Apollonius af Perga

En ellipse (grønt skraveret) var et af de keglesnit, som Apollonius undersøgte og navngav.

Apollonius af Perga (Pergaeus) (ca. 262 f.Kr. – ca. 190 f.Kr.) var en græsk geometer og astronom fra den alexandrinske skole, kendt for sine skrifter om keglesnit. Hans innovative metodologi og terminologi, især inden for keglesnit, påvirkede mange senere lærde, herunder Ptolemæus, Francesco Maurolico, Isaac Newton og René Descartes.

En parabel (grønt skraveret) er et andet keglesnit beskrevet af Apollonius.

En hyperbel (grønt skraveret) er et tredje keglesnit, som Apollonius studerede.

Det var Apollonius, der gav ellipsen, parablen og hyperbolaen de navne, som de nu er kendt under. Hypotesen om excentriske baner, eller deferent og epicykel, til forklaring af planeternes tilsyneladende bevægelse og månens varierende hastighed, tilskrives også ham. Apollonius’ sætning viser, at to modeller kan være ækvivalente med de rette parametre. Ptolemæus beskriver denne sætning i Almagest 12.1. Apollonius forskede også i måneteorien, som han kaldte Epsilon (ε). Apollonius-krateret på Månen blev opkaldt til hans ære.

Liv og hovedværk

Apollonius blev født omkring 262 f.Kr., ca. 25 år efter Arkimedes. Han blomstrede under Ptolemæus Euergetes’ og Ptolemæus Philopators regeringstid (247-205 f.Kr.). Hans afhandling om kegleformethed gav ham navnet “Den store geometriker”, hvilket sikrede hans berømmelse.

Af alle hans afhandlinger er det kun Kegleformethed, der er bevaret. Af de andre har historikerne titler og en vis indikation af deres indhold takket være senere forfattere, især Pappus. Efter den første udgave af konikken i otte bøger udgav Apollonius en anden udgave på forslag af Eudemus af Pergamum. Da han reviderede hver af de tre første bøger, sendte Apollonius Eudemus et eksemplar; de mest betydelige ændringer kom i de to første bøger. Eudemus døde, før resten af revisionen var afsluttet, så Apollonius dedikerede de sidste fem bøger til kong Attalus I (241-197 f.Kr.). Kun fire bøger er bevaret på græsk; tre andre er bevaret på arabisk; den ottende er aldrig blevet opdaget.

Selv om der er fundet et fragment af en latinsk oversættelse fra arabisk fra det trettende århundrede, var det først i 1661, at Giovanni Alfonso Borelli og Abraham Ecchellensis lavede en oversættelse af bøgerne 5-7 til latin. Selv om de brugte Abu ‘l-Fath af Ispahans arabiske version fra 983, som er bevaret i et florentinsk manuskript, er de fleste forskere nu enige om, at de bedste arabiske gengivelser er Hilal ibn Abi Hilals for Bøgerne 1-4 og Thabit ibn Qurra for Bøgerne 5-7.

Apollonius beskæftigede sig med ren matematik. Da han blev spurgt om nytten af nogle af sine teoremer i Bog 4 af Konikken, hævdede han stolt, at “de er værdige til at blive accepteret for demonstrationernes skyld i sig selv, på samme måde som vi accepterer mange andre ting i matematikken af denne og ingen anden grund”. Og da mange af hans resultater ikke var anvendelige i sin tids videnskab eller ingeniørvidenskab, hævdede Apollonius endvidere i forordet til den femte bog om konikken, at “emnet er et af dem, der synes værd at studere for deres egen skyld”.”

Konikken

Apollonius anfører, at han i bog 1-4 udarbejder genereringen af de kurver og deres grundlæggende egenskaber, der præsenteres i bog 1, mere udførligt end tidligere afhandlinger gjorde, og at en række sætninger i bog 3 og størstedelen af bog 4 er nye. Allusioner til forgængeres værker, såsom Euklids fire bøger om konikken, viser en gæld ikke kun til Euklid, men også til Conon og Nicoteles.

Den generelle karakter af Apollonius’ behandling er bemærkelsesværdig. Han definerer og navngiver keglesnit, parabola, ellipse og hyperbola. Han ser hver af disse kurver som en grundlæggende kegleegenskab, der svarer til en ligning (senere kaldet den kartesiske ligning) anvendt på skrå akser – for eksempel akser bestående af en diameter og tangenten ved dens ekstremitet – som fås ved at skære en skrå cirkulær kegle. (En skrå cirkulær kegle er en kegle, hvor aksen ikke danner en 90 graders vinkel med direktrixen. I modsætning hertil er en ret cirkelformet kegle en kegle, hvor aksen danner en 90-graders vinkel med retningslinjen). Den måde, keglen er skåret på, er ligegyldig, hævder han. Han viser, at de skrå akser kun er et særtilfælde, efter at have vist, at den grundlæggende kegleegenskab kan udtrykkes i samme form med henvisning til en hvilken som helst ny diameter og tangenten ved dens yderpunkt. Bøgerne 5-7 er således klart originale.

