Brahmagupta

AlgebraEdit

Brahmagupta gab die Lösung der allgemeinen linearen Gleichung in Kapitel achtzehn des Brahmasphutasiddhānta,

Die Differenz zwischen den Rupas, wenn man sie umdreht und durch die Differenz der Unbekannten teilt, ist die Unbekannte in der Gleichung. Die Rupas liegen unter dem Wert, von dem das Quadrat und die Unbekannte zu subtrahieren sind.

Das ist eine Lösung für die Gleichung bx + c = dx + e, wobei sich rupas auf die Konstanten c und e bezieht. Die angegebene Lösung ist äquivalent zu x = e – c/b – d. Er gab außerdem zwei äquivalente Lösungen für die allgemeine quadratische Gleichung

18.44. Vermindere die Quadratwurzel der Rupas, multipliziert mit dem Vierfachen des Quadrats und erhöht um das Quadrat der Mitte; teile den Rest durch das Doppelte des Quadrats. der Mitte.
18.45. Was auch immer die Quadratwurzel der Rupas ist, multipliziert mit dem Quadrat, erhöht um das Quadrat der Hälfte der Unbekannten, vermindert um die Hälfte der Unbekannten, geteilt durch ihr Quadrat. die Unbekannte.

Das sind jeweils Lösungen für die Gleichung ax2 + bx = c, die äquivalent sind zu,

x = ± 4 a c + b 2 – b 2 a {\displaystyle x={\frac {\pm {\sqrt {4ac+b^{2}}-b}{2a}}

und

x = ± a c + b 2 4 – b 2 a {\displaystyle x={\frac {\pm {\sqrt {ac+{\tfrac {b^{2}}{4}}}}-{\tfrac {b}{2}}{a}}

Er fuhr fort, Systeme von simultanen unbestimmten Gleichungen zu lösen, indem er sagte, dass die gewünschte Variable zuerst isoliert werden muss und dann die Gleichung durch den Koeffizienten der gewünschten Variable geteilt werden muss. Er empfahl insbesondere die Verwendung des „Pulverisierers“, um Gleichungen mit mehreren Unbekannten zu lösen.

18.51. Subtrahiere die Farben, die sich von der ersten Farbe unterscheiden. geteilt durch die erste ist das Maß der ersten. zwei durch zwei als ähnliche Teiler, wiederholt.

Wie die Algebra des Diophantus war auch die Algebra des Brahmagupta synkopisch. Die Addition wurde durch das Nebeneinanderstellen der Zahlen angezeigt, die Subtraktion durch einen Punkt über dem Subtrahenden und die Division durch das Setzen des Divisors unter den Dividend, ähnlich unserer Notation, aber ohne den Balken. Multiplikation, Entwicklung und unbekannte Größen wurden durch Abkürzungen der entsprechenden Begriffe dargestellt. Das Ausmaß des griechischen Einflusses auf diese Synkope ist, wenn überhaupt, nicht bekannt, und es ist möglich, dass sowohl die griechische als auch die indische Synkope aus einer gemeinsamen babylonischen Quelle stammen.

ArithmetikBearbeiten

Die vier Grundrechenarten (Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division) waren schon vor Brahmagupta in vielen Kulturen bekannt. Das heutige System basiert auf dem hinduistischen arabischen Zahlensystem und erschien erstmals im Brahmasphutasiddhanta. Brahmagupta beschreibt die Multiplikation folgendermaßen: „Der Multiplikand wird wie eine Schnur für Vieh wiederholt, so oft es integrierende Teile im Multiplikator gibt, und wird wiederholt mit ihnen multipliziert und die Produkte werden addiert. Das ist die Multiplikation. Oder der Multiplikand wird so oft wiederholt, wie es Bestandteile im Multiplikator gibt“. Die indische Arithmetik war im mittelalterlichen Europa als „Modus Indorum“ bekannt, was „Methode der Inder“ bedeutet. Im Brahmasphutasiddhanta wurde die Multiplikation als Gomutrika bezeichnet. Zu Beginn des zwölften Kapitels seines Brahmasphutasiddhānta, das den Titel Berechnung trägt, beschreibt Brahmagupta detailliert die Operationen mit Brüchen. Es wird erwartet, dass der Leser die grundlegenden arithmetischen Operationen bis hin zur Quadratwurzel kennt, obwohl er erklärt, wie man den Kubus und die Kubikwurzel einer ganzen Zahl findet, und später Regeln angibt, die die Berechnung von Quadraten und Quadratwurzeln erleichtern. Dann gibt er Regeln für den Umgang mit fünf Arten von Kombinationen von Brüchen: a/c + b/c; a/c × b/d; a/1 + b/d; a/c + b/d × a/c = a(d + b)/cd; und a/c – b/d × a/c = a(d – b)/cd.

