Apollonius von Perga

Eine Ellipse (grün schattiert) war einer der Kegelschnitte, die von Apollonius untersucht und benannt wurden.

Apollonius von Perga (Pergaeus) (ca. 262 v. Chr. – ca. 190 v. Chr.) war ein griechischer Geometer und Astronom der alexandrinischen Schule, bekannt für seine Schriften über Kegelschnitte. Seine innovative Methodik und Terminologie, insbesondere auf dem Gebiet der Kegelschnitte, beeinflusste viele spätere Gelehrte, darunter Ptolemäus, Francesco Maurolico, Isaac Newton und René Descartes.

Eine Parabel (grün schattiert) ist ein weiterer von Apollonius beschriebener Kegelschnitt.

Eine Hyperbel (grün schattiert) ist ein dritter Kegelschnitt, der von Apollonius untersucht wurde.

Es war Apollonius, der der Ellipse, der Parabel und der Hyperbel die Namen gab, unter denen sie heute bekannt sind. Ihm wird auch die Hypothese der exzentrischen Bahnen, des Deferenten und der Epizyklen zugeschrieben, die die scheinbare Bewegung der Planeten und die wechselnde Geschwindigkeit des Mondes erklären sollen. Das Theorem des Apollonius zeigt, dass zwei Modelle gleichwertig sein können, wenn die richtigen Parameter gegeben sind. Ptolemäus beschreibt dieses Theorem im Almagest 12.1. Apollonius erforschte auch die Mondtheorie, die er als Epsilon (ε) bezeichnete. Der Apollonius-Krater auf dem Mond wurde ihm zu Ehren benannt.

Leben und Hauptwerk

Apollonius wurde um 262 v. Chr. geboren, etwa 25 Jahre nach Archimedes. Er blühte unter der Herrschaft von Ptolemäus Euergetes und Ptolemäus Philopator (247-205 v. Chr.). Seine Abhandlung über die Kegelschnitte brachte ihm den Namen „Der große Geometer“ ein, eine Leistung, die seinen Ruhm sicherte.

Von all seinen Abhandlungen ist nur die Kegelschnitte überliefert. Von den anderen haben die Historiker dank späterer Autoren, insbesondere Pappus, Titel und einige Hinweise auf ihren Inhalt. Nach der ersten Ausgabe der achtbücherigen Koniks brachte Apollonius auf Anregung von Eudemus von Pergamon eine zweite Ausgabe heraus. Als er die ersten drei Bücher überarbeitete, schickte Apollonius Eudemus ein Exemplar; die größten Änderungen wurden in den ersten beiden Büchern vorgenommen. Eudemus starb vor der Fertigstellung der restlichen Überarbeitung, so dass Apollonius die letzten fünf Bücher dem König Attalus I. (241-197 v. Chr.) widmete. Nur vier Bücher sind auf Griechisch erhalten; drei weitere sind auf Arabisch vorhanden; das achte wurde nie entdeckt.

Obwohl ein Fragment einer lateinischen Übersetzung aus dem Arabischen aus dem dreizehnten Jahrhundert gefunden wurde, haben Giovanni Alfonso Borelli und Abraham Ecchellensis erst 1661 eine Übersetzung der Bücher 5-7 ins Lateinische vorgenommen. Obwohl sie die arabische Version von Abu ‚l-Fath von Ispahan aus dem Jahr 983 verwendeten, die in einem florentinischen Manuskript erhalten war, sind sich die meisten Gelehrten heute einig, dass die besten arabischen Übersetzungen die von Hilal ibn Abi Hilal für die Bücher 1-4 und die von Thabit ibn Qurra für die Bücher 5-7 sind.

