Fokus på

Første beregnings- og regnemaskiner: Fra abacus til Babbage

Abacus

Der findes en lang historie om opfindelsen af regnemaskiner og beregningsmaskiner. Den tidligste registrerede regnemaskine er abakussen. Abakussen, der blev brugt som et simpelt regneapparat til at udføre aritmetik, dukkede højst sandsynligt først op i Babylonien (det nuværende Irak) for over 5.000 år siden. Dens mere velkendte form i dag stammer fra den kinesiske version, der er afbildet nedenfor.

Abakussen er mere et tælleapparat end en egentlig regnemaskine. (Se figur 1.) Ikke desto mindre blev den i århundreder brugt som et pålideligt middel til at foretage additioner og subtraktioner.

Al-Khwarizmi

De fleste detaljer om den fremtrædende matematiker Abu Ja’far Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi’s liv er ikke kendt. (Se figur 2.) Vi ved dog, at han blev født omkring 780 i Baghdad og døde omkring 850. Al-Khwarizimi var en af de mere berømte lærde i Visdommens Hus i Baghdad, det første større bibliotek siden Alexandria.

I et af sine mest berømte værker tilbød al-Khwarizimi geometriske demonstrationer eller numeriske beviser, som hidtil var ukendte for europæerne. Bogen indeholdt ordet “al-jabr” i titlen, som betød “transposition”. Senere døbte europæerne denne nye måde at tænke aritmetik på som “algebra”.

For vores formål er det dog hans latinske navn – “Algoritmi” – der er mest betydningsfuldt for computerens historie. Det blev synonymt med en ny måde at ræsonnere på, som blev kaldt en “algoritme”. Dette betegner en forståelig trin-for-trin-proces, der er udtænkt til at løse et matematisk problem. Således er forbindelsen mellem begreberne beregning og mekanisme uudsletteligt smedet.

Raymon Lull

Det var ikke alle tidlige computerapparater, der var beregnet til at beregne tal. Raymon Lull (1230-1315), en spansk hofmand og senere konverteret munk og apologet, er den første person i historien, der vides at have udtænkt en “logisk” maskine – en maskine, der beregner logiske beviser i stedet for at lave aritmetik. Logik er naturligvis en videnskab om ræsonnementer. Den beskæftiger sig først og fremmest med den form for ræsonnement, der kaldes slutning, dvs. at udlede ny information fra tidligere kendt information. Logikken søger at formulere de principper, der adskiller berettigede fra uberettigede slutninger. Desuden er det et formelt studie, der postulerer, at slutninger kan måles ved hjælp af abstrakte metoder, der tager hensyn til egenskaber ved slutningen uafhængigt af dens indhold.

Den græske filosof Aristoteles (384-323 f.Kr.) var den første til eksplicit at anerkende dette princip om formalisme – at information kan indfanges troværdigt og efterfølgende udforskes ved hjælp af metoder, der udelukkende afhænger af selve symbolsystemet. I Prior Analytics fremlagde Aristoteles det syllogistiske system, som er det første dokumenterede forsøg på at repræsentere ræsonnementets egenskaber ved hjælp af rent formelle metoder. Formålet med syllogistikken var at vise, at vi udleder eller udleder nye oplysninger fra det, vi allerede ved, ved hjælp af gyldige standardformer for slutning. Ifølge dette synspunkt er al menneskelig ræsonnement eller logik en slags beregning.

Aristoteles’ syllogistik og logik blev studeret indgående af lærde i den græske, arabiske og senere vestlige kultur.

Lull (i latinsk form Raimundus Lullus) var ligeledes gennemsyret af denne aristoteliske tradition. Han udtænkte en maskine, der var sammensat af en række koncentriske cirkler, hvor hver cirkel indeholdt symboler, der repræsenterede forskellige begreber om et eller andet emne. (Se figur 3.) Cirklerne kunne drejes for at tilpasse eller beregne forskellige kombinationer. Hver kombination repræsenterede følgelig et udsagn om det pågældende emne. Den grundlæggende idé var at generere alle de mulige tanker eller idéer, der kunne udtrykkes om et givet emne, på mekanisk vis. Med konstruktive regler for, hvordan hjulene kan drejes, håbede Lull at kunne vise, hvordan sande udsagn kunne udledes af mængden af alle mulige udsagn.

Bortset fra dens excentriciteter er Lulls maskine baseret på to væsentlige idéer eller overbevisninger. For det første kan sprog og begreber repræsenteres tilstrækkeligt ved hjælp af fysiske symboler. For det andet kan sandheder genereres eller beregnes ved hjælp af mekaniske metoder. Disse idéer påvirkede en række personer, der fulgte efter ham.

John Napier og Napiers knogler

Dernæst bevæger vi os flere århundreder fremad og til Skotland. John Napier blev født i 1550 nær Edinburgh. Selv om de fleste detaljer om hans uddannelse er ukendte, har han tilsyneladende gået på St. Andrews og Cambridge. Napiers berømmelse som matematiker blev sikret med hans opdagelse af logaritmer. Tabeller med logaritmer gjorde det lettere for astronomer, bankfolk og andre at reducere de mere komplekse operationer som multiplikation og division til enklere additioner og subtraktioner. Vi vender tilbage til at se på brugen af logaritmer om kort tid.

I løbet af sin levetid var Napier dog mere kendt som opfinder af et beregningsværktøj kendt som “Napiers knogler”. Disse var en række stænger (ofte udskåret af knogler), som havde kvadrater indskrevet i dem. Ved hjælp af stængerne kunne man udføre multiplikationer ved at opsøge delprodukter og summere dem. Division kunne udføres på samme måde som en række opslag og subtraktioner.

Senere blev stængerne mekaniseret ved at erstatte dem med cylindre, der kunne drejes på plads. For en demonstration af, hvordan Napiers knogler fungerer, se

Napiers demo

The Slide Rule

Som tidligere nævnt havde John Napier indført brugen af logaritmer. Efterfølgende samarbejdede han med matematikkollegaen Henry Briggs (1561-1630), som konverterede hans oprindelige logaritmiske beregninger til den mere velkendte base-10-repræsentation, der anvendes i dag.

Nytteværdien af logaritmer kan ses i følgende vigtige resultater.

a * b = 10 ^ ( log (a) + log (b) ), og
a / b = 10 ^ ( log (a) – log (b) )

Man kunne dog ikke udnytte disse resultater uden at udføre nogle tidskrævende opgaver. For at gange to tal a og b,

1. skal man slå to logaritmer op.
2. Man skal addere dem.
3. Man skal slå det tilsvarende tal op, hvis logaritme er deres sum.

Edmund Gunter (1581-1626) har udformet en anordning, der kan afhjælpe denne situation. Den blev kaldt “Gunter’s Scale” og tegnede en logaritmisk skala på en to-fods lineal. Ved at addere og subtrahere længder var det muligt at få resultaterne af multiplikation og division.

William Oughtred (1574-1660) forbedrede Gunters enkelt lineal i 1630 ved at kombinere to cirkulære skalaer, der kunne flyttes i forhold til hinanden. De bevægelige skalaer eliminerede behovet for en divider og blev dermed den tidlige forfader til den moderne regnestok. Uanset om den er lige eller cirkulær, repræsenterer regnestokken en analog lommeregner, fordi resultaterne af operationerne er baseret på den kontinuerlige skala for afstande.

fortsæt