Brahmagupta

AlgebraEdit

Brahmagupta gav løsningen af den generelle lineære ligning i kapitel 18 i Brahmasphutasiddhānta,

Forskellen mellem rupas, når den omvendes og divideres med forskellen mellem de ukendte, er den ukendte i ligningen. Rupas er under det, som kvadratet og den ukendte skal trækkes fra.

som er en løsning til ligningen bx + c = dx + e, hvor rupas henviser til konstanterne c og e. Den givne løsning svarer til x = e – c/b – d. Han gav endvidere to ækvivalente løsninger til den generelle kvadratiske ligning

18.44. Formindskes med midten kvadratroden af rupas multipliceret med fire gange kvadratet og forøges med kvadratet på midten ; resten divideres med to gange kvadratet. midten .
18.45. Hvad der er kvadratroden af rupas multipliceret med kvadratet forøget med kvadratet af halvdelen af den ukendte, formindskes med halvdelen af den ukendte divideres med kvadratet. den ukendte.

som henholdsvis er løsninger for ligningen ax2 + bx = c svarende til,

x = ± 4 a c + b 2 – b 2 a {\displaystyle x={\frac {\pm {\sqrt {4ac+b^{2}}}}-b}{2a}}}}

og

x = ± a c + b 2 4 – b 2 a {\displaystyle x={\frac {\pm {\sqrt {ac+{{\tfrac {b^{2}}}{4}}}}-{\tfrac {b}{2}}}}{a}}}

Han fortsatte med at løse systemer af samtidige ubestemte ligninger og erklærede, at den ønskede variabel først skal isoleres, og derefter skal ligningen divideres med den ønskede variabels koefficient. Han anbefalede især at bruge “pulveriseringsmaskinen” til at løse ligninger med flere ubekendte.

18.51. Træk de farver, der er forskellige fra den første farve, fra hinanden. divideret med den første er mål af den første. to med to betragtes som lignende divisorer, gentagne gange. Hvis der er mange , er pulverisatoren .

Som Diophantus’ algebra var Brahmagupta’s algebra synkoperet. Addition blev angivet ved at placere tallene ved siden af hinanden, subtraktion ved at placere en prik over subtrahenten og division ved at placere divisoren under dividend, svarende til vores notation, men uden streg. Multiplikation, udvikling og ukendte mængder blev repræsenteret ved forkortelser af passende udtryk. Omfanget af græsk indflydelse på denne synkopering, hvis nogen, er ikke kendt, og det er muligt, at både græsk og indisk synkopering kan stamme fra en fælles babylonisk kilde.

AritmetikRediger

De fire grundlæggende operationer (addition, subtraktion, multiplikation og division) var kendt af mange kulturer før Brahmagupta. Dette nuværende system er baseret på det hinduistiske arabiske talsystem og optrådte første gang i Brahmasphutasiddhanta. Brahmagupta beskriver multiplikationen således: “Multiplikanden gentages som en snor for kvæg, så ofte som der er integrerende dele i multiplikatoren og ganges gentagne gange med dem, hvorefter produkterne lægges sammen. Det er multiplikation. Eller multiplikanden gentages lige så mange gange, som der er integrerende dele i multiplikatoren”. Indisk aritmetik var kendt i middelalderens Europa som “Modus Indorum”, der betyder “indianernes metode”. I Brahmasphutasiddhanta blev multiplikation kaldt Gomutrika. I begyndelsen af kapitel 12 i Brahmasphutasiddhānta med titlen “Beregning” beskriver Brahmagupta i detaljer operationer på brøker. Læseren forventes at kende de grundlæggende aritmetiske operationer så langt som til at tage kvadratroden, selv om han forklarer, hvordan man finder kubikken og kubikroden af et helt tal, og senere giver han regler, der letter beregningen af kvadrater og kvadratrødder. Derefter giver han regler for håndtering af fem typer kombinationer af brøker: a/c + b/c; a/c × b/d; a/1 + b/d; a/c + b/d × a/c = a(d + b)/cd; og a/c – b/d × a/c = a(d – b)/cd.

SeriesEdit

Brahmagupta fortsætter derefter med at give summen af kvadrater og terninger af de første n hele tal.

12.20. Summen af kvadraterne er det ganget med det dobbelte af skridtet forøget med et divideret med tre. Summen af terningerne er kvadratet på at Bunker af disse med identiske kugler .

Her fandt Brahmagupta resultatet i form af summen af de første n hele tal, i stedet for i form af n som det er moderne praksis.