SeriesEdit

Brahmagupta fährt dann fort, die Summe der Quadrate und Kuben der ersten n ganzen Zahlen anzugeben.

12,20. Die Summe der Quadrate ist die Summe der Quadrate multipliziert mit dem doppelten Schritt erhöht um eins geteilt durch drei. Die Summe der Würfel ist das Quadrat des Stapels dieser mit gleichen Kugeln.

Hier fand Brahmagupta das Ergebnis in Form der Summe der ersten n ganzen Zahlen und nicht in Form von n, wie es die moderne Praxis ist.

Er gibt die Summe der Quadrate der ersten n natürlichen Zahlen als n(n + 1)(2n + 1)/6 und die Summe der Kuben der ersten n natürlichen Zahlen als (n(n + 1)/2)2
an.

ZeroEdit

Brahmaguptas Brahmasphuṭasiddhānta ist das erste Buch, das Regeln für arithmetische Manipulationen enthält, die auf Null und auf negative Zahlen anwendbar sind. Das Brahmasphutasiddhānta ist der früheste bekannte Text, in dem die Null als eigenständige Zahl behandelt wird und nicht einfach als Platzhalterziffer für eine andere Zahl, wie es die Babylonier taten, oder als Symbol für eine fehlende Menge, wie es Ptolemäus und die Römer taten. Im achtzehnten Kapitel seines Brahmasphutasiddhānta beschreibt Brahmagupta Operationen mit negativen Zahlen. Er beschreibt zunächst Addition und Subtraktion,

18.30. von zwei Positiven ist positiv, von zwei Negativen negativ; von einem Positiven und einem Negativen ist ihre Differenz; wenn sie gleich sind, ist es Null. Die Summe von einem Negativ und einer Null ist negativ, von einem Positiv und einer Null positiv, von zwei Nullen null.

18.32. Eine negative minus Null ist negativ, eine positive positiv; Null ist Null. Wenn ein Positives von einem Negativen oder ein Negatives von einem Positiven subtrahiert werden soll, dann soll es addiert werden.

Er fährt fort, die Multiplikation zu beschreiben,

18.33. Das Produkt von einem Negativen und einem Positiven ist negativ, von zwei Negativen positiv und von Positiven positiv; das Produkt von Null und einem Negativen, von Null und einem Positiven oder von zwei Nullen ist Null.

Aber seine Beschreibung der Division durch Null unterscheidet sich von unserem modernen Verständnis:

18.34. Ein Positiv geteilt durch ein Positiv oder ein Negativ geteilt durch ein Negativ ist positiv; eine Null geteilt durch eine Null ist Null; ein Positiv geteilt durch ein Negativ ist negativ; ein Negativ geteilt durch ein Positiv ist negativ.
18.35. Ein Negativ oder ein Positiv geteilt durch Null hat das als Divisor, oder Null geteilt durch ein Negativ oder ein Positiv. Das Quadrat eines Negativs oder eines Positivs ist positiv; das Quadrat von Null ist Null. Das, was das Quadrat ist, ist die Quadratwurzel.

Hier sagt Brahmagupta, dass 0/0 = 0 ist, und was die Frage von a/0 betrifft, wo a ≠ 0 ist, hat er sich nicht festgelegt. Seine Regeln für das Rechnen mit negativen Zahlen und der Null kommen dem modernen Verständnis recht nahe, nur dass in der modernen Mathematik die Division durch Null undefiniert bleibt.

Diophantische AnalysisBearbeiten

Pythagoräische TripelBearbeiten

In Kapitel zwölf seines Brahmasphutasiddhanta gibt Brahmagupta eine Formel an, die für die Erzeugung pythagoräischer Tripel nützlich ist:

12.39. Die Höhe eines Berges, multipliziert mit einem gegebenen Multiplikator, ist die Entfernung zu einer Stadt; sie wird nicht ausgelöscht. Wenn sie durch den Multiplikator geteilt wird, der durch zwei erhöht wird, ist sie der Sprung eines der beiden, die dieselbe Reise machen.

