Topologisk analog signalbehandling

BY admin

| november 19, 2021

Bloch egenproblem
Egenskaber ved enhedscelleoverførselsmatrixen
Båndenes topologi
Symmetribeskyttelse
Numeriske metoder
Eksperimentelle metoder

Bloch egenproblem

Bulk-krystallen er endimensionel med gitterkonstant a og to forhindringer pr. celleenhed. Vi modellerer den og definerer dens topologi ved hjælp af overførselsmatrixen Mcell for en enhedscelle. Vi begynder med at definere de to spredningsmatricer S1 og S2 som fjernfeltspredningsmatricer for hver forhindring, når de er alene i monomodebølgeledningen. Disse matricer relaterer de udgående komplekse signaler på venstre (L) og højre (R) side af spredere bL og bR til de indfaldende signaler, aL og aR:

$$$\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {b_{{\mathrm{L}},{{i}}}} \\\ {b_{{{\mathrm{R}}},{{i}}}} \end{array}}}}}}}} \right) = S_i\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {a_{{\mathrm{L}},{{i}}}} \\\ {a_{{{\mathrm{R}}},{{i}}}} \end{array}} \right).$$

(2)

Bemærk, at vi indtil videre ikke antager, at de to matricer er lige store: cylindrene kan f.eks. have forskellige tværsnit, eller være forskudt i forhold til hinanden, osv. Disse matricer afhænger normalt også af vinkelfrekvensen ω. Hvis man antager, at energien bevares under spredningen, skal de være unitære. Vi kan derfor parametrisere dem meget generelt som

$$$$S_1 = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {e^{i\varphi _1}{\mathrm{cos}}\theta _1} & {e^{i\i\alpha _1}{\mathrm{sin}}}\theta _1} \\ { – e^{ – i\alpha _1}{\mathrm{sin}}}\theta _1e^{i{\mathrm{\Phi }}_1}}} & {e^{ – i\varphi _1}{\mathrm{cos}}\theta _1e^{i{{\mathrm{\Phi }}}_1}}} \end{array}} \right),$$

(3)

$$$S_2 = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {e^{i\varphi _2}{\mathrm{cos}}\theta _2} & {e^{i\i\alpha _2}{\mathrm{sin}}}\theta _2} \\\ { – e^{ – i\alpha _2}{\mathrm{sin}}}\theta _2e^{i{\mathrm{\Phi }}_2}}} & {e^{ – i\varphi _2}{\mathrm{cos}}\theta _2e^{i{{\mathrm{\Phi }}_2}}} \end{array}} \right),$$

(4)

hvor de frekvensafhængige vinkler θ1,2, α1,2, ϕ1,2 og Φ1,2 er entydige, når vi fastlægger referenceplanet, her ved den centrale position af spredningselementerne. Under forudsætning af reciprocitet (S21 = S12) må vi have 2α1,2 – Φ1,2 = π, hvilket begrænser os til tre parametre pr. spredningsmatrix, hvilket gør det muligt at skrive:

$$$$S_1 = \left( {\\begin{array}{*{20}{c}} {e^{i\varphi _1}{\mathrm{cos}}\theta _1} & {e^{i\i\alpha _1}{\mathrm{sin}}}\theta _1} \\\ {e^{{i\alpha _1}{\mathrm{sin}}}\theta _1} & { – e^{ – – i\varphi _1}{\mathrm{cos}}}\theta _1e^{2i\alpha _1}}} \end{array}} \right),$$

(5)

$$$S_2 = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {e^{i\varphi _2}{\mathrm{cos}}\theta _2} & {e^{i\i\alpha _2}{\mathrm{sin}}}\theta _2} \\\ {e^{i\alpha _2}{\mathrm{sin}}}\theta _2} & { – e^{ – i\varphi _2}{\mathrm{cos}}}\theta _2e^{2i\alpha _2}}} \end{array}} \right).$$

(6)

Man kan så udlede de tilhørende overførselsmatricer M1 og M2, defineret som

$$$\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{{b}}_{{\mathrm{R}},{{i}}}} \\\ {a_{{{\mathrm{R}}},{{i}}}} \end{array}} \right) = M_{{{{i}}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {a_{{\mathrm{L}},{{i}}}} \\\ {b_{{{{\mathrm{L}}},{{i}}}} \end{array}} \right)$$