Han angiver summen af kvadraterne af de første n naturlige tal som n(n + 1)(2n + 1)/6 og summen af terningerne af de første n naturlige tal som (n(n(n + 1)/2)2
.

NulRediger

Brahmagupta’s Brahmasphuṭasiddhānta er den første bog, der giver regler for aritmetiske manipulationer, der gælder for nul og for negative tal. Brahmasphutasiddhānta er den tidligste kendte tekst, der behandler nul som et tal i sig selv, snarere end blot som et stedholderciffer i repræsentationen af et andet tal, som det blev gjort af babylonierne, eller som et symbol for en manglende mængde, som det blev gjort af Ptolemæus og romerne. I kapitel 18 i sin Brahmasphutasiddhānta beskriver Brahmagupta operationer på negative tal. Han beskriver først addition og subtraktion,

18.30. af to positive er positive, af to negative negative er negative; af et positivt og et negativt er deres forskel; hvis de er lige store er det nul. Summen af en negativ og et nul er negativ, af en positiv og et nul positiv, af to nuller er positiv, af to nuller er nul.

18.32. Et negativt minus nul er negativt, et negativt minus nul er negativt, et positivt positivt er positivt; nul er nul. Når et positivt skal trækkes fra et negativt eller et negativt fra et positivt, så skal det adderes.

Han fortsætter med at beskrive multiplikation,

18.33. Produktet af et negativt og et positivt er negativt, af to negative positivt, og af positive positivt; produktet af nul og et negativt, af nul og et positivt eller af to nuller er nul.

Men hans beskrivelse af division med nul adskiller sig fra vores moderne forståelse:

18.34. Et positivt divideret med et positivt eller et negativt divideret med et negativt er positivt; et nul divideret med et nul er nul; et positivt divideret med et negativt er negativt; et negativt divideret med et positivt er negativt.
18.35. Et negativ eller et positivt divideret med nul har dette som divisor, eller nul divideret med et negativt eller et positivt . Kvadratet af et negativ eller et positivt er positivt; af nul er nul. Det, som er kvadratet af, er kvadratrod.

Her fastslår Brahmagupta, at 0/0 = 0, og hvad angår spørgsmålet om a/0, hvor a ≠ 0, begik han sig ikke. Hans regler for aritmetik om negative tal og nul er ret tæt på den moderne forståelse, bortset fra at division med nul i moderne matematik er ladt udefineret.

Diophantinisk analyseRediger

Pythagoræiske tripletterRediger

I kapitel tolv af hans Brahmasphutasiddhanta giver Brahmagupta en formel, der er nyttig til at generere Pythagoræiske tripletter:

12.39. Højden af et bjerg ganget med en given multiplikator er afstanden til en by; den slettes ikke. Når den divideres med multiplikatoren forhøjet med to, er det springet for en af de to, der foretager den samme rejse.

Og med andre ord, hvis d = mx/x + 2, så tilbagelægger en rejsende, der “springer” lodret opad en afstand d fra toppen af et bjerg med højden m og derefter rejser i en lige linje til en by i en vandret afstand mx fra bjergets fod, den samme afstand som den, der stiger lodret ned ad bjerget og derefter rejser langs den vandrette til byen. Geometrisk sagt betyder dette, at hvis en retvinklet trekant har en base af længde a = mx og en højde af længde b = m + d, så er længden c af hypotenusen givet ved c = m(1 + x) – d. Og faktisk viser elementær algebraisk manipulation, at a2 + b2 = c2, når d har den angivne værdi. Hvis m og x er rationelle, er d, a, b og c det også. En pythagoræisk tripel kan derfor fås ud fra a, b og c ved at multiplicere hver af dem med det mindste fælles multiplum af deres nævner.

Pell’s ligningRediger

Brahmagupta fortsatte med at give en gentagelsesrelation til generering af løsninger til visse tilfælde af diophantinske ligninger af anden grad såsom Nx2 + 1 = y2 (kaldet Pell’s ligning) ved hjælp af den euklidiske algoritme. Den euklidiske algoritme blev af ham kendt som “pulveriseringsmaskinen”, da den nedbryder tal i stadig mindre stykker.

Firkanternes natur:
18,64. to gange kvadratroden af et givet kvadrat med en multiplikator og forøget eller formindsket med en vilkårlig . Produktet af det første , ganget med multiplikatoren, med produktet af det sidste , er det sidst beregnede.
18.65. Summen af tordenskjoldprodukterne er den første . Tilsætningsstoffet er lig med produktet af tilsætningsstofferne. De to kvadratrods, divideret med additivet eller subtraktivet, er de additive rupier.