Mit anderen Worten: Wenn d = mx/x + 2 ist, dann legt ein Reisender, der vom Gipfel eines Berges der Höhe m senkrecht eine Strecke d nach oben „springt“ und dann in gerader Linie zu einer Stadt reist, die sich in horizontaler Entfernung mx vom Fuß des Berges befindet, dieselbe Strecke zurück wie einer, der senkrecht den Berg hinabsteigt und dann entlang der Horizontalen zur Stadt reist. Geometrisch ausgedrückt heißt das: Wenn ein rechtwinkliges Dreieck eine Basis der Länge a = mx und eine Höhe der Länge b = m + d hat, dann ist die Länge c der Hypotenuse gegeben durch c = m(1 + x) – d. Und tatsächlich zeigt die elementare algebraische Manipulation, dass a2 + b2 = c2 ist, wenn d den angegebenen Wert hat. Wenn m und x rational sind, sind es auch d, a, b und c. Ein pythagoräisches Tripel erhält man also aus a, b und c, indem man sie jeweils mit dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen ihrer Nenner multipliziert.

Pells GleichungEdit

Brahmagupta gab eine Rekursionsrelation an, um Lösungen für bestimmte diophantische Gleichungen zweiten Grades wie Nx2 + 1 = y2 (die so genannte Pellsche Gleichung) mit Hilfe des euklidischen Algorithmus zu finden. Der euklidische Algorithmus war ihm als „Pulverisierer“ bekannt, da er Zahlen in immer kleinere Stücke zerlegt.

Die Natur der Quadrate:
18.64. das Doppelte der Quadratwurzel eines gegebenen Quadrats mit einem Multiplikator und vergrößert oder verkleinert um einen beliebigen Wert. Das Produkt des ersten , multipliziert mit dem Multiplikator, mit dem Produkt des letzten , ist das letzte berechnete.
18.65. Die Summe der Produkte der Donnerkeile ist das erste. Der Additiv ist gleich dem Produkt der Additive. Die beiden Quadratwurzeln, geteilt durch das Additiv oder das Subtraktiv, sind die additiven Rupien.

Der Schlüssel zu seiner Lösung war die Identität,

( x 1 2 – N y 1 2 ) ( x 2 2 – N y 2 2 ) = ( x 1 x 2 + N y 1 y 2 ) 2 – N ( x 1 y 2 + x 2 y 1 ) 2 {\displaystyle (x_{1}^{2}-Ny_{1}^{2})(x_{2}^{2}-Ny_{2}^{2})=(x_{1}x_{2}+Ny_{1}y_{2})^{2}-N(x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1})^{2}}

, was eine Verallgemeinerung einer Identität ist, die von Diophantus entdeckt wurde,

( x 1 2 – y 1 2 ) ( x 2 2 – y 2 2 ) = ( x 1 x 2 + y 1 y 2 ) 2 – ( x 1 y 2 + x 2 y 1 ) 2 . {\displaystyle (x_{1}^{2}-y_{1}^{2})(x_{2}^{2}-y_{2}^{2})=(x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2})^{2}-(x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1})^{2}.}

Unter Verwendung seiner Identität und der Tatsache, dass, wenn (x1, y1) und (x2, y2) Lösungen der Gleichungen x2 – Ny2 = k1 bzw. x2 – Ny2 = k2 sind, dann (x1x2 + Ny1y2, x1y2 + x2y1) eine Lösung von x2 – Ny2 = k1k2 ist, war er in der Lage, integrale Lösungen der Pellschen Gleichung durch eine Reihe von Gleichungen der Form x2 – Ny2 = ki zu finden. Brahmagupta war nicht in der Lage, seine Lösung einheitlich für alle möglichen Werte von N anzuwenden, sondern konnte nur zeigen, dass, wenn x2 – Ny2 = k eine ganzzahlige Lösung für k = ±1, ±2 oder ±4 hat, auch x2 – Ny2 = 1 eine Lösung hat. Die Lösung der allgemeinen Pellschen Gleichung musste auf Bhaskara II. um 1150 n. Chr. warten.