(7)

og opnår

$$$M_1 = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{{{e^{i\alpha _1}}}}{{{{{\mathrm{sin}}}\theta _1}}}}} & { – \frac{{e^{ – i\varphi _1}e^{i\alpha _1}{\mathrm{cos}}}\theta _1}}}{{{{\mathrm{sin}}}\theta _1}}}} \\ { { – \frac{{e^{{i\varphi _1}e^{ – i\alpha _1}{\mathrm{cos}}\theta _1}}}{{{{{\mathrm{sin}}}\theta _1}}}} & {\frac{{e^{{ – i\alpha _1}}}}{{{{\mathrm{sin}}}\theta _1}}}}} \end{array}} \right),$$

(8)

$$$M_2 = \left( {\begin{array}{*{{20}{c}} {\frac{{{e^{{i\alpha _2}}}}{{{{{\mathrm{sin}}}\theta _2}}}}} & { – \frac{{e^{ – i\varphi _2}e^{i\alpha _2}{\mathrm{cos}}}\theta _2}}}{{{{\mathrm{sin}}}\theta _2}}}} \\\ { – \frac{{e^{{i\varphi _1}e^{ – i\alpha _2}{\mathrm{cos}}\theta _2}}}{{{{{\mathrm{sin}}}\theta _2}}}} & {\frac{{e^{{ – i\alpha _2}}}{{{{\mathrm{sin}}\theta _2}}}}} \end{array}} \right).$$

(9)

Hvis de to spredere er adskilt med en afstand d i en enhedscelle med gitterkonstant a, er den samlede overførselsmatrix for enhedscellen Mcell produktet:

$$${\it{M}}}_{{{\mathrm{cell}}}} = {\it{M}}}_{\frac{{{{a – d}}}}{2}}}{\it{M}}}_2{\it{M}}}_{{d}}{\it{M}}}_1{\it{M}}}_{\frac{{{{a – d}}}}{2}}}$$$

(10)

med

$$$M_{{L}}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {e^{{\\\frac{{{{i\omega L}}}{c}}}} & 0 \\ 0 & {e^{ – \frac{{{{i\omega L}}}{c}}} \end{array}} \right),$$

(11)

hvor $L = d,\frac{{{{a – d}}}{2},$ og c er fasehastigheden. Man opnår, efter at have taget matrixproduktet,

$$${${\it{M}}}_{{{\mathrm{cell}}}}\left( \omega \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {M_{11}\left( \omega \right)} & {M_{21}^ \ast \left( \omega \right)} \\\ {M_{21}\left( \omega \right)} {M_{11}^ \ast \left( \omega \right)} \end{array}} \right)$$$

(12)

med

$$${\it{M}}}_{11}\left( \omega \right) = e^{\\frac{{{i\omega a}}}{c}}}e^{i\left( {a_1 + a_2} \right)}{\mathrm{csc}}\theta _1{\mathrm{csc}}}\theta _2 + e^{\frac{{{i\omega \left( {a – 2d} \right)}}{{c}}}e^{i\left( {\varphi _1 – \varphi _2} \right)}e^{ – i\left( {a_1 – a_2} \right)}{\mathrm{cot}}}\theta _1{\mathrm{cot}}\theta _2,$$

(13)

$$$M_{21}\left( \omega \right) = – e^{\\frac{{{i\omega d}}}{c}}}e^{i\varphi _2}e^{i(a_1 – a_2)}{\mathrm{csc}}}\theta _1{\mathrm{cot}}}\theta _2 – e^{ – \frac{{{i\omega d}}}{c}}e^{i\varphi _1}e^{ – i(a_1 + a_2)}{\mathrm{cot}}}\theta _1{\mathrm{csc}}\theta _2.$$

(14)

Vi bruger notationen z* til at betegne den komplekse konjugerede af z. Ved at bemærke |ψ〉 = T, hvor a og b er de fremadrettede og bagudrettede komplekse feltamplituder ved indgangen til enhedscellen, giver anvendelsen af Bloch-sætningen følgende egenværdiproblem,

$$${{\it{M}}_{{{\mathrm{cell}}}}\left( \omega \right)\left| \psi \right\rangle = e^{i\,k_{{\mathrm{B}}}a}\left| \psi \right\rangle$$$$