Apollonius beschäftigte sich mit reiner Mathematik. Als er nach der Nützlichkeit einiger seiner Theoreme in Buch 4 der Konik gefragt wurde, behauptete er stolz: „Sie sind es wert, um der Demonstrationen selbst willen akzeptiert zu werden, so wie wir viele andere Dinge in der Mathematik aus diesem und aus keinem anderen Grund akzeptieren.“ Und da viele seiner Ergebnisse nicht auf die Wissenschaft oder das Ingenieurwesen seiner Zeit anwendbar waren, argumentierte Apollonius im Vorwort des fünften Buches der Konik weiter, dass „das Thema eines von denen ist, die des Studiums um ihrer selbst willen würdig erscheinen.“

Konik

Apollonius gibt an, dass er in den Büchern 1-4 die Erzeugung der Kurven und ihre grundlegenden Eigenschaften, die in Buch 1 vorgestellt wurden, vollständiger ausarbeitet als in früheren Abhandlungen, und dass eine Reihe von Theoremen in Buch 3 und der größte Teil von Buch 4 neu sind. Anspielungen auf Vorgängerwerke, wie Euklids vier Bücher über Konik, zeigen, dass er nicht nur Euklid, sondern auch Conon und Nikoteles etwas schuldet.

Die Allgemeinheit von Apollonius‘ Behandlung ist bemerkenswert. Er definiert und benennt die Kegelschnitte, Parabel, Ellipse und Hyperbel. Er sieht jede dieser Kurven als eine fundamentale konische Eigenschaft, die einer Gleichung (später kartesische Gleichung genannt) entspricht, die auf schräge Achsen angewandt wird – zum Beispiel auf Achsen, die aus einem Durchmesser und der Tangente an seinem Ende bestehen – und die man durch Schneiden eines schrägen Kreiskegels erhält. (Ein schräger Kreiskegel ist ein Kegel, bei dem die Achse keinen 90-Grad-Winkel mit der Leitlinie bildet. Im Gegensatz dazu bildet die Achse eines rechten Kreiskegels einen 90-Grad-Winkel mit der Leitlinie.) Die Art und Weise, wie der Kegel geschnitten wird, spielt seiner Meinung nach keine Rolle. Er zeigt, dass die schrägen Achsen nur ein Sonderfall sind, nachdem er nachgewiesen hat, dass die grundlegende Eigenschaft des Kegels in der gleichen Form mit Bezug auf jeden neuen Durchmesser und die Tangente an seinem Ende ausgedrückt werden kann. Die Bücher 5-7 sind also eindeutig originell.

Apollonius‘ Genialität erreicht in Buch 5 ihre größte Ausprägung. Hier behandelt er mathematische Normalen (eine Normale ist eine gerade Linie, die senkrecht zu einer Fläche oder zu einer anderen geraden Linie gezogen wird) als minimale und maximale gerade Linien, die von gegebenen Punkten zur Kurve gezogen werden (unabhängig von den Eigenschaften der Tangente); er diskutiert, wie viele Normalen von bestimmten Punkten gezogen werden können; findet ihre Füße durch Konstruktion; und gibt Sätze, die den Krümmungsmittelpunkt in jedem Punkt bestimmen und auch zur kartesischen Gleichung der Evolute eines beliebigen Kegelschnitts führen.

In der Konik entwickelte Apollonius eine Methode weiter, die der analytischen Geometrie so ähnlich ist, dass seine Arbeit manchmal als Vorwegnahme der Arbeit von Descartes um etwa 1800 Jahre angesehen wird. Seine Verwendung von Bezugslinien (wie Durchmesser und Tangente) entspricht im Wesentlichen unserer modernen Verwendung eines Koordinatenrahmens. Im Gegensatz zur modernen analytischen Geometrie berücksichtigte er jedoch keine negativen Größen. Außerdem überlagerte er das Koordinatensystem jeder Kurve, nachdem er die Kurve erhalten hatte. Er leitete also Gleichungen aus den Kurven ab, aber nicht Kurven aus Gleichungen.

Weitere Werke

Pappus erwähnt weitere Abhandlungen des Apollonius. Jedes von ihnen war in zwei Bücher unterteilt und – zusammen mit den Daten, den Porismen und den Oberflächen-Loci des Euklid und den Koniken des Apollonius – nach Pappus in den Hauptteil der antiken Analyse aufgenommen.