Nøglen til hans løsning var identiteten,

( x 1 2 – N y 1 2 ) ( x 2 2 2 – N y 2 2 2 ) = ( x 1 x 2 + N y 1 y 2 ) 2 – N ( x 1 y 2 + x 2 y 1 ) 2 {\displaystyle (x_{1}^{2}-Ny_{1}^{2})(x_{2}^{2}-Ny_{2}^{2})=(x_{1}x_{2}+Ny_{1}y_{2})^{2}-N(x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1})^{2}}

som er en generalisering af en identitet, der blev opdaget af Diophantus,

( x 1 2 – y 1 2 ) ( x 2 2 2 – y 2 2 2 ) = ( x 1 x 2 + y 1 y 2 ) 2 – ( x 1 y 2 + x 2 y 1 ) 2 . {\displaystyle (x_{1}^{2}-y_{1}^{2})(x_{2}^{2}-y_{2}^{2})=(x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2})^{2}-(x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1})^{2}.}

Med brug af sin identitet og det faktum, at hvis (x1, y1) og (x2, y2) er løsninger til ligningerne x2 – Ny2 = k1 og x2 – Ny2 = k2, så er (x1x2 + Ny1y2, x1y2 + x2y2 + x2y1) en løsning til x2 – Ny2 = k1k2, kunne han finde integralløsninger til Pells ligning gennem en række ligninger af formen x2 – Ny2 = ki. Brahmagupta var ikke i stand til at anvende sin løsning ensartet for alle mulige værdier af N, men han kunne kun vise, at hvis x2 – Ny2 = k har en helhedsløsning for k = ±1, ±2 eller ±4, så har x2 – Ny2 = 1 en løsning. Løsningen af den generelle Pell’s ligning måtte vente til Bhaskara II i ca. 1150 e.Kr.

GeometriRediger

Brahmagupta’s formelRediger

Brahmaguptas mest berømte resultat inden for geometri er hans formel for cykliske kvadrilateraler

. Givet længderne af siderne i en hvilken som helst cyklisk firkant, gav Brahmagupta en tilnærmet og en nøjagtig formel for figurens areal,

12,21. Det omtrentlige areal er produktet af halvdelene af summen af siderne og de modsatte sider af en trekant og en firekant. Det nøjagtige er kvadratroden af produktet af halvdelene af summen af siderne formindsket ved siden af en firkant.

Så givet længderne p, q, r og s af en cyklisk firkant er det omtrentlige areal p + r/2 – q + s/2, mens, hvis man lader t = p + q + r + s/2, det nøjagtige areal er

√(t – p)(t – q)(t – q)(t – r)(t – s)(t – s).

Og selv om Brahmagupta ikke udtrykkeligt angiver, at disse kvadrilateraler er cykliske, fremgår det af hans regler, at dette er tilfældet. Herons formel er et specialtilfælde af denne formel, og den kan afledes ved at sætte en af siderne lig med nul.

TrekanterRediger

Brahmagupta dedikerede en væsentlig del af sit arbejde til geometri. En af sætningerne angiver længderne af de to segmenter, som en trekants grundflade er delt i ved dens højde:

12,22. Basen formindskes og forøges med forskellen mellem sidernes kvadrater divideret med basen; når de divideres med to, er de de sande segmenter. Lodret er kvadratroden fra kvadratet på en side formindsket med kvadratet på dens segment.

Sådan er længderne af de to segmenter 1/2(b ± c2 – a2/b).

Han giver endvidere et teorem om rationelle trekanter. En trekant med rationelle sider a, b, c og rationelt areal er af formen:

a = 1 2 ( u 2 v + v ) , b = 1 2 ( u 2 w + w ) , c = 1 2 ( u 2 v – v + u 2 w – w ) {\displaystyle a={\frac {1}{2}}}\left({\frac {u^{2}}}{v}}+v\right),\ \ b={\frac {1}{2}}}\left({\frac {u^{2}}}{w}}+w\right),\ \ \ c={\frac {1}{2}}}\left({\frac {u^{2}}}{v}}}-v+{\frac {u^{2}}}{w}}}-w\right)}

for nogle rationelle tal u, v og w.

Brahmagupta’s sætningRediger

Brahmagupta fortsætter,

12.23. Kvadratroden af summen af de to produkter af siderne og de modsatte sider i et ikke-uligt firkantet kvadrat er diagonalen. Kvadratet af diagonalen er formindsket med kvadratet af halvdelen af summen af basen og toppen; kvadratroden er vinkelretningen.

Så i et “ikke-uligt” cyklisk firekant (det vil sige et ligebenet trapez) er længden af hver diagonal √pr + qs.