(15)

som vi kalder Bloch egenproblemet for krystallen. Bemærk den ikke-trivielle afhængighed af Mcell(ω) af ω. Den mest ligefremme anvendelse af ovenstående ligning er følgende måde: For alle værdier af ω kan man diagonalisere Mcell(ω) og få to modsatrettede værdier ±kB(ω) af Bloch-bølgetallet i den første Brillouinzone og opløse båndstrukturen. Bemærk, at Mcell ikke er unitær og er ikke-Hermitisk, hvilket betyder, at værdierne ±kB(ω) generelt er komplekse, hvilket i princippet giver mulighed for et uendeligt antal bånd og bandgaps. Bemærk endvidere forskellen til den standard tight-binding SSH-model, som fører til et hermitisk egenværdiproblem, der kortlægger Brillouin-cirklen i rummet af SU(2)-matricer, og en klar topologisk klassifikation af chiralsymmetriske systemer via viklingstallet. Her, i overensstemmelse med tidsomvendt symmetri54, $M_{{{\mathrm{cell}}}}\venstre( \omega \højre) \in {\mathrm{{SU}}}}(1,1)$, en gruppe af ikke-Hermitiske matricer55. SU(1,1)-hamiltonianer findes f.eks. i PT-symmetriske udvidelser af den stramme SSH-bindingsmodel56 , hvor Hamiltonianens ikke-hermitiske karakter skyldes fraværet af energibevarelse. Her er Mcell ikke en Hamiltonian, i den forstand, at dens egenværdier ikke er relateret til ω, men til kB, og Mcell’s pseudoantihermitet ($\(\sigma _{\mathrm{z}}}{\it{M}}}_{{{{\mathrm{cell}}}}^{{\mathrm{\dagger }}\sigma _{\mathrm{z}}} = – {\it{M}}_{{{{\mathrm{cell}}}}}$) er relateret til tidsomvendt symmetri. I supplerende figur 11 repræsenterer vi den båndstruktur, der er opnået ved hjælp af overførselsmatrixmetoden, og sammenligner den med den, der er opnået direkte fra fuldbølgesimuleringer af enhedscellen under periodiske randbetingelser (FEM-metode). For at løse overførselsmatrixens egenværdiproblem blev parametrene θ1,2, α1,2 og Φ1,2, som afhænger af frekvensen, uddraget fra FEM-spredningssimuleringer af en enkelt hindring i en bølgeledning. Afstanden mellem de to spredere er antaget at være $d = \frac{a}{2} – e_{\mathrm{p}}}$, med ep = 2,8 cm (“trivielt” tilfælde) og a = 23 cm. Stavdiameteren er 3,5 cm og bredden af bølgeledningen er 7 cm. Overensstemmelsen mellem de to tilgange validerer nøjagtigheden af den multiple spredningsmodel, især den underliggende antagelse om ingen nærfeltinteraktioner mellem forhindringerne i krystallen.

Egenskaber ved enhedscelleoverførselsmatrixen

For at definere topologien af systemet i næste afsnit skal vi først fastslå nogle få centrale egenskaber ved enhedscelleoverførselsmatrixen. Vi starter med generelle egenskaber, før vi går over til mere specifikke egenskaber på et bånd eller ved degenererede punkter i båndstrukturen.

Som en direkte konsekvens af tidsomvendt symmetri54 tilhører systemets Mcell-overførselsmatrix gruppen SU(1,1) af matricer af formen

$$$M_{{{\mathrm{{cell}}}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} \alpha & {\beta ^ \ast } \\beta & {\alpha ^ \ast } \end{array}} \right)$$$

(16)

som parametriseres ved hjælp af Pauli-matricerne som

$$${\it{M}}}_{{{{\mathrm{cell}}}} = \alpha _{\mathrm{R}}}\sigma _0 + \beta _{\mathrm{R}}}\sigma _x + \beta _{\mathrm{I}}}\sigma _y + i\alpha _{\mathrm{I}}}\sigma _{{\mathrm{z}}}.$$

(17)

Dets egenværdier, givet ved $\(\lambda _ \pm = \alpha _{{\mathrm{R}} \pm i\sqrt {\alpha _{\mathrm{I}}}^2 – \beta _{\mathrm{R}}}^2 – \beta _{\mathrm{I}}}^2}}$ er reelle, når $\alpha _{{\mathrm{I}}}^2 < \left| \beta \right|^2$, og komplekse ellers. Disse egenværdier er degenererede under betingelsen $\alpha _{\mathrm{I}}}^2 – \beta _{\mathrm{R}}}^2 – \beta _{\mathrm{I}}}^2 = 0$, dvs. når parametrene βR, βI og αI hører til en dobbeltkegle i (βR, βI, αI)-rummet. Denne kegle er repræsenteret i de nederste paneler i fig. 6. Ved keglens spids har man βR = βI = αI = αI = 0, hvilket betyder, at Mcell reduceres til Mcell = αRσ0.

