Analytische Geometrie

Elementare analytische Geometrie

Apollonius von Perga (ca. 262-190 v. Chr.), der von seinen Zeitgenossen als „Großer Geometer“ bezeichnet wurde, nahm mit seinem Buch „Konik“ die Entwicklung der analytischen Geometrie um mehr als 1.800 Jahre vorweg. Er definierte eine Konik als Schnittpunkt zwischen einem Kegel und einer Ebene (siehe Abbildung). Unter Verwendung von Euklids Ergebnissen über ähnliche Dreiecke und über Sekanten von Kreisen fand er eine Beziehung, die durch die Abstände von jedem Punkt P einer Kegelform zu zwei senkrechten Linien, der Hauptachse der Kegelform und der Tangente an einem Endpunkt der Achse, erfüllt wird. Diese Abstände entsprechen den Koordinaten von P, und die Beziehung zwischen diesen Koordinaten entspricht einer quadratischen Gleichung der Kegelform. Apollonius benutzte diese Beziehung, um grundlegende Eigenschaften der Kegelschnitte abzuleiten. Siehe Kegelschnitt.

Die Weiterentwicklung der Koordinatensysteme (siehe Abbildung) in der Mathematik erfolgte erst, nachdem die Algebra unter islamischen und indischen Mathematikern gereift war. (Siehe Mathematik: Die islamische Welt (8.-15. Jahrhundert) und Mathematik, Südasien.) Ende des 16. Jahrhunderts führte der französische Mathematiker François Viète die erste systematische algebraische Notation ein, bei der bekannte und unbekannte numerische Größen mit Buchstaben dargestellt werden, und er entwickelte leistungsfähige allgemeine Methoden für die Arbeit mit algebraischen Ausdrücken und das Lösen algebraischer Gleichungen. Mit den Möglichkeiten der algebraischen Notation waren die Mathematiker bei der Lösung von Problemen nicht mehr ausschließlich auf geometrische Figuren und geometrische Intuition angewiesen. Die Wagemutigeren begannen, die geometrische Standard-Denkweise hinter sich zu lassen, in der lineare Variablen (erste Potenz) Längen, Quadrate (zweite Potenz) Flächen und kubische Variablen (dritte Potenz) Volumina entsprachen, wobei höhere Potenzen keine „physikalische“ Bedeutung hatten. Zwei Franzosen, der Mathematiker und Philosoph René Descartes und der Jurist und Mathematiker Pierre de Fermat, gehörten zu den ersten, die diesen kühnen Schritt wagten.

Descartes und Fermat begründeten in den 1630er Jahren unabhängig voneinander die analytische Geometrie, indem sie die Algebra von Viète an die Untersuchung geometrischer Orte anpassten. Sie gingen entscheidend über Viète hinaus, indem sie Buchstaben verwendeten, um Abstände darzustellen, die variabel und nicht fest sind. Descartes verwendete Gleichungen, um geometrisch definierte Kurven zu untersuchen, und er betonte die Notwendigkeit, allgemeine algebraische Kurven zu betrachten – Graphen von Polynomgleichungen in x und y aller Grade. Er demonstrierte seine Methode anhand eines klassischen Problems: die Suche nach allen Punkten P, bei denen das Produkt der Abstände von P zu bestimmten Linien gleich dem Produkt der Abstände zu anderen Linien ist. Siehe Geometrie: Kartesische Geometrie.

Fermat betonte, dass jede Beziehung zwischen x- und y-Koordinaten eine Kurve bestimmt (siehe Abbildung). Mit dieser Idee fasste er Apollonius‘ Argumente in algebraische Begriffe um und stellte die verlorene Arbeit wieder her. Fermat wies darauf hin, dass jede quadratische Gleichung in x und y in die Standardform eines Kegelschnitts gebracht werden kann.

