Analytisk geometri

BY admin
|

Elementær analytisk geometri

Apollonius af Perga (ca. 262-190 f.Kr.), af sine samtidige kendt som “den store geometriker”, var mere end 1.800 år forud for udviklingen af den analytiske geometri med sin bog Conics. Han definerede en kegle som skæringspunktet mellem en kegle og et plan (se figuren). Ved hjælp af Euklids resultater om ensartede trekanter og om sekanter af cirkler fandt han et forhold, som er opfyldt af afstandene fra ethvert punkt P på en kegle til to vinkelrette linjer, keglens hovedakse og tangenten ved et endepunkt af aksen. Disse afstande svarer til koordinater af P, og forholdet mellem disse koordinater svarer til en kvadratisk ligning af den kegleformede. Apollonius brugte denne relation til at udlede grundlæggende egenskaber ved kegleformer. Se keglesnit.

keglesnit
keglesnit

Keglesnittene opstår ved at skære et plan med en dobbeltkegle, som vist i figuren. Der findes tre forskellige familier af keglesnit: ellipsen (herunder cirklen), parablen (med én gren) og hyperbolaen (med to grene).

Encyclopædia Britannica, Inc.

Den videre udvikling af koordinatsystemer (se figuren) i matematikken opstod først, efter at algebraen var modnet under islamiske og indiske matematikere. (Se matematik: Den islamiske verden (8.-15. århundrede) og Matematik, sydasiatisk). I slutningen af det 16. århundrede introducerede den franske matematiker François Viète den første systematiske algebraiske notation ved hjælp af bogstaver til at repræsentere kendte og ukendte numeriske størrelser, og han udviklede kraftfulde generelle metoder til at arbejde med algebraiske udtryk og til at løse algebraiske ligninger. Med den algebraiske notations kraft var matematikerne ikke længere helt afhængige af geometriske figurer og geometrisk intuition til at løse problemer. De mere dristige begyndte at forlade den geometriske standardtankegang, hvor lineære (første potens) variabler svarede til længder, kvadrater (anden potens) til arealer og terninger (tredje potens) til volumener, idet højere potenser ikke havde nogen “fysisk” fortolkning. To franskmænd, matematikeren og filosoffen René Descartes og juristen og matematikeren Pierre de Fermat, var blandt de første til at tage dette dristige skridt.

Kartesiske koordinaterDer er mærket flere punkter i en todimensionel graf, kendt som det kartesiske plan. Bemærk, at hvert punkt har to koordinater, det første tal (x-værdi) angiver dets afstand fra y-aksen - positive værdier til højre og negative værdier til venstre - og det andet tal (y-værdi) angiver dets afstand fra x-aksen - positive værdier opad og negative værdier nedad.
Cartesiske koordinaterSkreppe flere punkter er mærket i en todimensionel graf, kendt som det kartesiske plan. Bemærk, at hvert punkt har to koordinater, det første tal (x-værdi) angiver dets afstand fra y-aksen – positive værdier til højre og negative værdier til venstre – og det andet tal (y-værdi) angiver dets afstand fra x-aksen – positive værdier opad og negative værdier nedad.

Encyclopædia Britannica, Inc.

Descartes og Fermat grundlagde uafhængigt af hinanden den analytiske geometri i 1630’erne ved at tilpasse Viètes algebra til studiet af geometriske loci. De gik afgørende videre end Viète ved at bruge bogstaver til at repræsentere afstande, der er variable i stedet for faste. Descartes brugte ligninger til at studere geometrisk definerede kurver, og han understregede behovet for at overveje generelle algebraiske kurver – grafer af polynomielle ligninger i x og y af alle grader. Han demonstrerede sin metode på et klassisk problem: at finde alle punkter P således, at produktet af afstandene fra P til visse linjer er lig med produktet af afstandene til andre linjer. Se geometri:

Få et Britannica Premium-abonnement og få adgang til eksklusivt indhold. Abonner nu

Fermat understregede, at ethvert forhold mellem x- og y-koordinater bestemmer en kurve (se figur). Ved hjælp af denne idé omformede han Apollonius’ argumenter i algebraiske termer og genetablerede det tabte arbejde. Fermat viste, at enhver kvadratisk ligning i x og y kan sættes ind i standardformen for et af de kegleformede afsnit.