På et bånd har matrixen Mcell en særlig form. Bloch egenproblemet indebærer nemlig, at $\alpha _{\mathrm{R}} \pm i\sqrt {\alpha _I^2 – \left| \beta \right|^2} = e^{i\,k_{\mathrm{B}}}a}}$, hvoraf følger, at

$$${{\it{\alpha }}_{\mathrm{R}}} = {\mathrm{cos}}}\left( {k_{\mathrm{B}}}a} \right)$$

(18)

$$$\left| \alpha \right|^2 = 1 + \left| \beta \right|^2$$$$

(19)

hvilket indebærer $\alpha _{\mathrm{I}}}^2 + \alpha _{\mathrm{R}}}^2 = 1 + \left| \beta \right|^2$, hvilket svarer til $\alpha _{{\mathrm{I}}}^2 = {\mathrm{sin}}}^2(k_{{\mathrm{B}}}a) + \left| \beta \right|^2$, eller

$$${{\it{\alpha }}}_{\mathrm{I}}} = \pm \sqrt {{{{\mathrm{sin}}}^2({\it{k}}}_{{\mathrm{B}}}{\it{a}}}) + \left| \beta \right|^2}.$$

(20)

På et bånd har vi derfor

$$$M_{{{\mathrm{cell}}}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\mathrm{cos}}}(k_{{\mathrm{B}}}a) \pm i\sqrt {{{\mathrm{sin}}}^2(k_{{\mathrm{B}}}a) + \left| \beta \right|^2} } & {\beta \ast } \\ \beta & {{\mathrm{cos}}}(k_{\mathrm{B}}}a) \mp i\sqrt {{{\mathrm{sin}}}^2(k_{\mathrm{B}}}a) + \left| \beta \right|^2} } \end{array}} \right).$$$

(21)

Som et resultat beskriver et bånd en en-til-en afbildning fra Brillouin-cirklen til en lukket sti $\mathcal{C}$ i underrummet af SU(1,1)-matricer Mcell(kB) med ovenstående form. Fra Bloch egenværdiproblemet $M_{{{{\mathrm{cell}}}\left( \omega \right)\left| \psi \right\rangle = e^{i\,k_{\mathrm{B}}}a}\left| \psi \right\rangle$, kan man udlede, at Mcell(ω) på et bånd har komplekse egenværdier, hvilket betyder, at $\alpha _{{\mathrm{I}}}^2 > \left| \beta \right|^2$, i.dvs. at stien $\mathcal{C}$ skal være inden for keglen, enten i det øverste område αI > |β|, eller det nederste αI < -|β|. Desuden kan stien $\mathcal{C}$ kun berøre keglen, når Mcells egenværdier, nemlig $e^{i\,k_{{\mathrm{B}}}a}}$, er degenererede. Dette er nødvendigvis tilfældet ved kanterne af Brillouin-zonen $\left( {{k_{{{mathrm{B}}} = \pm \frac{\pi }{a}} \right)$, og ved dens centrum kB = 0. Indimellem kan $\mathcal{C}$ ikke berøre keglen, da der skal findes to forskellige egenværdier $e^{ \pm i\,k_{\mathrm{B}}}a}}$ i kraft af tidsomvendt symmetri. Endelig er stien $\mathcal{C}$ ikke en sløjfe, men en simpel linje, da Mcell er en simpel funktion af ω, og derfor er den samme for to modsatte værdier af kB på et bånd: den starter på keglen ved $k_{{\mathrm{B}}} = – \frac{\pi }{a}$ og lander på den igen ved kB = 0, før den følger den omvendte vej mellem kB = 0 og $k_{{\mathrm{B}}} = \frac{\pi }{a}$. Figur 6a viser et eksempel på $\mathcal{C}$ kontur for krystallens tredje bånd (angiveligt topologisk “trivielt” tilfælde, med ep = 2,8 cm), og figur 6c viser den samme kontur for ep = -2,8 cm, svarende til det dobbelte system, som angiveligt er topologisk (de topologiske egenskaber vil blive bevist i næste afsnit). Figur 6b repræsenterer det tilfælde ep = 0 cm, der lukker båndkløfterne. Som forventet starter og slutter konturen i alle tilfælde på keglen.