Fermat veröffentlichte seine Arbeit nicht, und Descartes machte sie absichtlich schwer lesbar, um „Dilettanten“ zu entmutigen. Ihre Ideen fanden erst durch die Bemühungen anderer Mathematiker in der zweiten Hälfte des 17. Vor allem der niederländische Mathematiker Frans van Schooten übersetzte Descartes‘ Schriften aus dem Französischen ins Lateinische. Er fügte wichtiges Erklärungsmaterial hinzu, ebenso wie der französische Jurist Florimond de Beaune und der niederländische Mathematiker Johan de Witt. In England machte der Mathematiker John Wallis die analytische Geometrie populär, indem er Gleichungen zur Definition von Kegelschnitten und zur Ableitung ihrer Eigenschaften verwendete. Er verwendete frei negative Koordinaten, obwohl es Isaac Newton war, der eindeutig zwei (schräge) Achsen verwendete, um die Ebene in vier Quadranten zu unterteilen, wie in der Abbildung gezeigt.

Die analytische Geometrie hatte ihren größten Einfluss auf die Mathematik durch die Infinitesimalrechnung. Ohne Zugang zu den Möglichkeiten der analytischen Geometrie lösten klassische griechische Mathematiker wie Archimedes (ca. 285-212/211 v. Chr.) Spezialfälle der grundlegenden Probleme der Infinitesimalrechnung: das Finden von Tangenten und Extrempunkten (Differentialrechnung) und von Bogenlängen, Flächen und Volumen (Integralrechnung). Die Mathematiker der Renaissance wurden durch die Bedürfnisse der Astronomie, der Optik, der Navigation, der Kriegsführung und des Handels zu diesen Problemen zurückgeführt. Sie versuchten natürlich, die Macht der Algebra zu nutzen, um eine wachsende Anzahl von Kurven zu definieren und zu analysieren.

Fermat entwickelte einen algebraischen Algorithmus, um die Tangente an eine algebraische Kurve in einem Punkt zu finden, indem er eine Linie fand, die einen doppelten Schnittpunkt mit der Kurve in diesem Punkt hat – im Wesentlichen erfand er die Differentialrechnung. Descartes führte einen ähnlichen, aber komplizierteren Algorithmus unter Verwendung eines Kreises ein. Fermat berechnete die Flächen unter den Kurven y = axk für alle rationalen Zahlen k ≠ -1, indem er die Flächen von eingeschriebenen und umschriebenen Rechtecken addierte. (Für den Rest des 17. Jahrhunderts wurden die Grundlagen der Infinitesimalrechnung von vielen Mathematikern weitergeführt, darunter der Franzose Gilles Personne de Roberval, der Italiener Bonaventura Cavalieri und die Briten James Gregory, John Wallis und Isaac Barrow.

Newton und der Deutsche Gottfried Leibniz revolutionierten die Mathematik am Ende des 17. Jahrhunderts, indem sie unabhängig voneinander die Leistungsfähigkeit der Infinitesimalrechnung demonstrierten. Beide Männer benutzten Koordinaten, um Notationen zu entwickeln, die die Ideen der Infinitesimalrechnung in voller Allgemeinheit ausdrückten und auf natürliche Weise zu Differenzierungsregeln und dem Fundamentalsatz der Infinitesimalrechnung (der Differential- und Integralrechnung verbindet) führten. Siehe Analyse.

Newton demonstrierte die Bedeutung der analytischen Methoden in der Geometrie, abgesehen von ihrer Rolle in der Infinitesimalrechnung, als er behauptete, dass jede kubische oder algebraische Kurve dritten Grades eine der vier Standardgleichungen hat,xy2 + ey = ax3 + bx2 + cx + d,xy = ax3 + bx2 + cx + d,y2 = ax3 + bx2 + cx + d,y = ax3 + bx2 + cx + d, für geeignete Koordinatenachsen. Der schottische Mathematiker James Stirling bewies diese Behauptung 1717, möglicherweise mit Hilfe von Newton. Newton teilte die Kubikzahlen in 72 Arten ein, eine Gesamtzahl, die später auf 78 korrigiert wurde.

Newton zeigte auch, wie man eine algebraische Kurve in der Nähe des Ursprungs durch die gebrochene Potenzreihe y = a1x1/k + a2x2/k + … für eine positive ganze Zahl k ausdrücken kann. Mathematiker haben diese Technik seither verwendet, um algebraische Kurven aller Grade zu untersuchen.