Ben Green (Mathematiker)

Der Großteil von Greens Forschungen liegt auf den Gebieten der analytischen Zahlentheorie und der additiven Kombinatorik, aber er hat auch Ergebnisse in der harmonischen Analyse und in der Gruppentheorie. Sein bekanntestes Theorem, das er gemeinsam mit seinem häufigen Mitarbeiter Terence Tao bewiesen hat, besagt, dass es beliebig lange arithmetische Progressionen in den Primzahlen gibt: Dieses Theorem ist heute als Green-Tao-Theorem bekannt.

Zu Greens frühen Ergebnissen in der additiven Kombinatorik gehören eine Verbesserung eines Ergebnisses von Jean Bourgain über die Größe arithmetischer Progressionen in Summenmengen sowie ein Beweis der Cameron-Erdős-Vermutung über summenfreie Mengen natürlicher Zahlen. Er bewies auch ein arithmetisches Regularitätslemma für Funktionen, die auf den ersten N {\displaystyle N} natürlichen Zahlen definiert sind, in gewisser Weise analog zum Szemerédi Regularitätslemma für Graphen.

Von 2004-2010 entwickelte er in gemeinsamer Arbeit mit Terence Tao und Tamar Ziegler die sogenannte Fourier-Analyse höherer Ordnung. Diese Theorie verknüpft Gowers-Normen mit Objekten, die als Nullfolgen bekannt sind. Der Name der Theorie leitet sich von diesen Nullsequenzen ab, die eine analoge Rolle spielen wie die Zeichen in der klassischen Fourier-Analyse. Green und Tao nutzten die Fourier-Analyse höherer Ordnung, um eine neue Methode zum Zählen der Anzahl von Lösungen simultaner Gleichungen in bestimmten Mengen ganzer Zahlen, einschließlich der Primzahlen, vorzustellen. Dies verallgemeinert den klassischen Ansatz der Hardy-Littlewood-Kreis-Methode. Viele Aspekte dieser Theorie, einschließlich der quantitativen Aspekte des Umkehrsatzes für die Gowers-Normen, sind immer noch Gegenstand laufender Forschungen.

Green hat auch mit Emmanuel Breuillard zu Themen der Gruppentheorie zusammengearbeitet. Insbesondere haben sie gemeinsam mit Terence Tao ein Strukturtheorem für ungefähre Gruppen bewiesen, das das Freiman-Ruzsa-Theorem auf Mengen ganzer Zahlen mit kleiner Verdopplung verallgemeinert. Green hat auch, gemeinsam mit Kevin Ford und Sean Eberhard, an der Theorie der symmetrischen Gruppe gearbeitet, insbesondere an der Frage, welcher Anteil ihrer Elemente eine Menge der Größe k {\displaystyle k} fixiert.

Green und Tao haben auch ein Papier über algebraische kombinatorische Geometrie, das die Dirac-Motzkin-Vermutung löst (siehe Sylvester-Gallai-Theorem). Insbesondere beweisen sie, dass bei einer beliebigen Sammlung von n {\displaystyle n} Punkten in der Ebene, die nicht alle kollinear sind, wenn n {\displaystyle n} groß genug ist, es mindestens n / 2 {\displaystyle n/2} Linien in der Ebene geben muss, die genau zwei der Punkte enthalten.

Kevin Ford, Ben Green, Sergei Konyagin, James Maynard und Terence Tao verbesserten, zunächst in zwei getrennten Forschungsgruppen und dann in Kombination, die untere Schranke für die Größe der längsten Lücke zwischen zwei aufeinanderfolgenden Primzahlen der Größe von höchstens X {\displaystyle X} . Die Form der bisher bekanntesten Schranke, die im Wesentlichen auf Rankin zurückgeht, war seit 76 Jahren nicht mehr verbessert worden.

In jüngerer Zeit hat sich Green mit Fragen der arithmetischen Ramsey-Theorie beschäftigt. Zusammen mit Tom Sanders bewies er, dass, wenn ein hinreichend großes endliches Feld der Primzahlordnung mit einer festen Anzahl von Farben gefärbt ist, das Feld Elemente x, y {\displaystyle x,y} hat, so dass x, y, x + y, x y {\displaystyle x,y,x{+}y,xy} alle die gleiche Farbe haben.

Green war auch an den neuen Entwicklungen von Croot-Lev-Pach-Ellenberg-Gijswijt zur Anwendung einer Polynom-Methode zur Begrenzung der Größe von Teilmengen eines endlichen Vektorraums ohne Lösungen für lineare Gleichungen beteiligt. Er passte diese Methoden an, um in Funktionsfeldern eine starke Version des Sárközy-Satzes zu beweisen.