Ben Green (matematik)

Většina Greenova výzkumu se týká analytické teorie čísel a aditivní kombinatoriky, ale má také výsledky v harmonické analýze a v teorii grup. Jeho nejznámější věta, kterou dokázal společně se svým častým spolupracovníkem Terencem Tao, říká, že existují libovolně dlouhé aritmetické progrese v prvočíslech: tato věta je dnes známa jako Greenova-Taova věta.

Mezi Greenovy rané výsledky v aditivní kombinatorice patří vylepšení výsledku Jeana Bourgaina o velikosti aritmetických progresí v součtových množinách a také důkaz Cameronovy-Erdősovy domněnky o bezsumových množinách přirozených čísel. Dokázal také lemma aritmetické regulárnosti pro funkce definované na prvních N {\displayyle N} přirozených číslech, do jisté míry analogické Szemerédiho lemmatu regulárnosti pro grafy.

V letech 2004-2010 ve společné práci s Terencem Tao a Tamarem Zieglerem rozvíjel tzv. fourierovskou analýzu vyššího řádu. Tato teorie souvisí s Gowersovými normami s objekty známými jako nilsequences. Název teorie je odvozen od těchto nilsequencí, které hrají analogickou roli jako znaky v klasické Fourierově analýze. Green a Tao použili Fourierovu analýzu vyššího řádu k představení nové metody pro počítání počtu řešení simultánních rovnic v určitých množinách celých čísel, včetně prvočísel. Ta zobecňuje klasický přístup využívající Hardyho–Littlewoodovu kruhovou metodu. Mnohé aspekty této teorie, včetně kvantitativních aspektů inverzní věty pro Gowersovy normy, jsou stále předmětem pokračujícího výzkumu.

Green také spolupracoval s Emmanuelem Breuillardem na tématech z teorie grup. Zejména společně s Terencem Taem dokázali strukturní větu pro aproximativní grupy, která zobecňuje Freimanovu-Ruzzovu větu o množinách celých čísel s malým zdvojením. Green má také práci, společnou s Kevinem Fordem a Seanem Eberhardem, o teorii symetrické grupy, zejména o tom, jaká část jejích prvků fixuje množinu velikosti k {\displaystyle k} .

Green a Tao mají také práci o algebraické kombinatorické geometrii, řešící Dirac-Motzkinovu domněnku (viz Sylvester-Gallaiova věta). Konkrétně dokazují, že pokud je dána libovolná množina n {\displaystyle n} bodů v rovině, které nejsou všechny kolineární, pak pokud je n {\displaystyle n} dostatečně velké, musí v rovině existovat alespoň n/2 {\displaystyle n/2} přímek obsahujících přesně dva z těchto bodů.

Kevin Ford, Ben Green, Sergej Konjagin, James Maynard a Terence Tao, nejprve ve dvou samostatných výzkumných skupinách a poté společně, zlepšili dolní mez pro velikost nejdelší mezery mezi dvěma po sobě jdoucími prvočísly o velikosti nejvýše X {\displaystyle X} . Podoba dříve nejznámější meze, v podstatě zásluhou Rankina, nebyla vylepšena 76 let.

Nedávno se Green zabýval otázkami v aritmetické Ramseyho teorii. Spolu s Tomem Sandersem dokázal, že je-li dostatečně velké konečné pole prvočíselného řádu obarveno pevným počtem barev, pak má toto pole prvky x , y {\displaystyle x,y} takové, že x , y , x + y , x y {\displaystyle x,y,x{+}y,xy} mají všechny stejnou barvu.

Green se také podílel na novém vývoji Croot-Lev-Pach-Ellenberg-Gijswijt o použití polynomiální metody k omezení velikosti podmnožin konečného vektorového prostoru bez řešení lineárních rovnic. Tyto metody přizpůsobil k tomu, aby v oborech funkcí dokázal silnou verzi Sárközyho věty.