Bode-plot, forstærkningsmargin og fasemargin (plus diagrammer)

Forståelse af gainmarginer og fasemarginer er afgørende for at forstå Bode-plots. Disse begreber er defineret nedenfor.

Gain Margin

Desto større Gain Margin (GM), desto større er systemets stabilitet. Forstærkningsmargenen henviser til den forstærkning, der kan øges eller mindskes, uden at systemet bliver ustabilt. Den udtrykkes normalt som en størrelse i dB.

Vi kan normalt aflæse forstærkningsmargenen direkte fra Bode-plottet (som vist i diagrammet ovenfor). Dette gøres ved at beregne den lodrette afstand mellem størrelseskurven (på Bode magnitudeplottet) og x-aksen ved den frekvens, hvor Bode-faseplottet = 180°. Dette punkt er kendt som faseovergangsfrekvensen.

Det er vigtigt at gøre sig klart, at forstærkning og forstærkningsmargin ikke er det samme. Faktisk er Gain Margin det negative af forstærkningen (i decibel, dB). Dette vil give mening, når vi ser på formlen for Gain Margin-formlen.

Gain Margin-formlen

Formlen for Gain Margin (GM) kan udtrykkes som:

Hvor G er forstærkningen. Dette er størrelsen (i dB) som aflæst fra den lodrette akse af størrelsesplottet ved fasekrydsningsfrekvensen.

I vores eksempel, der er vist i grafen ovenfor, er Gain (G) 20. Ved hjælp af vores formel for forstærkningsmargin er forstærkningsmarginen derfor lig med 0 – 20 dB = -20 dB (ustabil).

Fasemargin

Desto større fasemargin (PM), desto større vil systemets stabilitet være. Fasemarginalen henviser til den mængde fase, som kan øges eller sænkes, uden at systemet bliver ustabilt. Den udtrykkes normalt som en fase i grader.

Vi kan normalt aflæse fasemarginalen direkte fra Bode-plottet (som vist i diagrammet ovenfor). Dette gøres ved at beregne den lodrette afstand mellem fasekurven (på Bode-faseplottet) og x-aksen ved den frekvens, hvor Bode-størrelsesplottet = 0 dB. Dette punkt er kendt som forstærkningens overgangsfrekvens.

Det er vigtigt at gøre sig klart, at faseforsinkelse og fasemargin ikke er det samme. Dette vil give mening, når vi ser på formlen for fasemargin.

Formel for fasemargin

Formlen for fasemargin (PM) kan udtrykkes som:

Hvor er faseforsinkelsen (et tal mindre end 0). Dette er fasen som aflæst fra den lodrette akse i fasediagrammet ved forstærkningens overgangsfrekvens.

Som et andet eksempel, hvis en forstærkers open-loop forstærkning krydser 0 dB ved en frekvens, hvor faseforsinkelsen er -120°, så er faseforsinkelsen -120°. Derfor er fasemarginalen for dette feedback-system -120° – (-180°) = 60° (stabil).

Bode-plot-stabilitet

Nedenfor er en sammenfattet liste over kriterier, der er relevante for tegning af Bode-plots (og beregning af deres stabilitet):

1. Gain Margin: Større vil forstærkningsmargin større vil være systemets stabilitet. Den henviser til den forstærkning, der kan øges eller mindskes, uden at systemet bliver ustabilt. Den udtrykkes normalt i dB.
2. Fasemargin: Det kan være: Fasemargin: Større er fasemarginalen, større er systemets stabilitet. Den henviser til den fase, som kan øges eller sænkes uden at gøre systemet ustabilt. Den udtrykkes normalt i fase.
3. Gain Crossover Frequency: Den henviser til den frekvens, ved hvilken størrelseskurven skærer nul dB-aksen i bode-plottet.
4. Fase Crossover Frequency: Den henviser til den frekvens, hvor fasekurven skærer den negative gange 180o-aksen i dette plot.
5. Corner Frequency (hjørnefrekvens): Den frekvens, hvor de to asymptoter skærer eller møder hinanden, kaldes brudfrekvens eller hjørnefrekvens.
6. Resonansfrekvens: Den frekvensværdi, ved hvilken modulet af G (jω) har en maksimal værdi, kaldes resonansfrekvensen.
7. Faktorer: Hver sløjfeoverførselsfunktion { dvs. G(s) × H(s)} produkt af forskellige faktorer som f.eks. konstant term K, integralfaktorer (jω), førsteordensfaktorer ( 1 + jωT)(± n), hvor n er et helt tal, andenordens- eller kvadratiske faktorer.
8. Hældning: Der er en hældning svarende til hver faktor, og hældningen for hver faktor er udtrykt i dB pr. decade.
9. Vinkel: Der er en vinkel svarende til hver faktor, og vinklen for hver faktor er udtrykt i grader.