PolynomialgrafenFiguren viser en del af grafen for polynomielligningen y = 3x4 - 16x3 + 6x2 + 24x + 1. Bemærk, at det ikke er nødvendigt at anvende den samme skala for x- og y-aksen.
Polynomisk grafFiguren viser en del af grafen for den polynomiske ligning y = 3×4 – 16×3 + 6×2 + 24x + 1. Bemærk, at det ikke er nødvendigt at bruge den samme skala for x- og y-aksen.

Encyclopædia Britannica, Inc.

Fermat udgav ikke sit arbejde, og Descartes gjorde det bevidst svært at læse for at afskrække “dabblere”. Deres ideer vandt kun generel accept gennem andre matematikeres indsats i sidste halvdel af det 17. århundrede. Især den hollandske matematiker Frans van Schooten oversatte Descartes’ skrifter fra fransk til latin. Han tilføjede vigtige forklaringer, og det samme gjorde den franske jurist Florimond de Beaune og den hollandske matematiker Johan de Witt. I England populariserede matematikeren John Wallis den analytiske geometri ved at bruge ligninger til at definere kegleformer og udlede deres egenskaber. Han brugte frit negative koordinater, selv om det var Isaac Newton, der utvetydigt brugte to (skrå) akser til at opdele planen i fire kvadranter, som vist i figuren.

Analytisk geometri fik sin største indflydelse på matematikken via regnearket. Uden adgang til den analytiske geometris kraft løste klassiske græske matematikere som Archimedes (ca. 285-212/211 f.Kr.) specialtilfælde af de grundlæggende problemer i regnearket: at finde tangenter og yderpunkter (differentialregning) og buelængder, arealer og volumener (integralregning). Renæssancens matematikere blev ført tilbage til disse problemer på grund af behovene inden for astronomi, optik, navigation, krigsførelse og handel. De søgte naturligvis at bruge algebraens kraft til at definere og analysere en voksende række kurver.

Fermat udviklede en algebraisk algoritme til at finde tangenten til en algebraisk kurve i et punkt ved at finde en linje, der har et dobbelt skæringspunkt med kurven i punktet – i det væsentlige opfandt han differentialregningen. Descartes introducerede en lignende, men mere kompliceret algoritme ved hjælp af en cirkel. Fermat beregnede arealerne under kurverne y = axk for alle rationale tal k ≠ -1 ved at summere arealerne af indskrevne og omskrevne rektangler. (Se udtømningsmetode.) I resten af det 17. århundrede blev grundlaget for regnearket videreført af mange matematikere, bl.a. franskmanden Gilles Personne de Roberval, italieneren Bonaventura Cavalieri og briterne James Gregory, John Wallis og Isaac Barrow.

Newton og tyskeren Gottfried Leibniz revolutionerede matematikken i slutningen af det 17. århundrede ved uafhængigt af hinanden at demonstrere regnearkettens kraft. Begge mænd brugte koordinater til at udvikle notationer, der udtrykte kalkuliens idéer i fuld almindelighed og førte naturligt til differentieringsregler og kalkuliens fundamentale sætning (der forbinder differential- og integralregning). Se analyse.

Newton demonstrerede betydningen af analytiske metoder i geometri, bortset fra deres rolle i regnearket, da han hævdede, at enhver kubisk- eller algebraisk kurve af grad tre har en af fire standardligninger,xy2 + ey = ax3 + bx2 + cx + d,xy = ax3 + bx2 + cx + d,y2 = ax3 + bx2 + cx + d,y2 = ax3 + bx2 + cx + d,y = ax3 + bx2 + cx + d, for passende koordinatakser. Den skotske matematiker James Stirling beviste denne påstand i 1717, muligvis med Newtons hjælp. Newton inddelte kubikken i 72 arter, et tal, der senere blev korrigeret til 78.

Newton viste også, hvordan man kan udtrykke en algebraisk kurve nær oprindelsen i form af den brøkdelte potenserie y = a1x1/k + a2x2/k + … for et positivt helt tal k. Matematikere har siden brugt denne teknik til at studere algebraiske kurver af alle grader.