GeometrieBearbeiten

Brahmaguptas FormelBearbeiten

Brahmaguptas berühmtestes Ergebnis in der Geometrie ist seine Formel für zyklische Vierecke. Ausgehend von den Seitenlängen eines beliebigen zyklischen Vierecks gab Brahmagupta eine ungefähre und eine genaue Formel für den Flächeninhalt der Figur an,

12,21. Die ungefähre Fläche ist das Produkt der Hälften der Summen der Seiten und der gegenüberliegenden Seiten eines Dreiecks und eines Vierecks. Die genaue ist die Quadratwurzel aus dem Produkt der Hälften der Summen der um eine Seite des Vierecks verminderten Seiten.

Gegeben die Längen p, q, r und s eines zyklischen Vierecks, so ist die ungefähre Fläche p + r/2 – q + s/2, während, wenn man t = p + q + r + s/2 lässt, die genaue Fläche

√(t – p)(t – q)(t – r)(t – s) ist.

Obwohl Brahmagupta nicht ausdrücklich sagt, dass diese Vierecke zyklisch sind, ist es aus seinen Regeln ersichtlich, dass dies der Fall ist. Die Heron-Formel ist ein Spezialfall dieser Formel und kann abgeleitet werden, indem man eine der Seiten gleich Null setzt.

DreieckeBearbeiten

Brahmagupta widmete einen wesentlichen Teil seines Werkes der Geometrie. Ein Theorem gibt die Längen der beiden Segmente an, in die die Basis eines Dreiecks durch seine Höhe geteilt wird:

12.22. Die Basis verringert und vergrößert sich um die Differenz zwischen den Quadraten der Seiten geteilt durch die Basis; wenn sie durch zwei geteilt werden, sind sie die wahren Segmente. Die Senkrechte ist die Quadratwurzel aus dem Quadrat einer Seite, vermindert um das Quadrat ihres Segments.

Die Längen der beiden Segmente sind also 1/2(b ± c2 – a2/b).

Er gibt ferner einen Satz über rationale Dreiecke. Ein Dreieck mit rationalen Seiten a, b, c und rationalem Flächeninhalt hat die Form:

a = 1 2 ( u 2 v + v ) , b = 1 2 ( u 2 w + w ) , c = 1 2 ( u 2 v – v + u 2 w – w ) {\displaystyle a={\frac {1}{2}}\left({\frac {u^{2}}{v}}+v\right),\ b={\frac {1}{2}}\links({\frac {u^{2}}{w}}+w\rechts),\ c={\frac {1}{2}}\links({\frac {u^{2}}{v}}-v+{\frac {u^{2}}{w}}-w\rechts)}

für einige rationale Zahlen u, v, und w.

Brahmaguptas TheoremBearbeiten

Brahmagupta fährt fort,

12.23. Die Quadratwurzel der Summe der beiden Produkte der Seiten und der gegenüberliegenden Seiten eines nicht ungleichen Vierecks ist die Diagonale. Das Quadrat der Diagonale wird um das Quadrat der halben Summe von Basis und Spitze vermindert; die Quadratwurzel ist die Senkrechte.

So ist in einem „ungleichen“ zyklischen Viereck (d.h. einem gleichschenkligen Trapez) die Länge jeder Diagonale √pr + qs.

Er fährt fort, Formeln für die Längen und Flächen von geometrischen Figuren zu geben, wie z.B. den Umfang eines gleichschenkligen Trapezes und eines skaligen Vierecks und die Längen der Diagonalen in einem skaligen zyklischen Viereck. Dies führt zu Brahmaguptas berühmtem Lehrsatz,

12.30-31. Stellt man sich zwei Dreiecke mit ungleichen Seiten darin vor, so sind die beiden Diagonalen die beiden Basen. Ihre beiden Segmente sind getrennt die oberen und unteren Segmente am Schnittpunkt der Diagonalen. Die beiden der beiden Diagonalen sind zwei Seiten in einem Dreieck; die Basis . Ihre Senkrechte ist der untere Teil der Senkrechten; der obere Teil der Senkrechten ist die Hälfte der Summe der Senkrechten, vermindert um den unteren.

