Bodeho graf, rozpětí zisku a fázové rozpětí (plus diagramy)

Co je Bodeho graf

Bodeho graf je graf běžně používaný v technice řídicích systémů k určení stability řídicího systému. Bodeho graf mapuje frekvenční odezvu systému pomocí dvou grafů – Bodeho grafu velikosti (vyjadřuje velikost v decibelech) a Bodeho grafu fáze (vyjadřuje fázový posun ve stupních).

Bodeho grafy poprvé představil ve 30. letech 20. století Hendrik Wade Bode, když pracoval v Bell Labs ve Spojených státech. Ačkoli Bodeho grafy nabízejí relativně jednoduchou metodu výpočtu stability systému, nedokážou zpracovat přenosové funkce se singularitami v pravé polovině roviny (na rozdíl od Nyquistova kritéria stability).

Pochopení zesilových a fázových mezí je pro pochopení Bodeho grafů klíčové. Tyto pojmy jsou definovány níže.

Zisková mez

Čím větší je zisková mez (GM), tím větší je stabilita systému. Zesilovací rozpětí označuje velikost zesílení, kterou lze zvýšit nebo snížit, aniž by se systém stal nestabilním. Obvykle se vyjadřuje jako velikost v dB.

Zesilovací rozpětí můžeme obvykle odečíst přímo z Bodeho grafu (jak je znázorněno na obrázku výše). To se provádí tak, že se vypočítá svislá vzdálenost mezi křivkou velikosti (na Bodeho grafu velikosti) a osou x na frekvenci, kde Bodeho fázový graf = 180°. Tento bod je známý jako frekvence fázového křížení.

Je důležité si uvědomit, že zisk a rozpětí zisku nejsou totéž. Ve skutečnosti je Gain Margin zápornou hodnotou zisku (v decibelech, dB). To nám bude dávat smysl, až se podíváme na vzorec pro Gain margin.

Vzorec pro Gain margin

Vzorce pro Gain margin (GM) lze vyjádřit takto:

Kde G je zisk. Jedná se o velikost (v dB) odečtenou ze svislé osy grafu velikosti na frekvenci fázového křížení.

V našem příkladu znázorněném na výše uvedeném grafu je Gain (G) 20. Proto se při použití našeho vzorce pro rozpětí zisku rovná rozpětí zisku 0 – 20 dB = -20 dB (nestabilní).

Fázové rozpětí

Čím větší je fázové rozpětí (PM), tím větší bude stabilita systému. Fázová rezerva označuje velikost fáze, kterou lze zvýšit nebo snížit, aniž by se systém stal nestabilním. Obvykle se vyjadřuje jako fáze ve stupních.

Fázovou rezervu můžeme obvykle odečíst přímo z Bodeho grafu (jak je znázorněno na obrázku výše). To se provádí tak, že se vypočítá svislá vzdálenost mezi fázovou křivkou (na Bodeho fázovém grafu) a osou x na frekvenci, kde Bodeho graf velikosti = 0 dB. Tento bod je znám jako křížová frekvence zesílení.

Je důležité si uvědomit, že fázové zpoždění a fázová mez nejsou totéž. To bude dávat smysl, až se podíváme na vzorec pro fázovou rezervu.

Vzorec pro fázovou rezervu

Vzorce pro fázovou rezervu (PM) lze vyjádřit takto:

Kde je fázová prodleva (číslo menší než 0). Jedná se o fázi odečtenou ze svislé osy fázového grafu na frekvenci křížení zesílení.

Jako další příklad lze uvést, že pokud zesílení zesilovače s otevřenou smyčkou překračuje 0 dB na frekvenci, kde je fázové zpoždění -120°, pak je fázové zpoždění -120°. Proto je fázová rezerva tohoto zpětnovazebního systému -120° – (-180°) = 60° (stabilní).

Stabilita Bodeho grafu

Níže je uveden souhrnný seznam kritérií důležitých pro kreslení Bodeho grafů (a výpočet jejich stability):

1. Zisková rezerva: Větší bude zisková rezerva, větší bude stabilita systému. Odkazuje na velikost zesílení, které lze zvýšit nebo snížit, aniž by se systém stal nestabilním. Obvykle se vyjadřuje v dB.
2. Fázová mez: Fázová rezerva je větší, než je stabilita systému. Odkazuje na fázi, kterou lze zvýšit nebo snížit, aniž by se systém stal nestabilním. Obvykle se vyjadřuje ve fázích.
3. Křížová frekvence zesílení:
4. Fázová křižovatka: Odkazuje na frekvenci, při které křivka velikosti protíná osu nula dB v bode grafu:
5. Kmitočet rohu:
6. Rezonanční frekvence: Frekvence, při které se obě asymptoty protnou nebo setkají, se nazývá zlomová nebo rohová frekvence:
7. Faktory: Hodnota frekvence, při které má modul G (jω) vrcholovou hodnotu, se nazývá rezonanční frekvence:
8. Sklon: Každá přenosová funkce smyčky {tj. G(s) × H(s)} je součinem různých činitelů, jako je konstantní člen K, integrální činitelé (jω), činitelé prvního řádu ( 1 + jωT)(± n), kde n je celé číslo, činitelé druhého řádu nebo kvadratické činitele:
9. Úhel:

Nyní jsou uvedeny některé výsledky, které bychom si měli zapamatovat, abychom mohli vykreslit Bodeho křivku. Tyto výsledky jsou zapsány níže:

• Konstantní člen K: Tento činitel má sklon nula dB za dekádu. Tomuto konstantnímu členu neodpovídá žádná rohová frekvence. Fázový úhel spojený s tímto konstantním členem je rovněž nulový.
• Integrální činitel 1/(jω)n: Tento činitel má sklon -20 × n (kde n je celé číslo) dB na dekádu. Tomuto integrálnímu činiteli neodpovídá žádná rohová frekvence. Fázový úhel spojený s tímto integrálním činitelem je -90 × n. Zde je n rovněž celé číslo.
• Činitel prvního řádu 1/ (1+jωT): Tento činitel má sklon -20 dB na dekádu. Rohová frekvence odpovídající tomuto činiteli je 1/T radiánů za sekundu. Fázový úhel spojený s tímto prvním činitelem je -tan- 1(ωT).
• Činitel prvního řádu (1+jωT): Tento činitel má sklon 20 dB za dekádu. Rohová frekvence odpovídající tomuto činiteli je 1/T radiánů za sekundu. Fázový úhel spojený s tímto prvním činitelem je tan- 1(ωT) .
• Činitel druhého řádu neboli kvadratický činitel : : Tento činitel má sklon -40 dB za dekádu. Rohová frekvence odpovídající tomuto činiteli je ωn radiánů za sekundu. Fázový úhel spojený s tímto prvním činitelem je
  

  

Jak nakreslit Bodeho graf

Při zachování všech výše uvedených bodů jsme schopni nakreslit Bodeho graf pro jakýkoliv druh řídicího systému. Nyní si probereme postup kreslení Bodeho grafu:

1. Nahradíme s = jω v přenosové funkci otevřené smyčky G(s) × H(s).
2. Najdeme příslušné rohové frekvence a zapíšeme je do tabulky.
3. Nyní je zapotřebí, aby jeden polopřímý graf zvolil frekvenční rozsah tak, že graf by měl začínat frekvencí, která je nižší než nejnižší rohová frekvence. Na ose x vyznačte úhlové frekvence, na levé straně osy y vyznačte sklony tak, že uprostřed vyznačíte nulový sklon, a na pravé straně vyznačte fázový úhel tak, že uprostřed vezmete -180o.
4. Vypočítejte činitel zesílení a typ řádu soustavy.
5. Nyní vypočítejte sklon odpovídající každému činiteli.

Pro nakreslení Bodeho grafu velikosti:

• Vyznačte rohovou frekvenci na papíře polopřímky grafu.
• Vyznačte tyto činitele pohybem shora dolů v daném pořadí.
  1. Konstantní člen K.
  2. Integrální činitel
  3. Činitel prvního řádu
  4. Činitel prvního řádu (1+jωT).
  5. Druhý řád neboli kvadratický činitel:
     

     

• Nyní načrtněte přímku pomocí příslušného sklonu daného činitele. Změňte sklon při každé rohové frekvenci přičtením sklonu dalšího činitele. Získáte graf velikosti.
• Vypočítejte rezervu zesílení.

Pro nakreslení Bodeho fázového grafu:

1. Vypočítejte fázovou funkci sečtením všech fází činitelů.
2. Posuňte do uvedené funkce různé hodnoty, abyste zjistili fázi v různých bodech a nakreslete křivku. Získáte fázovou křivku.
3. Vypočítejte fázovou rezervu.

Bodeho kritérium stability

Podmínky stability jsou uvedeny níže:

1. Pro stabilní systém:
2. Pro mezní stabilní systém: Obě mezní hodnoty by měly být kladné nebo fázová mezní hodnota by měla být větší než mezní hodnota zesílení:
3. Pro nestabilní systém: Obě marže by měly být nulové nebo fázová marže by měla být rovna marži zesílení:

Výhody Bodeho grafu

1. Je založen na asymptotické aproximaci, která poskytuje jednoduchou metodu vykreslení logaritmické křivky velikosti.
2. Násobení různých velikostí se v přenosové funkci může považovat za sčítání, zatímco dělení za odečítání, protože používáme logaritmickou stupnici.
3. Pouze pomocí tohoto grafu se můžeme přímo vyjádřit ke stabilitě systému, aniž bychom museli provádět nějaké výpočty.
4. Bodeho grafy poskytují relativní stabilitu z hlediska zesílení a fázové rezervy.
5. Pokrývají také rozsah od nízkých frekvencí až po vysoké frekvence.

.