For at studere de betingelser, hvorunder to på hinanden følgende frekvensbånd kan berøre hinanden, er det praktisk at omforme Bloch egenproblemet til den ækvivalente form:

$$$e^{ – i\,k_{{\mathrm{B}}}a}M_{{{{\mathrm{cell}}}}\left( \omega \right)\left| {\psi \rangle } \right. = \left| {\psi \rangle } \right.$$

(22)

og tænk på det på følgende måde: For hvert kB i den første Brillouinzone betyder det at finde båndene, at man finder de værdier af ω, for hvilke matrixen $e^{ – i\,k_{\mathrm{B}}}a}M_{{{\mathrm{cell}}}}$ har mindst én egenværdi lig med 1, idet den tilsvarende egenvektor er Bloch-eigenvektoren på det pågældende bånd. Dette kan ske for uendeligt mange værdier af ω. Hvis begge egenværdier af $e^{ – i\,k_{\mathrm{B}}}a}M_{{{{\mathrm{cell}}}}$ ved en given frekvens er lig med 1, er båndstrukturen dobbelt degenereret, hvilket derfor er den maksimale frekvensdegeneration, som systemet tillader. \pm i\sqrt {\alpha _{{\mathrm{I}}}^2 – \left| \beta \right|^2} } \right) = e^{ – i\,k_{\mathrm{B}}}a}e^{ \pm i\,k_{\mathrm{B}}}a}}}\), den anden egenværdi $e^{ – 2i\,k_{{\mathrm{B}}}}a}}$ kan kun blive lig med enheden ved Brillouinzonekanterne $\left( {k_{{\mathrm{B}}} = \pm \frac{\pi }{a}} \right)$, eller ved kB = 0. Som følge heraf kan båndkløfter kun lukkes i centrum eller ved kanten af Brillouin-zonen, dvs. når konturen $\mathcal{C}$ berører keglen.

Hvis man antager det første tilfælde, dvs. en degeneration ved $k_{{\mathrm{B}}} = \pm \frac{\pi }{a}}$, har man $e^{ – i\,k_{{\mathrm{B}}}a} = – 1$. Vi opnår, ved den særlige frekvens af degenerationen,

$$$e^{ – i\,k_{\mathrm{B}}}a}M_{{{{\mathrm{cell}}}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {1 \mp i\left| \beta \right|} & { – \beta \ast } \\\ { – \beta } & {1 \pm i\left| \beta \right|} \end{array}}} \right)$$

(23)

og denne matrix kan kun være lig med identitet, hvis $\(\left| \beta \right| \right| = 0$. Det andet tilfælde af degeneration ved kB = 0 fører til den samme konklusion $(\left| \beta \right| = 0)$. Det betyder, at når to bånd berører hinanden, når konturen $\mathcal{C}$ frem til keglens spids, hvilket bekræftes af fig. 6b.

Båndenes topologi

Som det fremgår af de foregående afsnit, definerer hvert bånd en afbildning mellem Brillouincirklen og et underrum af SU(1,1)-matricer. Vi definerer nu en topologisk invariant for hvert bånd, dvs. en heltalsmængde, som er invariant ved kontinuerlige transformationer af båndstrukturen. Det betyder, at dette tal kun kan ændre sig, når båndet gennemgår en diskontinuerlig transformation, dvs. berører et andet, eller tilsvarende, når konturen $\mathcal{C}$ berører keglens spids.

