Bode Plot, Gain Margin und Phase Margin (plus Diagramme)

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Was ist ein Bode Plot

Ein Bode Plot ist ein Diagramm, das in der Regel in der Regeltechnik verwendet wird, um die Stabilität eines Steuersystems zu bestimmen. Ein Bode-Diagramm bildet den Frequenzgang des Systems durch zwei Diagramme ab – das Bode-Magnituden-Diagramm (das den Betrag in Dezibel angibt) und das Bode-Phasen-Diagramm (das die Phasenverschiebung in Grad angibt).

Bode-Diagramme wurden erstmals in den 1930er Jahren von Hendrik Wade Bode eingeführt, als er bei Bell Labs in den Vereinigten Staaten arbeitete. Obwohl Bode-Diagramme eine relativ einfache Methode zur Berechnung der Systemstabilität bieten, können sie nicht mit Übertragungsfunktionen mit Singularitäten in der rechten Halbebene umgehen (im Gegensatz zum Nyquist-Stabilitätskriterium).

Die auf einem Bode-Diagramm dargestellte Verstärkungs- und Phasenmarge

Das Verständnis von Verstärkungs- und Phasenmarge ist für das Verständnis von Bode-Diagrammen entscheidend. Diese Begriffe werden im Folgenden definiert.

Verstärkungsspanne

Je größer die Verstärkungsspanne (GM), desto größer die Stabilität des Systems. Die Verstärkungsspanne bezieht sich auf den Betrag der Verstärkung, der erhöht oder verringert werden kann, ohne dass das System instabil wird. Sie wird gewöhnlich als Betrag in dB ausgedrückt.

Die Verstärkungsspanne kann normalerweise direkt aus dem Bode-Diagramm abgelesen werden (wie im obigen Diagramm dargestellt). Dazu wird der vertikale Abstand zwischen der Magnitudenkurve (auf dem Bode-Magnituden-Diagramm) und der x-Achse bei der Frequenz berechnet, bei der das Bode-Phasen-Diagramm = 180° ist. Dieser Punkt wird als Phasenübergangsfrequenz bezeichnet.

Es ist wichtig zu wissen, dass die Verstärkung und die Verstärkungsspanne nicht dasselbe sind. Tatsächlich ist die Gain Margin der negative Wert der Verstärkung (in Dezibel, dB). Das macht Sinn, wenn wir uns die Formel für die Verstärkungsspanne ansehen.

Formel für die Verstärkungsspanne

Die Formel für die Verstärkungsspanne (GM) kann wie folgt ausgedrückt werden:

Wobei G die Verstärkung ist. Dies ist der Betrag (in dB), der auf der vertikalen Achse des Betragsdiagramms bei der Phasenübergangsfrequenz abgelesen wird.

In unserem Beispiel, das im obigen Diagramm dargestellt ist, beträgt die Verstärkung (G) 20. Unter Verwendung unserer Formel für die Verstärkungsspanne ist die Verstärkungsspanne gleich 0 – 20 dB = -20 dB (instabil).

Phasenspanne

Je größer die Phasenspanne (PM), desto größer ist die Stabilität des Systems. Die Phasenspanne bezieht sich auf den Betrag der Phase, der erhöht oder verringert werden kann, ohne dass das System instabil wird. Er wird in der Regel als Phase in Grad ausgedrückt.

Die Phasenspanne kann in der Regel direkt aus dem Bode-Diagramm abgelesen werden (wie im obigen Diagramm dargestellt). Dazu wird der vertikale Abstand zwischen der Phasenkurve (auf dem Bode-Phasendiagramm) und der x-Achse bei der Frequenz berechnet, bei der das Bode-Magnitudendiagramm = 0 dB ist. Dieser Punkt wird als die Übergangsfrequenz der Verstärkung bezeichnet.

Es ist wichtig zu erkennen, dass die Phasenverschiebung und der Phasenabstand nicht dasselbe sind. Das macht Sinn, wenn wir uns die Formel für die Phasenspanne ansehen.

