Binære operationer

Vi er ganske fortrolige med aritmetiske operationer som addition, subtraktion, division og multiplikation. Vi kender også til eksponentialfunktion, logfunktion osv. I dag vil vi lære om de binære operationer. Som navnet antyder, står binær for to. Betyder det, at vi kan bruge to funktioner på samme tid ved hjælp af binær operation? Lad os finde ud af det.

Foreslåede videoer

Binær operation

Sådan som vi får et tal, når to tal enten lægges sammen eller trækkes fra eller ganges eller divideres. De binære operationer forbinder to vilkårlige elementer i en mængde. Resultanten af de to er i samme mængde. Binære operationer på en mængde er beregninger, der kombinerer to elementer i mængden (kaldet operander) for at frembringe et andet element i samme mængde.

De binære operationer * på en ikke-tom mængde A er funktioner fra A × A til A. Den binære operation, *: A × A → A. Det er en operation af to elementer i mængden, hvis domæner og co-domæner er i samme mængde.

Addition, subtraktion, multiplikation, division, eksponentiel er nogle af de binære operationer.

Download Relations Cheat Sheet PDF ved at klikke på Download-knappen nedenfor

Egenskaber ved binær operation

• Slutningsegenskab: En operation * på en ikke-tom mængde A har lukkeegenskab, hvis a ∈ A, b ∈ A ⇒ a * b ∈ A.
• Additioner er de binære operationer på hver af mængderne af naturlige tal (N), hele tal (Z), rationale tal (Q), reelle tal(R), komplekse tal(C).

Additionerne på mængden af alle irrationelle tal er ikke de binære operationer.

• Multiplikation er en binær operation på hver af mængderne af naturlige tal (N), hele tal (Z), rationale tal (Q), reelle tal(R), komplekse tal(C).

Multiplikation på mængden af alle irrationelle tal er ikke en binær operation.

• Subtraktion er en binær operation på hver af mængderne af hele tal (Z), rationale tal (Q), reelle tal(R), komplekse tal(C).

Subtraktion er ikke en binær operation på mængden af naturlige tal (N).

• En division er ikke en binær operation på mængden af naturlige tal (N), heltal (Z), rationale tal (Q), reelle tal(R), komplekse tal(C).
• Eksponentiel operation (x, y) → xy er en binær operation på mængden af naturlige tal (N) og ikke på mængden af hele tal (Z).

Typer af binære operationer

Kommutativ

En binær operation * på en mængde A er kommutativ, hvis a * b = b * a, for alle (a, b) ∈ A (ikke-tom mængde). Lad addition være den opererende binære operation for a = 8 og b = 9, a + b = 17 = b + a.

Se flere emner under Relationer og funktioner

• Relationer
• Funktioner
• Typer af relationer
• Typer af funktioner
• Typer af funktioner
• Repræsentation af funktioner
• Komposition of Functions and Invertible Function
• Algebra of Real Functions
• Cartesian Product of Sets
• Binary Operations

Associative

Den associative egenskab ved binære operationer holder, hvis, for en ikke-tom mængde A kan vi skrive (a * b) *c = a*(b * c). Antag, at N er mængden af naturlige tal, og at multiplikation er den binære operation. Lad a = 4, b = 5 c = 6. Vi kan skrive (a × b) × c = 120 = a × (b × c).

Distributiv

Lad * og o være to binære operationer, der er defineret på en ikke-tom mængde A. De binære operationer er distributive, hvis a*(b o c) = (a * b) o (a * c) eller (b o c)*a = (b * a) o (c * a). Betragt * som multiplikation og o som subtraktion. Og a = 2, b = 5, c = 4. Så er a*(b o c) = a × (b – c) = 2 × (5 – 4) = 2. Og (a * b) o (a * c) = (a × b) – (a × c) = (2 × 5) – (2 × 4) = 10 – 6 = 2.

Identitet

Hvis A er den ikke-tomme mængde og * er den binære operation på A. Et element e er identitetselementet for a ∈ A, hvis a * e = a = e * a. Hvis den binære operation er addition(+), er e = 0, og for * er multiplikation(×), er e = 1.

Inverse

Hvis en binær operation * på en mængde A, der opfylder a * b = b * a = e, for alle a, b ∈ A. a-1 er inverterbar, hvis for a * b = b * a= e, a-1 = b. 1 er invertibel, når * er multiplikation.

Løst eksempel til dig

Spørgsmål 1: Vis, at division ikke er en binær operation i N og heller ikke subtraktion i N.

Svar : Lad a, b ∈ N

Fald 1: Binæroperation * = division(÷)

-: N × N→N givet ved (a, b) → (a/b) ∉ N (som 5/3 ∉ N)

Fald 2: Binæroperation * = Subtraktion(-)

-: N × N→N givet ved (a, b)→ a – b ∉ N (da 3 – 2 = 1 ∈ N, men 2-3 = -1 ∉ N).

Spørgsmål 2: Er alle binære operationer lukkede?

Svar: Er alle binære operationer lukkede?

Svar: Mange mængder, som du måske er bekendt med, er lukkede under visse binære operationer, mens mange ikke er det. Således forbliver mængden af ulige hele tal lukket under multiplikation. F.eks. er mængden af ulige hele tal ikke lukket under addition, da summen af to ulige tal ikke altid er ulige, faktisk er den aldrig ulige.

Spørgsmål 3: Er kvadratrod en binær operation?

Svar: En ikke-binær operation henviser til en matematisk proces, som kun kræver ét tal for at opnå noget. Addition, subtraktion, multiplikation og division er eksempler på binære operationer. På samme måde består eksempler på ikke-binære operationer af kvadratrødder, faktorialer samt absolutte værdier.

Spørgsmål 4: Hvad er identitetselementet i en binær operation?

Svar: Et identitetselement eller neutralt element i en binær operation henviser til en særlig form for element i en mængde med hensyn til en binær operation på denne mængde, som lader et element i mængden forblive upåvirket, når det kombineres med det. Vi bruger dette begreb i algebraiske strukturer som grupper og ringe.

Spørgsmål 5: Hvad er det binære overløb?

Svar: Overløb finder sted, når størrelsen af et tal overskrider det område, der er tilladt af bitfeltets størrelse. Summen af to identisk signerede tal kan meget vel overskride rækkevidden af bitfeltet for disse to tal, og derfor kan overløb være en mulighed i dette tilfælde.