Nu er der nogle resultater, som man skal huske, for at man kan plotte Bode-kurven. Disse resultater er skrevet nedenfor:

• Konstant term K: Denne faktor har en hældning på nul dB pr. decade. Der er ingen hjørnefrekvens, der svarer til denne konstante term. Den fasevinkel, der er forbundet med dette konstante udtryk, er også nul.
• Integralfaktor 1/(jω)n: Denne faktor har en hældning på -20 × n (hvor n er et heltal)dB pr. decade. Der er ingen hjørnefrekvens, der svarer til denne integralfaktor. Den fasevinkel, der er forbundet med denne integralfaktor, er -90 × n. Her er n også et helt tal.
• Faktor af første orden 1/(1+jωT): Denne faktor har en hældning på -20 dB pr. decade. Den hjørnefrekvens, der svarer til denne faktor, er 1/T radian pr. sekund. Den fasevinkel, der er forbundet med denne første faktor, er -tan- 1(ωT).
• Faktor af første orden (1+jωT): Denne faktor har en hældning på 20 dB pr. decade. Den hjørnefrekvens, der svarer til denne faktor, er 1/T radian pr. sekund. Den fasevinkel, der er forbundet med denne første faktor, er tan- 1(ωT) .
• Anden ordensfaktor eller kvadratisk faktor : : Denne faktor har en hældning på -40 dB pr. dekade. Den hjørnefrekvens, der svarer til denne faktor, er ωn radian pr. sekund. Fasevinklen, der er forbundet med denne første faktor, er
  

  

Sådan tegnes Bode-plot

Hvis vi har alle ovenstående punkter i tankerne, er vi i stand til at tegne et Bode-plot for enhver form for reguleringssystem. Lad os nu diskutere proceduren for tegning af et Bode-plot:

1. Substituer s = jω i open loop-overførselsfunktionen G(s) × H(s).
2. Find de tilsvarende hjørnefrekvenser og tabulér dem.
3. Nu kræves en semilog-graf vælger et frekvensområde, således at plottet skal starte med den frekvens, der er lavere end den laveste hjørnefrekvens. Markér vinkelfrekvenser på x-aksen, markér hældninger på venstre side af y-aksen ved at markere en nulhældning i midten, og på højre side markér fasevinklen ved at tage -180o i midten.
4. Beregn forstærkningsfaktoren og systemets ordenstype.
5. Beregn nu hældningen svarende til hver faktor.

Til tegning af Bode-størrelsesplottet:

• Mærk hjørnefrekvensen på det halvlogiske diagrampapir.
• Tabeller disse faktorer ved at bevæge sig fra top til bund i den givne rækkefølge.
  1. Konstant term K.
  2. Integralfaktor
  3. Første ordensfaktor
  4. Første ordensfaktor (1+jωT).
  5. Faktor af anden orden eller kvadratisk faktor:
     

     

• Skitsér nu linjen ved hjælp af den tilsvarende hældning af den givne faktor. Ændr hældningen ved hver hjørnefrekvens ved at tilføje hældningen for den næste faktor. Du får størrelsesplottet.
• Beregn forstærkningsmargenen.

Til tegning af Bode-faseplottet:

1. Beregn fasefunktionen ved at tilføje alle faktorernes faser.
2. Substituer forskellige værdier til ovenstående funktion for at finde frem til fasen i forskellige punkter og tegne en kurve. Du får en fasekurve.
3. Beregn fasemarginalen.

Bode-stabilitetskriteriet

Stabilitetsbetingelserne er givet nedenfor:

1. For et stabilt system:
2. For et stabilt system: Begge marginaler skal være positive, eller fasemarginalen skal være større end forstærkningsmarginalen.
3. For et marginalt stabilt system: Begge marginaler skal være nul, eller fasemarginalen skal være lig med forstærkningsmarginalen.
4. For ustabilt system: For ustabilt system: Hvis en af dem er negativ, skal fasemarginalen være mindre end forstærkningsmarginalen.

Fordele ved en Bode-plot

1. Den er baseret på den asymptotiske tilnærmelse, som giver en enkel metode til at plotte den logaritmiske størrelseskurve.
2. Multiplikationen af forskellige størrelser, der forekommer i overførselsfunktionen, kan behandles som en addition, mens division kan behandles som en subtraktion, da vi bruger en logaritmisk skala.
3. Kun ved hjælp af dette plot kan vi direkte kommentere systemets stabilitet uden at foretage beregninger.
4. Bode-plots giver relativ stabilitet i form af forstærkningsmargin og fasemargin.
5. Det dækker også fra lavfrekvens til højfrekvensområdet.