Som i den standard stramme bindende SSH-model har vi brug for en ekstra symmetri, beslægtet med chiral symmetri, for at kunne definere topologiske invarianter på hvert bånd. Her er vi nødt til at kræve, at spredningsmatricerne S1 og S2 er lige store, idet vi tager θ1 = θ2 =θ, α1,2 = α1,2 = α1,2 = α og φ1 = φ2 = φ. Med denne ekstra betingelse bliver mængden $\beta = M_{21}\left( {\omega (k_{{\mathrm{B}}})} \right)$ i Eq. 14, der parametrerer matrixen Mcell på et bånd, bliver

$$$\beta \left( {k_{{\mathrm{B}}}} \right) = – 2e^{i\left( {\varphi – \alpha } \right)}\cos \left( {\alpha + \frac{{{\omega \left( {k_{{\mathrm{B}}}} \right)d}}}{c}} \right)\cot \theta \csc \theta,$$

(24)

hvor mængderne α, θ og φ, der parametriserer S-matrixen for en enkelt forhindring, generelt afhænger af ω(kB). Vi antager derefter, at der er tale om ikke-resonante spredere, hvilket betyder, at cos θ ikke forsvinder på båndet, og at variationen af α og θ på båndet er ubetydelig. Da Mcell altid har to kompleks-konjugerede unimodulære egenværdier, er ω(kB) nødvendigvis monoton mellem -π/a og 0. Lad os fokusere vores opmærksomhed på mængden $\cos \left( {\alpha + \frac{{\omega \left( {k_{{\mathrm{B}}} \right)d}}}{c}} \right)$, hvilket potentielt kan få det komplekse tal β(kB) til at forsvinde i et bestemt punkt i Brillouin-zonen. Når kB går fra -π/a til 0, bevæger vinklen $\gamma = \alpha + \frac{{\omega \left( {k_{\mathrm{B}}}} \right)d}}}{c}$ sig monotont mellem to reelle værdier, f.eks. γmin og γmax, hvilket definerer en kontinuerlig monoton afbildning mellem $\left$ til . Nu kan der opstå to situationer:

(1)
Segmentet indeholder ikke π/2 (modulo π), i hvilket tilfælde $\cos \left( {\alpha + \frac{{\omega \left( {k_{{\mathrm{B}}} \right)d}}}{c}} \right)$ forsvinder aldrig, når kB går fra -π/a til 0. Det betyder, at β aldrig forsvinder på båndet.
(2)
Segmentet indeholder π/2 (modulo π), i hvilket tilfælde β forsvinder mindst én gang på båndet.

Da β = 0 betyder, at konturen $\mathcal{C}$ krydser kegleaksen, kan vi derfor definere en topologisk invariant η på følgende måde: Vi kan tælle antallet af gange η, hvor $\mathcal{C}$ krydser kegleaksen, når kB går fra -π/a til 0. Dette heltal ændres hver gang γmax eller γmin er lig med π/2 (modulo π), dvs. når β er nul enten ved kanten eller i midten af Brillouin-zonen, dvs. når et båndgab lukkes. Figur 6 viser, hvordan konturen $\mathcal{C}$ udvikler sig for det tredje bånd i vores system, når man går fra det trivielle regime (panel a, $\(\mathcal{C}$ krydser ikke kegleaksen, η = 0) til det topologiske (panel c, $\(\mathcal{C}$ krydser kegleaksen, η = 1). Ved den topologiske faseovergang berører konturen $\mathcal{C}$ keglens spids, hvilket lukker båndgabet, og tallet η er ikke defineret.

Symmetribeskyttelse

Definitionen af den topologiske invariant η som antallet af gange, hvor konturen $\mathcal{C}$ krydser kegleaksen mellem -π/a til 0, er baseret på to underliggende symmetrier, og begge skal være opfyldt:

(1) Tidsomvendt symmetri, som garanterer, at Mcell tilhører SU(1,1)55.

(2) Lighed af S1 og S2 (de individuelle spredningsmatricer i fjernfeltet for begge forhindringer skal være identiske), eller tilsvarende:

$$$M_{{\mathrm{cell}}}^2 = 1.$$$

(25)