Formel für die Phasenspanne

Die Formel für die Phasenspanne (PM) kann wie folgt ausgedrückt werden:

Wobei die Phasenspanne ist (eine Zahl kleiner als 0). Dies ist die Phase, wie sie auf der vertikalen Achse des Phasendiagramms bei der Verstärkungsübergangsfrequenz abgelesen wird.

Ein weiteres Beispiel: Wenn die offene Verstärkung eines Verstärkers bei einer Frequenz, bei der die Phasennacheilung -120° beträgt, 0 dB überschreitet, beträgt die Phasennacheilung -120°. Daher beträgt die Phasenspanne dieses Rückkopplungssystems -120° – (-180°) = 60° (stabil).

Bode-Plot-Stabilität

Nachfolgend eine zusammengefasste Liste von Kriterien, die für das Zeichnen von Bode-Plots (und die Berechnung ihrer Stabilität) relevant sind:

  1. Verstärkungsspanne: Je größer die Verstärkungsspanne ist, desto stabiler ist das System. Er bezieht sich auf den Betrag der Verstärkung, der erhöht oder verringert werden kann, ohne dass das System instabil wird. Sie wird gewöhnlich in dB ausgedrückt.
  2. Phasenspielraum: Je größer die Phasenspanne ist, desto stabiler ist das System. Er bezieht sich auf die Phase, die erhöht oder verringert werden kann, ohne dass das System instabil wird. Sie wird gewöhnlich in Phase ausgedrückt.
  3. Gain Crossover Frequency: Sie bezieht sich auf die Frequenz, bei der die Magnitudenkurve die Null-dB-Achse im Bode-Diagramm schneidet.
  4. Phasenübergangsfrequenz: Sie bezieht sich auf die Frequenz, bei der die Phasenkurve die negativen Zeiten der 180o-Achse in diesem Diagramm schneidet.
  5. Eckfrequenz: Die Frequenz, bei der sich die beiden Asymptoten schneiden oder treffen, wird als Grenzfrequenz oder Eckfrequenz bezeichnet.
  6. Resonanzfrequenz: Der Wert der Frequenz, bei dem der Modulus von G (jω) einen Spitzenwert hat, wird als Resonanzfrequenz bezeichnet.
  7. Faktoren: Jede Schleifenübertragungsfunktion {d.h. G(s) × H(s)} ist ein Produkt aus verschiedenen Faktoren wie dem konstanten Term K, den Integralfaktoren (jω), den Faktoren erster Ordnung ( 1 + jωT)(± n), wobei n eine ganze Zahl ist, den Faktoren zweiter Ordnung oder den quadratischen Faktoren.
  8. Steigung: Jedem Faktor ist eine Steigung zugeordnet, und die Steigung wird für jeden Faktor in dB pro Dekade angegeben.
  9. Winkel: Für jeden Faktor gibt es einen Winkel, der in Grad ausgedrückt wird.

Nun gibt es einige Ergebnisse, die man sich merken sollte, um die Bode-Kurve zu zeichnen. Diese Ergebnisse sind im Folgenden aufgeführt:

  • Konstanter Term K: Dieser Faktor hat eine Steigung von Null dB pro Dekade. Es gibt keine Eckfrequenz, die diesem konstanten Term entspricht. Der mit diesem konstanten Term verbundene Phasenwinkel ist ebenfalls Null.
  • Integralfaktor 1/(jω)n: Dieser Faktor hat eine Steigung von -20 × n (wobei n eine ganze Zahl ist) dB pro Dekade. Es gibt keine Eckfrequenz, die diesem Integralfaktor entspricht. Der diesem Integralfaktor zugeordnete Phasenwinkel ist -90 × n. Auch hier ist n eine ganze Zahl.
  • Faktor erster Ordnung 1/(1+jωT): Dieser Faktor hat eine Steigung von -20 dB pro Dekade. Die Eckfrequenz, die diesem Faktor entspricht, beträgt 1/T Radiant pro Sekunde. Der mit diesem ersten Faktor verbundene Phasenwinkel ist -tan- 1(ωT).
  • Faktor erster Ordnung (1+jωT): Dieser Faktor hat eine Steigung von 20 dB pro Dekade. Die Eckfrequenz, die diesem Faktor entspricht, beträgt 1/T Radiant pro Sekunde. Der diesem ersten Faktor zugeordnete Phasenwinkel ist tan- 1(ωT) .
  • Faktor zweiter Ordnung oder quadratischer Faktor: : Dieser Faktor hat eine Steigung von -40 dB pro Dekade. Die diesem Faktor entsprechende Eckfrequenz beträgt ωn Radiant pro Sekunde. Der diesem ersten Faktor zugeordnete Phasenwinkel ist

