Bravais-gitter

I geometri og krystallografi er et Bravais-gitter, opkaldt efter Auguste Bravais (1850), en uendelig række af diskrete punkter genereret af et sæt diskrete translationsoperationer, der i det tredimensionelle rum beskrives ved:

R = n 1 a 1 + n 2 a 2 + n 3 a 3 {\displaystyle \mathbf {R} =n_{1}\mathbf {a} _{1}+n_{2}\mathbf {a} _{2}+n_{3}\mathbf {a} _{3}}}

(1)

hvor ni er et vilkårligt helt tal og ai er primitive vektorer, som ligger i forskellige retninger (ikke nødvendigvis vinkelret på hinanden) og spænder over gitteret. Valget af primitive vektorer for et givet Bravais-gitter er ikke entydigt. Et grundlæggende aspekt af ethvert Bravais-gitter er, at for ethvert valg af retning vil gitteret fremstå nøjagtigt ens fra hvert af de diskrete gitterpunkter, når man ser i den valgte retning.

I krystallografien udvides Bravais-gitterbegrebet om en uendelig række af diskrete punkter ved hjælp af begrebet enhedscelle, som omfatter rummet mellem de diskrete gitterpunkter samt eventuelle atomer i dette rum. Der findes to hovedtyper af enhedsceller: primitive enhedsceller og ikke-primitive enhedsceller.

En primitiv enhedscelle for et givet Bravais-gitter kan vælges på mere end én måde (hver måde har en anden form), men hver måde vil have det samme volumen, og hver måde vil have den egenskab, at der kan etableres en en-til-en korrespondance mellem de primitive enhedsceller og de diskrete gitterpunkter. Den indlysende primitive celle, der kan knyttes til et bestemt valg af primitive vektorer, er det parallelepiped, der dannes af dem. Det vil sige, mængden af alle punkter r af formen:

r = x 1 a 1 + x 2 a 2 + x 3 a 3 hvor 0 ≤ x i < 1 {\displaystyle \mathbf {r} =x_{1}\mathbf {a} _{1}+x_{2}\mathbf {a} _{2}+x_{3}\mathbf {a} _{3}\qquad {\text{where }}}0\leq x_{i}<1}

(2)

Anvendelse af det parallelepiped, der er defineret af de primitive vektorer som enhedscelle, har i nogle tilfælde den ulempe, at den ikke klart afslører gitterets fulde symmetri. En løsning på dette er at anvende Wigner-Seitz primitive celle (bestående af alle punkter i rummet, der er tættere på det givne gitterpunkt end på ethvert andet gitterpunkt), som viser den fulde symmetri af gitteret. En anden løsning er at anvende en ikke-primitive enhedscelle, som viser gitterets fulde symmetri. Den ikke-primitive enhedscelles volumen vil være et helt tals multiplum af den primitive enhedscelles volumen.

Enhedscellen, uanset om den er primitiv eller ej, skal, når den replikeres én gang for hvert diskret gitterpunkt, fylde nøjagtigt hele rummet uden overlapning og uden huller.

Det udvidede Bravais-gitterbegreb, herunder enhedscellen, anvendes til formelt at definere et krystalarrangement og dets (begrænsede) grænser. En krystal består af et periodisk arrangement af et eller flere atomer (basis eller motiv), der forekommer præcis én gang i hver primitiv enhedscelle. Basen kan bestå af atomer, molekyler eller polymerstrenge af fast stof. Som følge heraf ser krystallen ens ud, når den ses i en given retning fra ethvert ækvivalent punkt i to forskellige enhedsceller (to punkter i to forskellige enhedsceller i det samme gitter er ækvivalente, hvis de har samme relative position i forhold til deres individuelle enhedscellegrænser).

To Bravais-gitter anses ofte for ækvivalente, hvis de har isomorfe symmetrigrupper. I denne forstand er der 14 mulige Bravais-gitter i det tredimensionelle rum. De 14 mulige symmetriske grupper af Bravais-gitter er 14 af de 230 rumgrupper. I forbindelse med rumgruppeklassifikationen kaldes Bravais-gitterne også Bravais-klasser, Bravais-aritmetiske klasser eller Bravais-flokke.