Han fortsætter med at give formler for længder og arealer af geometriske figurer, f.eks. omkredsen af et ligebenet trapez og en scalene firkant samt længden af diagonalerne i en scalene cyklisk firkant. Dette fører frem til Brahmagupta’s berømte sætning,

12.30-31. Afbildning af to trekanter indenfor med ulige sider, de to diagonaler er de to baser. Deres to segmenter er hver for sig det øverste og det nederste segment i skæringspunktet mellem diagonalerne. De to af de to diagonaler er to sider i en trekant; basen . Dens vinkelret er den nederste del af vinkelretningen; den øverste del af vinkelretningen er halvdelen af summen af vinkelretningerne formindsket med den nederste .

PiEdit

I vers 40 angiver han værdierne for π,

12,40. Diameteren og kvadratet på radius ganget med 3 er den praktiske omkreds og arealet . De nøjagtige er kvadratroden af kvadraterne af disse to multipliceret med ti.

Så Brahmagupta bruger 3 som en “praktisk” værdi af π, og 10 ≈ 3,1622 … {\displaystyle {\sqrt {10}}\approx 3,1622\ldots }

som en “nøjagtig” værdi af π. Fejlen i denne “nøjagtige” værdi er mindre end 1 %.

Mål og konstruktionerRediger

I nogle af versene før vers 40 giver Brahmagupta konstruktioner af forskellige figurer med vilkårlige sider. Han manipulerede i det væsentlige retvinklede trekanter for at fremstille ligebenede trekanter, skalene trekanter, rektangler, ligebenede trapezoider, ligebenede trapezoider med tre lige store sider og en skalene cyklisk firkant.

Når han har givet værdien af pi, behandler han geometrien af plane figurer og faste legemer, såsom at finde volumener og overfladearealer (eller tomme rum, der er gravet ud af faste legemer). Han finder rumfanget af rektangulære prismer, pyramider og en firkantet pyramides kugleformede kugleformede kugleformede kugleformede kugleformede kugler. Han finder desuden den gennemsnitlige dybde af en række gruber. For rumfanget af en pyramidestump angiver han den “pragmatiske” værdi som dybden gange kvadratet på middelværdien af over- og undersidefladernes gennemsnitskanter, og han angiver det “overfladiske” rumfang som dybden gange deres gennemsnitlige areal.

TrigonometriBearbejd

SinustabelBearbejd

I kapitel 2 af hans Brahmasphutasiddhanta, med titlen Planetariske sande længdegrader, præsenterer Brahmagupta en sinustabel:

2.2-5. Sinus: Forfædrene, tvillinger; Ursa Major, tvillinger, Vedaerne; guderne, brande, seks; smagsstoffer, terninger, guderne; månen, fem, himlen, månen; månen, pile, sole

Her bruger Brahmagupta navne på genstande til at repræsentere cifrene i stedværdital, som det var almindeligt med numeriske data i sanskrit-afhandlinger. Progenitors repræsenterer de 14 stamfædre (“Manu”) i indisk kosmologi eller 14, “twins” betyder 2, “Ursa Major” repræsenterer de syv stjerner i Ursa Major eller 7, “Vedas” henviser til de 4 Vedaer eller 4, terninger repræsenterer antallet af sider på traditionstæren eller 6 osv. Disse oplysninger kan oversættes til listen over sinus, 214, 427, 638, 846, 1051, 1251, 1446, 1635, 1817, 1991, 2156, 2312, 1459, 2594, 2719, 2832, 2933, 3021, 3096, 3159, 3207, 3242, 3263 og 3270, hvor radius er 3270.

InterpolationsformelRediger

I 665 udtænkte og brugte Brahmagupta et specialtilfælde af Newton-Stirling interpolationsformlen af anden orden til at interpolere nye værdier af sinusfunktionen ud fra andre allerede tabulerede værdier. Formlen giver et skøn for værdien af en funktion f ved en værdi a + xh af dens argument (med h > 0 og -1 ≤ x ≤ 1), når dens værdi allerede er kendt ved a – h, a og a + h.

formlen for estimatet er:

f ( a + x h ) ≈ f ( a ) + x Δ f ( a ) + Δ f ( a ) + Δ f ( a – h ) 2 + x 2 Δ 2 f ( a – h ) 2 ! . {\displaystyle f(a+xh)\approx f(a)+x{\frac {\Delta f(a)+\Delta f(a-h)}{2}}}+x^{2}{\frac {\Delta ^{2}f(a-h)}{2!}}.}