algebraische Zahl

Eine algebraische Zahl ist eine beliebige reelle Zahl, die eine Lösung einer einstelligen Polynomgleichung ist, deren Koeffizienten s alle ganzzahlig sind. Obwohl dies ein abstrakter Begriff ist, hat die theoretische Mathematik potenziell weitreichende Anwendungen in der Kommunikation und der Informatik, insbesondere bei der Datenverschlüsselung und -sicherheit.

Die allgemeine Form einer einstelligen Polynomgleichung ist:

a + a 1 x + a 2 x 2 + a 3 x 3 + … + a n x n = 0

wobei a , a 1 , a 2 , …, a n die Koeffizienten sind, und x die Unbekannte ist, für die die Gleichung gelöst werden soll. Eine Zahl x ist dann und nur dann algebraisch, wenn es eine Gleichung der obigen Form gibt, bei der a , a 1 , a 2 , …, a n ganzzahlig sind.

Alle rationalen Zahlen s sind algebraisch. Beispiele sind 25, 7/9 und -0,245245245. Einige irrationale Zahlen s sind auch algebraisch. Beispiele sind 2 1/2 (die Quadratwurzel aus 2) und 3 1/3 (die Kubikwurzel aus 3). Es gibt irrationale Zahlen x, für die es keine Polynomgleichung mit einer einzigen Variablen und einem ganzzahligen Koeffizienten gibt, in der x eine Lösung darstellt. Beispiele hierfür sind pi (das Verhältnis des Umfangs eines Kreises zu seinem Durchmesser in einer Ebene) und e (die Basis des natürlichen Logarithmus). Zahlen dieser Art werden als transzendentale Zahlen bezeichnet.