Wie zeichnet man ein Bode-Diagramm

Wenn man alle oben genannten Punkte beachtet, kann man ein Bode-Diagramm für jede Art von Regelsystem zeichnen. Nun wollen wir das Verfahren zum Zeichnen eines Bode-Diagramms besprechen:

  1. Setzen Sie s = jω in die Übertragungsfunktion des offenen Regelkreises G(s) × H(s) ein.
  2. Finden Sie die entsprechenden Eckfrequenzen und notieren Sie sie.
  3. Jetzt brauchen wir ein halblogarithmisches Diagramm, das einen Frequenzbereich wählt, so dass das Diagramm mit der Frequenz beginnt, die niedriger ist als die niedrigste Eckfrequenz. Markieren Sie die Eckfrequenzen auf der x-Achse, markieren Sie die Steigungen auf der linken Seite der y-Achse, indem Sie in der Mitte die Steigung Null markieren und markieren Sie auf der rechten Seite den Phasenwinkel, indem Sie in der Mitte -180o nehmen.
  4. Berechnen Sie den Verstärkungsfaktor und die Art der Ordnung des Systems.
  5. Berechnen Sie nun die Steigung, die jedem Faktor entspricht.

Zum Zeichnen des Bode-Magnituden-Diagramms:

  • Markieren Sie die Eckfrequenz auf dem halblogarithmischen Millimeterpapier.
  • Tabelliere diese Faktoren in der angegebenen Reihenfolge von oben nach unten.
    1. Konstanter Term K.
    2. Integralfaktor
    3. Faktor erster Ordnung
    4. Faktor erster Ordnung (1+jωT).
    5. Faktor zweiter Ordnung oder quadratischer Faktor:
  • Nun skizziere die Linie mit Hilfe der entsprechenden Steigung des gegebenen Faktors. Ändern Sie die Steigung bei jeder Eckfrequenz, indem Sie die Steigung des nächsten Faktors hinzufügen. Du erhältst die Magnitudenkurve.
  • Berechne die Verstärkungsspanne.

Für die Zeichnung der Bode-Phasenkurve:

  1. Berechne die Phasenfunktion, indem du alle Phasen der Faktoren addierst.
  2. Setze verschiedene Werte in die obige Funktion ein, um die Phase an verschiedenen Punkten herauszufinden und eine Kurve zu zeichnen. Sie erhalten eine Phasenkurve.
  3. Berechnen Sie den Phasenrand.

Bode-Stabilitätskriterium

Stabilitätsbedingungen sind unten angegeben:

  1. Für ein stabiles System: Beide Margen sollten positiv sein oder die Phasenspanne sollte größer sein als die Verstärkungsspanne.
  2. Für ein marginal stabiles System: Beide Margen sollten Null sein oder die Phasenspanne sollte gleich der Verstärkungsspanne sein.
  3. Für ein instabiles System: Wenn eine der beiden Margen negativ ist oder die Phasenspanne kleiner ist als die Verstärkungsspanne.

Vorteile eines Bode-Plots

  1. Er basiert auf der asymptotischen Annäherung, die eine einfache Methode zur Darstellung der logarithmischen Größenkurve bietet.
  2. Die Multiplikation der verschiedenen Größen in der Übertragungsfunktion kann als Addition behandelt werden, während die Division als Subtraktion behandelt werden kann, da wir eine logarithmische Skala verwenden.
  3. Mit Hilfe dieses Diagramms können wir uns direkt zur Stabilität des Systems äußern, ohne irgendwelche Berechnungen anstellen zu müssen.
  4. Bode-Diagramme liefern relative Stabilität in Bezug auf die Verstärkungsspanne und die Phasenspanne.
  5. Sie decken auch den Bereich von niedrigen bis hohen Frequenzen ab.