Apollonius’ geni når sine største højder i bog 5. Her behandler han matematiske normaler (en normal er en ret linje trukket vinkelret på en overflade eller på en anden ret linje) som minimale og maksimale rette linjer trukket fra givne punkter til kurven (uafhængigt af tangentens egenskaber); han diskuterer, hvor mange normaler der kan trækkes fra bestemte punkter; finder deres fødder ved konstruktion; og giver sætninger, der bestemmer krumningscentret i ethvert punkt og også fører til den kartesiske ligning af evoluten af ethvert keglesnit.

I Conics videreudviklede Apollonius en metode, der er så lig den analytiske geometri, at hans arbejde undertiden anses for at foregribe Descartes’ arbejde med ca. 1800 år. Hans anvendelse af referencelinjer (såsom en diameter og en tangent) er i det væsentlige den samme som vores moderne brug af en koordinatramme. I modsætning til moderne analytisk geometri tog han dog ikke hensyn til negative størrelser. Desuden lagde han koordinatsystemet oven på hver kurve, efter at kurven var blevet beregnet. Han udledte således ligninger fra kurverne, men han udledte ikke kurver fra ligninger.

Andre værker

Pappus nævner andre afhandlinger af Apollonius. Hver af disse var opdelt i to bøger, og – sammen med data, porismer og overfladeloci af Euklid og Apollonius’ konikker – blev de ifølge Pappus inkluderet i kroppen af den antikke analyse.

De Rationis Sectione

De Rationis Sectione (Skæring af et forhold) søgte at løse et bestemt problem: Givet to rette linjer og et punkt i hver, tegn gennem et tredje givet punkt en ret linje, der skærer de to faste linjer, således at de dele, der skæres mellem de givne punkter i dem og skæringspunkterne med denne tredje linje, kan have et givet forhold.

De Spatii Sectione

De Spatii Sectione (Skæring af et område) diskuterede et lignende problem, der kræver, at det rektangel, der er indeholdt i de to skæringspunkter, skal være lig med et givet rektangel.

De Sectione Determinata

De Sectione Determinata (Determineret Sektion) behandler problemer på en måde, der kan kaldes en analytisk geometri af én dimension; med spørgsmålet om at finde punkter på en linje, der stod i et forhold til de andre. De specifikke problemer er: Givet to, tre eller fire punkter på en ret linje, find et andet punkt på den, således at dets afstande fra de givne punkter opfylder betingelsen om, at kvadratet på det ene eller rektanglet indeholdt af to har et givet forhold enten, (1) til kvadratet på det resterende ene eller rektanglet indeholdt af de resterende to eller, (2) til rektanglet indeholdt af det resterende og en anden given ret linje.

De Tactionibus

De Tactionibus (Tangencies) omfavnede følgende generelle problem: Givet tre ting (punkter, rette linjer eller cirkler) i position, beskrives en cirkel, der går gennem de givne punkter og berører de givne rette linjer eller cirkler. Det vanskeligste og historisk set mest interessante tilfælde opstår, når de tre givne ting er cirkler. I det sekstende århundrede forelagde Vieta dette problem (undertiden kendt som det apollinske problem) for Adrianus Romanus, som løste det med en hyperbel. Vieta foreslog derpå en enklere løsning, hvilket i sidste ende førte til, at han gengav hele Apollonius’ afhandling i det lille værk Apollonius Gallus.

De Inclinationibus

Sigtet med De Inclinationibus (hældninger) var at demonstrere, hvordan en lige linje af en given længde, der tenderer mod et givet punkt, kunne indsættes mellem to givne (lige eller cirkulære) linjer.

De Locis Planis

De Locis Planis (Plane Loci) er en samling af sætninger vedrørende loci, der enten er lige linjer eller cirkler.

Legat

Apollonius’ værker, der er kendt som “Den store geometer”, havde stor indflydelse på matematikkens udvikling. Hans berømte bog, Conics, introducerede begreberne parabel, ellipse og hyperbel. Han udtænkte hypotesen om excentriske baner for at forklare planeternes tilsyneladende bevægelse og månens varierende hastighed. Et andet bidrag til matematikken er Apollonius’ sætning, som viser, at to modeller kan være ækvivalente, hvis de rigtige parametre er til stede.

Notes

• Boyer, Carl B. A History of Mathematics. John Wiley & Sons, 1991. ISBN 978-0471543977
• Fried, Michael N. og Sabetai Unguru. Apollonius af Perga’s Conica: Text, Context, Subtext. Brill, 2001. ISBN 978-9004119779
• Heath, T.L. Treatise on Conic Sections. W. Heffer & Sons, 1961.

Alle links hentet 8. april 2016.

• Apollonius af Perga. www-groups.dcs.dcs.st-and.ac.uk. Apollonius Summary.
• Apollonius’ Tangency Problem, Circles. agutie.homestead.com.
• PDF-scans af Heibergs udgave af Apollonius af Pergas Conic Sections (public domain). www.wilbourhall.org.