Binäre Operationen

Binäre Operation

So wie wir eine Zahl erhalten, wenn zwei Zahlen entweder addiert oder subtrahiert oder multipliziert oder dividiert werden. Die binären Operationen verknüpfen zwei beliebige Elemente einer Menge. Die Resultierende der beiden Elemente befindet sich in der gleichen Menge. Binäre Operationen auf einer Menge sind Berechnungen, die zwei Elemente der Menge (Operanden genannt) kombinieren, um ein anderes Element derselben Menge zu erzeugen.

Die binären Operationen * auf einer nicht leeren Menge A sind Funktionen von A × A nach A. Die binäre Operation *: A × A → A. Sie ist eine Operation zweier Elemente der Menge, deren Domänen und Ko-Domänen in derselben Menge liegen.

Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division, Exponential ist eine der binären Operationen.

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Eigenschaften von Binäroperationen

• Verschlusseigenschaft: Eine Operation * auf einer nicht leeren Menge A hat die Schließeigenschaft, wenn a ∈ A, b ∈ A ⇒ a * b ∈ A.
• Additionen sind die binären Operationen auf jeder der Mengen Natürliche Zahlen (N), Ganze Zahlen (Z), Rationale Zahlen (Q), Reelle Zahlen (R), Komplexe Zahlen (C).

Die Additionen auf der Menge aller irrationalen Zahlen sind keine binären Operationen.

• Die Multiplikation auf der Menge der Natürlichen Zahlen (N), der Ganzzahligen Zahlen (Z), der Rationalen Zahlen (Q), der Reellen Zahlen (R) und der Komplexen Zahlen (C) ist eine binäre Operation.

Die Multiplikation auf der Menge aller irrationalen Zahlen ist keine binäre Operation.

• Subtraktion ist eine binäre Operation auf jeder der Mengen der ganzen Zahlen (Z), der rationalen Zahlen (Q), der reellen Zahlen (R), der komplexen Zahlen (C).

Subtraktion ist keine binäre Operation auf der Menge der natürlichen Zahlen (N).

• Die Division ist keine binäre Operation auf der Menge der Natürlichen Zahlen (N), der ganzen Zahlen (Z), der rationalen Zahlen (Q), der reellen Zahlen (R), der komplexen Zahlen (C).
• Die Exponentialoperation (x, y) → xy ist eine binäre Operation auf der Menge der Natürlichen Zahlen (N) und nicht auf der Menge der Ganzzahlen (Z).

Typen von Binäroperationen

Kommutativ

Eine Binäroperation * auf einer Menge A ist kommutativ, wenn a * b = b * a, für alle (a, b) ∈ A (nichtleere Menge). Die Addition sei die operierende Binäroperation für a = 8 und b = 9, a + b = 17 = b + a.

Weitere Themen unter Relationen und Funktionen

• Relationen
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• Algebra der reellen Funktionen
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Assoziativ

Die assoziative Eigenschaft binärer Operationen ist gegeben, wenn, für eine nicht leere Menge A (a * b) *c = a*(b * c) geschrieben werden kann. Angenommen, N sei die Menge der natürlichen Zahlen und die Multiplikation sei die binäre Operation. Es sei a = 4, b = 5 c = 6. Wir können schreiben (a × b) × c = 120 = a × (b × c).

Distributiv

Lassen Sie * und o zwei binäre Operationen sein, die auf einer nicht leeren Menge A definiert sind. Die binären Operationen sind distributiv, wenn a*(b o c) = (a * b) o (a * c) oder (b o c)*a = (b * a) o (c * a). Betrachte * als Multiplikation und o als Subtraktion. Und a = 2, b = 5, c = 4. Dann ist a*(b o c) = a × (b – c) = 2 × (5 – 4) = 2. Und (a * b) o (a * c) = (a × b) – (a × c) = (2 × 5) – (2 × 4) = 10 – 6 = 2.

Identität

Ist A die nichtleere Menge und * die binäre Operation auf A. Ein Element e ist das Identitätselement von a ∈ A, wenn a * e = a = e * a. Wenn die Binäroperation Addition(+) ist, ist e = 0 und für * ist Multiplikation(×), ist e = 1.

Invers

Ist eine binäre Operation * auf einer Menge A, die a * b = b * a = e erfüllt, für alle a, b ∈ A. a-1 ist invertierbar, wenn für a * b = b * a= e, a-1 = b. 1 ist invertierbar, wenn * eine Multiplikation ist.

Gelöstes Beispiel für Sie

Frage 1: Zeigen Sie, dass die Division keine binäre Operation in N und die Subtraktion in N ist.

Antwort : Sei a, b ∈ N

Fall 1: Binäre Operation * = Division(÷)

-: N × N→N gegeben durch (a, b) → (a/b) ∉ N (als 5/3 ∉ N)

Fall 2: Binäre Operation * = Subtraktion(-)

-: N × N→N gegeben durch (a, b)→ a – b ∉ N (da 3 – 2 = 1 ∈ N aber 2-3 = -1 ∉ N).

Frage 2: Sind alle binären Operationen geschlossen?

Antwort: Viele Mengen, die du vielleicht kennst, sind unter bestimmten binären Operatoren geschlossen, viele aber auch nicht. So bleibt die Menge der ungeraden ganzen Zahlen bei der Multiplikation geschlossen. Zum Beispiel ist die Menge der ungeraden ganzen Zahlen bei der Addition nicht geschlossen, da die Summe zweier ungerader Zahlen nicht immer ungerade ist, sondern eigentlich nie ungerade ist.

Frage 3: Ist die Quadratwurzel eine binäre Operation?

Antwort: Eine nichtbinäre Operation bezeichnet einen mathematischen Vorgang, der nur eine Zahl benötigt, um etwas zu erreichen. Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division sind Beispiele für binäre Operationen. Beispiele für nichtbinäre Operationen sind Quadratwurzeln, Faktoren und absolute Werte.

Frage 4: Was ist das Identitätselement in einer binären Operation?

Antwort: Ein Identitätselement oder neutrales Element in einer Binäroperation bezeichnet eine besondere Art von Element einer Menge in Bezug auf eine Binäroperation auf dieser Menge, die ein Element der Menge unberührt lässt, wenn es mit ihr kombiniert wird. Wir verwenden dieses Konzept in algebraischen Strukturen wie Gruppen und Ringen.

Frage 5: Was ist der binäre Überlauf?

Antwort: Ein Überlauf findet statt, wenn der Betrag einer Zahl den durch die Größe des Bitfeldes erlaubten Bereich überschreitet. Die Summe zweier Zahlen mit gleichem Vorzeichen kann sehr wohl den Bereich des Bitfeldes dieser beiden Zahlen überschreiten, so dass in diesem Fall ein Überlauf möglich ist.