Det er indlysende, at horisontal positionsforstyrrelse ikke ændrer objektets individuelle spredningsparametre. Desuden ændrer lodret positionsforstyrrelse det heller ikke, som det fremgår af supplerende figur 12 (den eneste forskel i spredespektret er meget skarpe Fano-interferencer, der opstår som følge af kobling til en akustisk bundet tilstand i kontinuummet, men de er langt fra det interessante frekvensområde). Som følge heraf bryder positionsforstyrrelsen ikke $M_{{{{\mathrm{cell}}}}^2 = 1$. Men hvis man ændrer diameteren på en stang, ændres dens spredningsmatrix definitivt. Det, der sker i tilfælde af stænger med forskellige radier, er, at real- og imaginærdelen af mængden

$$$\beta \left( {k_{{\mathrm{B}}}} \right) = – e^{\\\frac{{{i\omega \left( {k_{{\mathrm{B}}} \right)d}}}{c}}e^{i\varphi _2}e^{i(a_1 – a_2)}\csc \theta _1\cot \theta _2 – e^{ – \frac{{{i\omega \left( {k_{{\mathrm{B}}} \right)d}}}{c}}e^{i\varphi _1}e^{ – i(a_1 + a_2)}\cot \theta _1\csc \theta _2$$$

(26)

er aldrig samtidig nul, hvilket indebærer, at konturen $\mathcal{C}$ kan undgå at krydse kegleaksen ved simpelthen at gå rundt om den. Dette er analogt med en SSH-kæde uden chiralsymmetri, hvor nogle korrekt valgte chiralitetsbrydende defekter ved en grænseflade kan ændre viklingstallet uden at lukke båndgabet. Disse resultater forklarer resultatet af de fuldbølgesimuleringer, der er præsenteret i fig. 3 i hovedteksten.

Numeriske metoder

Fuldbølgesimuleringer er alle udført ved hjælp af Comsol Multiphysics (Akustik- og RF-moduler). Dispersionskurver opnås ved at betragte en enkelt enhedscelle i gittermønstrene, anvende Floquet-randbetingelse på enhedscellens laterale sider og udføre egenfrekvenssimuleringer for alle Floquet-Bloch-bølgetal.

For at opnå frekvensspektrer for ODE-løserne exciterer vi systemet med en indfaldende planbølge med en enhedsamplitude og måler trykmængden på transmissionssiden af bølgelederen.

For at krydsvalidere vores eksperimentelle målinger udførte vi numeriske finite-element-simuleringer, herunder et viskotermisk tab på 1,15 dB/m for at opnå en overførselsfunktion X(ω), f.eks. mellem de indskudte og transmitterede lydbølger. Derefter fik vi højttalerens overførselsfunktion Y(ω) ved at excitere den tomme bølgeledning og måle det tilhørende lydtryksniveau på transmissionssiden. Overføringsfunktionen Z(ω) mellem den spænding, der påføres højttaleren, og det transmitterede tryk kan derefter let fås som $Z\left( \omega \right) = X(\omega )/Y(\omega )$.

I vores FDTD-simuleringer exciterer vi bølgelederen fra den ene ende med det ønskede modulerede indgangssignal og registrerer den tidsmæssige udvikling af trykfeltet (med et tidstrin underlagt Courant-Friedrichs-Lewy (CFL)-betingelsen for at sikre stabilitet), der modtages i et punkt på den anden side af bølgelederen.

Eksperimentelle metoder

Som nævnt i hovedteksten anvendes et firkantet akrylrør til at gennemføre den akustiske bølgeledning. Strengstøbte cylindre af nylon 6 blev derefter manuelt indsat i bølgelederen for at danne et array af SSH-typen. Supplerende fig. 13a viser den forsøgsopstilling, der er anvendt til at opnå systemets overførselsfunktion. Opstillingen indeholder en højttaler, en Data Physics Quattro-signalanalysator forbundet med en computer (ikke vist på figuren), der styrer den, en ICP-mikrofon, der måler det transmitterede lydtrykniveau, og en hjemmelavet ekkoafslutning (ikke vist på figuren). For at opnå prøvens overførselsfunktion styrer vi højttaleren med en spænding fra en støjstorm (som er indstillet som referencesignal i opsætningen) og måler trykniveauet i forhold til referencekanalen ved hjælp af ICP-mikrofonen. Supplerende figur 13b viser den forsøgsopstilling, der anvendes til at skabe et indgangssignal (spænding) med en vilkårlig tidsprofil $\tilde g(t)$ og til at måle den tidsmæssige udvikling af udgangssignalet $\tilde f(t)$. Opstillingen består af en Speedgoat Performance Real-Time Target Machine med IO131-interface, der styres af xPC-målmiljøet i MATLAB/Simulink, en højttaler, en effektforstærker, en hjemmelavet akustisk terminering (ikke vist på figuren) og en ICP-mikrofon til måling af det transmitterede tryk.