnlivou rychlost Měsíce. Dalším přínosem pro matematiku je Apolloniova věta, která dokazuje, že dva modely mohou být při správných parametrech ekvivalentní.

Poznámky

• Boyer, Carl B. A History of Mathematics. John Wiley & Sons, 1991. ISBN 978-0471543977
• Fried, Michael N. a Sabetai Unguru. Conica Apollonia z Pergy: Apollonius: Text, kontext, podtext. Brill, 2001. ISBN 978-9004119779
• Heath, T.L. Treatise on Conic Sections. W. Heffer & Sons, 1961.

Všechny odkazy vyhledány 8. dubna 2016.

• Apollonius z Pergy. www-groups.dcs.st-and.ac.uk. Apollonius Summary.
• Apollonius‘ Tangency Problem, Circles. agutie.homestead.com.
• PDF skeny Heibergovy edice kuželoseček Apollonia z Pergy (public domain). www.wilbourhall.org.