PiEdit

In Vers 40 gibt er Werte für π,

12,40 an. Der Durchmesser und das Quadrat des Radius multipliziert mit 3 sind der praktische Umfang und die Fläche. Die genauen sind die Quadratwurzeln aus den Quadraten dieser beiden multipliziert mit zehn.

So verwendet Brahmagupta 3 als „praktischen“ Wert von π, und 10 ≈ 3,1622 … {\displaystyle {\sqrt {10}}\ca. 3,1622\ldots }

als „genauer“ Wert von π. Der Fehler dieses „genauen“ Wertes beträgt weniger als 1%.

Maße und KonstruktionenBearbeiten

In einigen der Verse vor Vers 40 gibt Brahmagupta Konstruktionen von verschiedenen Figuren mit beliebigen Seiten an. Er manipuliert im Wesentlichen rechtwinklige Dreiecke, um gleichschenklige Dreiecke, ungleichschenklige Dreiecke, Rechtecke, gleichschenklige Trapeze, gleichschenklige Trapeze mit drei gleichen Seiten und ein ungleichschenkliges zyklisches Viereck zu konstruieren.

Nachdem er den Wert von Pi angegeben hat, befasst er sich mit der Geometrie von ebenen Figuren und Körpern, wie z.B. der Bestimmung von Volumina und Oberflächen (oder leeren Räumen, die aus Körpern herausgearbeitet werden). Er ermittelt das Volumen von rechteckigen Prismen, Pyramiden und dem Kegelstumpf einer quadratischen Pyramide. Außerdem ermittelt er die durchschnittliche Tiefe einer Reihe von Gruben. Für das Volumen eines Pyramidenstumpfes gibt er den „pragmatischen“ Wert als die Tiefe mal das Quadrat des Mittelwertes der Kanten der Ober- und Unterseite an, und er gibt das „oberflächliche“ Volumen als die Tiefe mal ihre mittlere Fläche an.

TrigonometrieBearbeiten

SinustabelleBearbeiten

In Kapitel 2 seines Brahmasphutasiddhanta mit dem Titel Planetarische wahre Längengrade stellt Brahmagupta eine Sinustabelle vor:

2.2-5. Die Sinusse: Die Vorfahren, Zwillinge; Ursa Major, Zwillinge, die Veden; die Götter, Feuer, sechs; Aromen, Würfel, die Götter; der Mond, fünf, der Himmel, der Mond; der Mond, Pfeile, Sonnen

Hier verwendet Brahmagupta Namen von Objekten, um die Ziffern von Ortswertzahlen darzustellen, wie es bei numerischen Daten in Sanskrit-Abhandlungen üblich war. Progenitors steht für die 14 Stammväter („Manu“) in der indischen Kosmologie oder 14, „Twins“ bedeutet 2, „Ursa Major“ steht für die sieben Sterne von Ursa Major oder 7, „Vedas“ bezieht sich auf die 4 Vedas oder 4, Würfel steht für die Anzahl der Seiten des traditionellen Würfels oder 6, und so weiter. Diese Informationen können in die Liste der Sinuszahlen 214, 427, 638, 846, 1051, 1251, 1446, 1635, 1817, 1991, 2156, 2312, 1459, 2594, 2719, 2832, 2933, 3021, 3096, 3159, 3207, 3242, 3263 und 3270 übersetzt werden, wobei der Radius 3270 ist.

InterpolationsformelBearbeiten

Im Jahr 665 entwickelte und verwendete Brahmagupta einen Spezialfall der Newton-Stirling-Interpolationsformel zweiter Ordnung, um neue Werte der Sinusfunktion aus anderen, bereits ermittelten Werten zu interpolieren. Die Formel liefert eine Schätzung für den Wert einer Funktion f bei einem Wert a + xh ihres Arguments (mit h > 0 und -1 ≤ x ≤ 1), wenn ihr Wert bei a – h, a und a + h bereits bekannt ist.

Die Formel für die Schätzung lautet:

f ( a + x h ) ≈ f ( a ) + x Δ f ( a ) + Δ f ( a – h ) 2 + x 2 Δ 2 f ( a – h ) 2 ! . {\displaystyle f(a+xh)\approx f(a)+x{\frac {\Delta f(a)+\Delta f(a-h)}{2}}+x^{2}{\frac {\Delta ^{2}f(a-h)}{2!}}.}