Modul 1 — Valg af en rotationsakse og beskrivelse af rotationsretningen

Fra PER wiki

Læringsmål

Når du har gennemgået dette modul, skal du kunne:

• Beskrive rotationen af et stift legeme om en fast akse.
• Definere vinkelhastighed i form af ændringshastigheden af vinkelpositionen.
• Angiv rotationsretningen for en stiv genstand og anvend højrehåndsreglen.

Rotationen af en stiv genstand i form af spin kan forekomme i kombination med translationsbevægelse. Vi vil lade beskrivelsen af translations- og rotationsbevægelse kombineret stå tilbage til senere. I dette modul vil vi koncentrere os om beskrivelsen af ren translationsbevægelse. Ren rotationsbevægelse kan være meget kompliceret, og nogle tilfælde ligger uden for rammerne af en introduktionsklasse i fysik.

For at forenkle ideerne om vinkelbevægelse vil vi foretage følgende begrænsninger:

1. Det stive legeme roterer om en fast rotationsakse.
2. Vi vil betragte objekter, der er tynde, f.eks. skiven i figur a) eller stangen i figur b).
3. Rotationen foregår i det plan, hvor objektet er indeholdt, f.eks. xy-planet i figuren nedenfor.
4. Rotationsaksen er vinkelret på det plan, hvor genstanden er indeholdt, z-aksen i figurerne nedenfor.

Et stift legeme, der er tvunget til at rotere om en fast akse

Det enkleste tilfælde af rotationsbevægelse er et stift legeme som skiven eller stangen vist ovenfor, der kan rotere om en aksel eller et hængsel, der er fast i rummet. Akslen eller hængselen translaterer ikke, men tillader rotation. Dette tilfælde illustrerer tydeligt begrebet en rotationsakse. Forestil dig et punkt, der ligger i centrum af skiven eller i enden af stangen, punkt Q, i figuren nedenfor. Når kroppen roterer, bevæger dette punkt sig ikke overhovedet. Ethvert andet punkt som f.eks. punkt B vil bevæge sig, når rotationen finder sted. Forestil dig en lige linje, der går gennem punkt Q og er vinkelret på det plan, hvor skiven eller stangen befinder sig, xy-planet i figuren. Denne linje bevæger sig ikke, mens legemet roterer. Enhver anden linje, der går gennem et andet punkt i objektet, som f.eks. den blå linje, der går gennem punkt B, vil bevæge sig. Denne unikke faste linje er rotationsaksen.

Sammenfattende skal vi, når vi taler om en fast rotationsakse, forestille os en linje, der er vinkelret på det plan, hvor det stive legeme roterer. Generelt vil vi betragte objektet som indeholdt og roterende inden for xy-planet, og derfor vil rotationsaksen være parallel med z-aksen. Skæringspunktet mellem denne linje og planen, punktet Q i figuren ovenfor, vil også være fast i rummet.

Rotationsbevægelse af et stift legeme, der roterer om en fast akse

Og tænk på en skive, der roterer om en fast akse, der går gennem dens centrum. Et punkt B i skiven, der befinder sig i en afstand r fra centrum, vil bevæge sig på en cirkelformet bane med radius r, den stregede cirkel i figur a).

Vinkelposition

Punkt B’s position kan beskrives ved hjælp af vinklen θ(t) målt fra +x-aksen. Vinklen θ kaldes punktets vinkelstilling.

Konvention: Vinkelstillingen defineres positiv, når den måles mod uret i forhold til +x-aksen.

Vinkelhastighed

Hastigheden af punkt B samt hastigheden af alle punkterne i skiven vil afhænge af ændringshastigheden af deres vinkelstillinger. Hvis skiven roterer en vinkel dθ = 25o mod uret i et tidsinterval dt =1 sek. vil punkterne B, C og alle punkterne inden for skiven rotere lige meget i det samme tidsinterval, figur c).

