Die merkwürdigen Potenzen von 1 + sqrt 2

Neulich hat Colin Wright auf mathstodon.xyz das folgende Rätsel gepostet:

Was ist die 99. Stelle rechts vom Dezimalpunkt in der Dezimalentwicklung von ?

Natürlich ist es einfach genug, einen Computer zu benutzen, um die Antwort zu finden; jede Sprache oder jedes Softwaresystem, das mit beliebig genauen reellen Zahlen rechnen kann, kann die richtige Antwort in einem Bruchteil einer Sekunde finden. Aber das ist offensichtlich nicht der Punkt! Können wir mit logischen Überlegungen die richtige Antwort ableiten oder beweisen, ohne viele Berechnungen anzustellen? Selbst wenn wir die Antwort rechnerisch finden, können wir dann erklären, warum sie richtig ist? Die Lösung dieses Rätsels hat mich auf eine faszinierende Reise mitgenommen, die ich in den nächsten drei oder acht Beiträgen mit Ihnen teilen möchte.

Zurzeit möchte ich Sie einfach über das Rätsel nachdenken lassen. Obwohl die Verwendung eines Computers zum einfachen Berechnen der Antwort Betrug ist, möchte ich dazu ermutigen, einen Computer oder Taschenrechner zu verwenden, um kleinere Beispiele auszuprobieren und nach Mustern zu suchen. Es ist nicht allzu schwer, ein Muster zu erkennen und die richtige Antwort zu vermuten; der interessante Teil besteht natürlich darin, herauszufinden, warum dieses Muster auftritt, und zu beweisen, dass es sich fortsetzt.