Bravaisova mřížka

V geometrii a krystalografii je Bravaisova mřížka, pojmenovaná podle Augusta Bravaise (1850), nekonečné pole diskrétních bodů generovaných souborem diskrétních translačních operací popsaných v trojrozměrném prostoru pomocí:

R = n 1 a 1 + n 2 a 2 + n 3 a 3 {\displaystyle \mathbf {R} =n_{1}\mathbf {a} _{1}+n_{2}\mathbf {a} _{2}+n_{3}\mathbf {a} _{3}}.

(1)

kde ni jsou libovolná celá čísla a ai jsou primitivní vektory, které leží v různých směrech (ne nutně vzájemně kolmých) a pokrývají mřížku. Volba primitivních vektorů pro danou Bravaisovu mřížku není jednoznačná. Základním aspektem každé Bravaisovy mřížky je, že pro jakoukoli volbu směru se bude mřížka při pohledu v tomto zvoleném směru jevit z každého diskrétního mřížkového bodu naprosto stejně.

V krystalografii je koncept Bravaisovy mřížky nekonečného pole diskrétních bodů rozšířen pomocí konceptu jednotkové buňky, která zahrnuje prostor mezi diskrétními mřížkovými body a také všechny atomy v tomto prostoru. Existují dva hlavní typy jednotkových buněk: primitivní jednotkové buňky a neprimitivní jednotkové buňky.

Primitivní jednotkovou buňku pro danou Bravaisovu mřížku lze zvolit více než jedním způsobem (každý způsob má jiný tvar), ale každý způsob bude mít stejný objem a každý způsob bude mít tu vlastnost, že mezi primitivními jednotkovými buňkami a diskrétními body mřížky lze vytvořit korespondenci jedna ku jedné. Zřejmou primitivní buňkou, kterou lze spojit s konkrétní volbou primitivních vektorů, je rovnoběžník jimi tvořený. To znamená množina všech bodů r tvaru:

r = x 1 a 1 + x 2 a 2 + x 3 a 3 kde 0 ≤ x i < 1 {\displaystyle \mathbf {r} =x_{1}\mathbf {a} _{1}+x_{2}\mathbf {a} _{2}+x_{3}\mathbf {a} _{3}\qquad {\text{where }}0\leq x_{i}<1}

(2)

Použití rovnoběžníku definovaného primitivními vektory jako jednotkové buňky má v některých případech tu nevýhodu, že není jasně patrná plná symetrie mřížky. Jedním z řešení tohoto problému je použití Wigner-Seitzovy primitivní buňky (sestávající ze všech bodů v prostoru, které jsou blíže k danému bodu mřížky než k jakémukoli jinému bodu mřížky), která skutečně zobrazuje plnou symetrii mřížky. Dalším řešením je použití neprimitivní jednotkové buňky, která zobrazuje plnou symetrii mřížky. Objem neprimitivní jednotkové buňky bude celočíselným násobkem objemu primitivní jednotkové buňky.

Jednotková buňka, ať už primitivní, nebo ne, musí při jednorázové replikaci pro každý diskrétní mřížový bod přesně vyplnit celý prostor bez překryvu a bez mezer.

Rozšířený koncept Bravaisovy mřížky, včetně jednotkové buňky, se používá k formální definici krystalového uspořádání a jeho (konečných) hranic. Krystal je tvořen periodickým uspořádáním jednoho nebo více atomů (báze nebo motiv), které se vyskytují přesně jednou v každé primitivní jednotkové buňce. Základ mohou tvořit atomy, molekuly nebo polymerní řetězce pevné látky. V důsledku toho krystal vypadá stejně při pohledu v libovolném směru z libovolných ekvivalentních bodů ve dvou různých jednotkových buňkách (dva body ve dvou různých jednotkových buňkách téže mřížky jsou ekvivalentní, pokud mají stejnou relativní polohu vzhledem k hranicím jednotlivých jednotkových buněk).

Dvě Bravaisovy mřížky se často považují za ekvivalentní, pokud mají izomorfní skupiny symetrie. V tomto smyslu existuje 14 možných Bravaisových mříží v trojrozměrném prostoru. Těchto 14 možných symetrických grup Bravaisových mříží je 14 z 230 prostorových grup. V kontextu klasifikace prostorových grup se Bravaisovy mřížky nazývají také Bravaisovy třídy, Bravaisovy aritmetické třídy nebo Bravaisova hejna

.