Vinkelhastigheden er defineret som ændringshastigheden af vinkelpositionen og noteres med bogstavet ω:

Enheder: = rad.s-1

Vinkelacceleration

Vinkelaccelerationen er ændringshastigheden af vinkelhastigheden.

Enheder: = rad.s-2

Retning

Den blotte angivelse af en akse og rotationshastigheden er ikke nok til at beskrive en rotationsbevægelse fuldt ud. Vi er også nødt til at diskutere retningen. Når først en akse er valgt, er de mulige rotationsretninger blevet reduceret til to muligheder – objektet kan dreje mod uret eller med uret set fra oven over planen (konventionelt set fra en + z-position). Disse to situationer er beskrevet i nedenstående figurer. Det er dog vigtigt at være forsigtig her, da den mod uret eller med uret retning af rotationen er afhængig af observatørens position. En skive, der drejer mod uret, når den ses oppefra, vil dreje med uret, når den ses nedefra.

Når vi arbejder hen imod en matematisk beskrivelse af rotation, vil vi beskrive rotation i form af en vektor. Det viser sig (som vi skal se), at en meget nyttig konvention er at tildele +z-koordinatakserne at ligge langs rotationsaksen og at tænke på de to muligheder mod uret og med uret som positive og negative rotationer om denne akse. Således vil den vinkelhastighedsvektor, der svarer til rotationen af skiven i den situation, der er vist i figurerne ovenfor, være:

For rotationen mod uret:

θ øges med tiden,ω = dθ/dt > 0 så peger vinkelhastigheden mod +z-aksen.

For rotationen med uret:

θ aftager med tiden, ω = dθ/dt < 0 så peger vinkelhastigheden mod -z-aksen:

Højrehåndsreglen

Denne konvention kaldes for højrehåndsreglen. For at bruge den skal du krølle fingrene på din højre hånd. Juster din hånd med det snurrende objekt (i dette tilfælde disken) således, at det at følge fingrene fra knoerne til fingerspidserne giver den samme rotation, som objektet oplever. Din tommelfinger vil så vise “retningen” af rotationen.

Højrehåndsreglen og (x,y,z)

Når man bruger et kartesisk koordinatsystem til at beskrive bevægelser i et plan, er det vigtigt at bruge et højrehåndskoordinatsystem, så definitionen af forskellige rotationsstørrelser kan defineres i form af vektorproduktet. I eksemplet ovenfor betyder det, at hvis du placerer din højre hånd, så de udstrakte fingre falder sammen med + x-aksen, og derefter drejer håndleddet, så fingrene bevæger sig mod y-aksen, mens du lukker hånden til en knytnæve, vil resultatet være, at din tommelfinger peger langs +z. Dette vil være i overensstemmelse med den sædvanlige konvention om at måle vinklen med udgangspunkt i x-aksen og betragte en vinkelforskydning mod uret som positiv.

Tegning af et roterende system

Synspunktet skal være rettet ind efter rotationsaksen.

Når man tegner et roterende system, er det vigtigt, at man retter synspunktet ind efter rotationsaksen. Med andre ord skal du tegne systemet, som om du ser lige langs aksen.

Repræsentation af vektorer, der peger lige mod dig eller lige væk fra dig.

Da vi tegner roterende systemer, som om vi kigger langs aksen, er det umuligt at tegne en pil, der repræsenterer aksen. Den lineære akse vil se ud som en prik fra vores synspunkt. Af denne grund er der en konvention for at tegne en pil, der peger direkte mod eller direkte væk fra observatøren. Konventionen er, at en pil, der peger direkte mod observatøren, tegnes som en indcirklet prik. En pil, der peger direkte væk, tegnes som et omkrystet “x”.

Afbildning af vektorer, der er rettet mod beskueren: dør fra oven og fra neden.

Billede: En dør er vist langs med den valgte rotationsakse fra forskellige perspektiver.