De Rationis Sectione

De Rationis Sectione (Schneiden eines Verhältnisses) suchte ein bestimmtes Problem zu lösen: Gegeben zwei gerade Linien und einen Punkt in jeder, zeichne durch einen dritten gegebenen Punkt eine gerade Linie, die die beiden festen Linien so schneidet, dass die Teile, die zwischen den gegebenen Punkten in ihnen und den Schnittpunkten mit dieser dritten Linie abgefangen werden, ein gegebenes Verhältnis haben können.

De Spatii Sectione

De Spatii Sectione (Schneiden einer Fläche) behandelt ein ähnliches Problem, bei dem das von den beiden Schnittpunkten enthaltene Rechteck gleich einem gegebenen Rechteck sein muss.

De Sectione Determinata

De Sectione Determinata (Determinierter Abschnitt) behandelt Probleme in einer Weise, die man als analytische Geometrie einer Dimension bezeichnen kann; mit der Frage, Punkte auf einer Linie zu finden, die in einem Verhältnis zu den anderen standen. Die spezifischen Probleme sind: Gegeben zwei, drei oder vier Punkte auf einer Geraden, finde einen anderen Punkt auf ihr, so dass seine Abstände von den gegebenen Punkten die Bedingung erfüllen, dass das Quadrat auf einem oder das Rechteck, das durch zwei enthalten ist, ein gegebenes Verhältnis entweder (1) zu dem Quadrat auf dem verbleibenden oder dem Rechteck, das durch die verbleibenden zwei enthalten ist, oder (2) zu dem Rechteck, das durch den verbleibenden und eine andere gegebene Gerade enthalten ist, hat.

De Tactionibus

De Tactionibus (Tangenzen) umfasste das folgende allgemeine Problem: Gegeben drei Dinge (Punkte, Geraden oder Kreise) in Position, beschreibe einen Kreis, der durch die gegebenen Punkte geht und die gegebenen Geraden oder Kreise berührt. Der schwierigste und historisch interessanteste Fall liegt vor, wenn die drei gegebenen Dinge Kreise sind. Jahrhundert stellte Vieta dieses Problem (manchmal auch als Apollonisches Problem bezeichnet) Adrianus Romanus vor, der es mit einer Hyperbel löste. Vieta schlug daraufhin eine einfachere Lösung vor, die ihn schließlich dazu veranlasste, die gesamte Abhandlung des Apollonius in dem kleinen Werk Apollonius Gallus wiederherzustellen.

De Inclinationibus

Das Ziel von De Inclinationibus (Neigungen) war es, zu zeigen, wie eine gerade Linie einer bestimmten Länge, die auf einen bestimmten Punkt zustrebt, zwischen zwei bestimmte (gerade oder kreisförmige) Linien eingefügt werden kann.

De Locis Planis

De Locis Planis (Plane Loci) ist eine Sammlung von Sätzen, die sich auf Loci beziehen, die entweder Geraden oder Kreise sind.

Legacy

Als „der große Geometer“ bekannt, hatten Apollonius‘ Werke großen Einfluss auf die Entwicklung der Mathematik. Sein berühmtes Buch „Konik“ führte die Begriffe Parabel, Ellipse und Hyperbel ein. Er stellte die Hypothese der exzentrischen Bahnen auf, um die scheinbare Bewegung der Planeten und die wechselnde Geschwindigkeit des Mondes zu erklären. Ein weiterer Beitrag zur Mathematik ist der Satz des Apollonius, der zeigt, dass zwei Modelle gleichwertig sein können, wenn sie die richtigen Parameter haben.

Anmerkungen

• Boyer, Carl B. A History of Mathematics. John Wiley & Sons, 1991. ISBN 978-0471543977
• Fried, Michael N. und Sabetai Unguru. Apollonius of Perga’s Conica: Text, Context, Subtext. Brill, 2001. ISBN 978-9004119779
• Heath, T.L. Treatise on Conic Sections. W. Heffer & Sons, 1961.

Alle Links abgerufen am 8. April 2016.

• Apollonius von Perga. www-groups.dcs.st-and.ac.uk. Apollonius Summary.
• Apollonius‘ Tangency Problem, Circles. agutie.homestead.com.
• PDF scans of Heiberg’s edition of Apollonius of Perga’s Conic Sections (public domain). www.wilbourhall.org.