Ben Green (matematiker)

Størstedelen af Greens forskning er inden for analytisk talteori og additiv kombinatorik, men han har også resultater inden for harmonisk analyse og gruppeteori. Hans mest kendte sætning, som han beviste sammen med sin hyppige samarbejdspartner Terence Tao, fastslår, at der findes vilkårligt lange aritmetiske progressioner i primtalene: dette er nu kendt som Green-Tao-sætningen.

Blandt Greens tidlige resultater inden for additiv kombinatorik er en forbedring af et resultat af Jean Bourgain om størrelsen af aritmetiske progressioner i sumsets, samt et bevis for Cameron-Erdős formodning om sumfrie sæt af naturlige tal. Han har også bevist et aritmetisk regularitetslemma for funktioner defineret på de første N {\displaystyle N} naturlige tal, noget analogt til Szemerédi regularitetslemmaet for grafer.

Fra 2004-2010 udviklede han i et fælles arbejde med Terence Tao og Tamar Ziegler den såkaldte højere ordens Fourieranalyse. Denne teori relaterer Gowers-normer til objekter, der er kendt som nilsekvenser. Teorien har sit navn fra disse nilsekvenser, som spiller en analog rolle til den rolle, som karakterer spiller i den klassiske Fourieranalyse. Green og Tao brugte Fourier-analyse af højere orden til at præsentere en ny metode til at tælle antallet af løsninger til simultane ligninger i visse sæt af hele tal, herunder i primtal. Dette er en generalisering af den klassiske metode, der anvender Hardy–Littlewood-cirkelmetoden. Mange aspekter af denne teori, herunder de kvantitative aspekter af det omvendte teorem for Gowers-normerne, er stadig genstand for igangværende forskning.

Green har også samarbejdet med Emmanuel Breuillard om emner inden for gruppeteori. De har bl.a. sammen med Terence Tao bevist et strukturteorem for tilnærmede grupper, der generaliserer Freiman-Ruzsa-sætningen om mængder af hele tal med lille fordobling. Green har også arbejdet sammen med Kevin Ford og Sean Eberhard om teorien om den symmetriske gruppe, især om, hvor stor en del af dens elementer der fastlægger et sæt af størrelse k {\displaystyle k} .

Green og Tao har også en artikel om algebraisk kombinatorisk geometri, der løser Dirac-Motzkin-sætningen (se Sylvester-Gallai-teoremet). De beviser bl.a., at hvis n {\displaystyle n} punkter i planen, der ikke alle er kollineære, og hvis n {\displaystyle n} er stort nok, skal der mindst eksistere n / 2 {\displaystyle n/2} linjer i planen, som indeholder præcis to af punkterne.

Kevin Ford, Ben Green, Sergei Konyagin, James Maynard og Terence Tao, først i to separate forskningsgrupper og derefter i kombination, forbedrede den nedre grænse for størrelsen af den længste afstand mellem to på hinanden følgende primtal af størrelse højst X {\displaystyle X} . Formen af den tidligere bedst kendte grænse, som i det væsentlige skyldtes Rankin, var ikke blevet forbedret i 76 år.

For nylig har Green overvejet spørgsmål inden for aritmetisk Ramsey-teori. Sammen med Tom Sanders beviste han, at hvis et tilstrækkeligt stort endeligt felt af primorden er farvet med et fast antal farver, så har feltet elementer x , y {\displaystyle x,y} således at x , y , x + y , x y {\displaystyle x,y,x{+}y,xy} alle har den samme farve.

Green har også været involveret i den nye udvikling af Croot-Lev-Pach-Ellenberg-Gijswijt om anvendelse af en polynomialmetode til at begrænse størrelsen af delmængder af et endeligt vektorrum uden løsninger til lineære ligninger. Han tilpassede disse metoder til at bevise en stærk version af Sárközy’s sætning i funktionsfelter.