Bravais-Gitter

In der Geometrie und Kristallographie ist ein Bravais-Gitter, benannt nach Auguste Bravais (1850), eine unendliche Anordnung von diskreten Punkten, die durch eine Reihe von diskreten Translationsoperationen erzeugt werden, die im dreidimensionalen Raum durch beschrieben werden:

R = n 1 a 1 + n 2 a 2 + n 3 a 3 {\displaystyle \mathbf {R} =n_{1}\mathbf {a} _{1}+n_{2}\mathbf {a} _{2}+n_{3}\mathbf {a} _{3}}

(1)

wobei ni beliebige ganze Zahlen und ai primitive Vektoren sind, die in verschiedenen Richtungen (nicht notwendigerweise zueinander senkrecht) liegen und das Gitter aufspannen. Die Wahl der primitiven Vektoren für ein bestimmtes Bravais-Gitter ist nicht eindeutig. Ein grundlegender Aspekt jedes Bravais-Gitters ist, dass das Gitter für jede gewählte Richtung von jedem der diskreten Gitterpunkte aus genau gleich aussieht, wenn man in die gewählte Richtung blickt.

In der Kristallographie wird das Konzept des Bravais-Gitters einer unendlichen Reihe diskreter Punkte durch das Konzept einer Einheitszelle erweitert, die den Raum zwischen den diskreten Gitterpunkten sowie alle Atome in diesem Raum umfasst. Es gibt zwei Haupttypen von Einheitszellen: primitive Einheitszellen und nicht-primitive Einheitszellen.

Eine primitive Einheitszelle für ein gegebenes Bravais-Gitter kann auf mehr als eine Weise gewählt werden (jede Weise hat eine andere Form), aber jede Weise hat das gleiche Volumen und jede Weise hat die Eigenschaft, dass eine Eins-zu-Eins-Entsprechung zwischen den primitiven Einheitszellen und den diskreten Gitterpunkten hergestellt werden kann. Die offensichtliche primitive Zelle, die mit einer bestimmten Auswahl primitiver Vektoren assoziiert werden kann, ist das von ihnen gebildete Parallelepiped. Das heißt, die Menge aller Punkte r der Form:

r = x 1 a 1 + x 2 a 2 + x 3 a 3 wobei 0 ≤ x i < 1 {\displaystyle \mathbf {r} =x_{1}\mathbf {a} _{1}+x_{2}\mathbf {a} _{2}+x_{3}\mathbf {a} _{3}\qquad {\text{where }}0\leq x_{i}<1}

(2)

Die Verwendung des durch die primitiven Vektoren definierten Parallelepipeds als Einheitszelle hat in einigen Fällen den Nachteil, dass die vollständige Symmetrie des Gitters nicht eindeutig erkennbar ist. Eine Lösung hierfür ist die Verwendung der primitiven Wigner-Seitz-Zelle (bestehend aus allen Punkten im Raum, die näher am gegebenen Gitterpunkt liegen als an jedem anderen Gitterpunkt), die die vollständige Symmetrie des Gitters zeigt. Eine andere Lösung ist die Verwendung einer nicht-primitiven Einheitszelle, die die vollständige Symmetrie des Gitters abbildet. Das Volumen der nicht-primitiven Einheitszelle ist ein ganzzahliges Vielfaches des Volumens der primitiven Einheitszelle.

Die Einheitszelle, ob primitiv oder nicht, muss, wenn sie einmal für jeden diskreten Gitterpunkt repliziert wird, den gesamten Raum exakt ausfüllen, ohne Überlappung und ohne Lücken.

Das erweiterte Konzept des Bravais-Gitters, einschließlich der Einheitszelle, wird verwendet, um eine kristalline Anordnung und ihre (endlichen) Grenzen formal zu definieren. Ein Kristall besteht aus einer periodischen Anordnung von einem oder mehreren Atomen (der Basis oder dem Motiv), die in jeder primitiven Einheitszelle genau einmal vorkommt. Die Basis kann aus Atomen, Molekülen oder Polymersträngen aus fester Materie bestehen. Folglich sieht der Kristall gleich aus, wenn man ihn in einer beliebigen Richtung von äquivalenten Punkten in zwei verschiedenen Einheitszellen aus betrachtet (zwei Punkte in zwei verschiedenen Einheitszellen desselben Gitters sind äquivalent, wenn sie die gleiche relative Position in Bezug auf ihre individuellen Einheitszellengrenzen haben).

Zwei Bravais-Gitter werden oft als äquivalent betrachtet, wenn sie isomorphe Symmetriegruppen haben. In diesem Sinne gibt es 14 mögliche Bravais-Gitter im dreidimensionalen Raum. Die 14 möglichen Symmetriegruppen von Bravais-Gittern sind 14 der 230 Raumgruppen. Im Zusammenhang mit der Raumgruppenklassifikation werden die Bravais-Gitter auch Bravais-Klassen, arithmetische Bravais-Klassen oder Bravais-Schwärme genannt.