Modul 1 — Auswählen einer Drehachse und Beschreiben der Drehrichtung

Von PER wiki

Lernziele

Nach dem Durcharbeiten dieses Moduls sollten Sie in der Lage sein:

• Beschreiben Sie die Drehung eines starren Körpers um eine feste Achse.
• Definieren Sie die Winkelgeschwindigkeit als Änderungsrate der Winkelposition.
• Geben Sie die Drehrichtung eines starren Körpers an und wenden Sie die Rechte-Hand-Regel an.

Die Rotation eines starren Körpers in Form von Spin kann in Kombination mit translatorischer Bewegung auftreten. Wir werden die Beschreibung der kombinierten Translations- und Rotationsbewegung für später aufheben. In diesem Modul werden wir uns auf die Beschreibung der reinen Translationsbewegung konzentrieren. Reine Rotationsbewegungen können sehr kompliziert sein, und einige Fälle sind außerhalb des Rahmens eines einführenden Physikunterrichts.

Um die Vorstellungen von Winkelbewegungen zu vereinfachen, werden wir die folgenden Einschränkungen machen:

1. Der starre Körper rotiert um eine feste Drehachse.
2. Wir betrachten Objekte, die dünn sind, z.B. die Scheibe in Abbildung a) oder den Stab in Abbildung b).
3. Die Drehung erfolgt in der Ebene, in der sich das Objekt befindet, z.B. in der xy-Ebene in der folgenden Abbildung.
4. Die Rotationsachse steht senkrecht zu der Ebene, in der das Objekt enthalten ist, z. B. die z-Achse in den folgenden Abbildungen.

Ein starrer Körper, der sich um eine feste Achse drehen muss

Der einfachste Fall einer Rotationsbewegung ist ein starrer Körper wie die oben gezeigte Scheibe oder der Stab, der sich um eine Achse oder ein Scharnier drehen kann, die bzw. das im Raum befestigt ist. Die Achse oder das Scharnier überträgt sich nicht, sondern ermöglicht eine Drehung. Dieser Fall veranschaulicht deutlich den Begriff der Drehachse. Stellen Sie sich einen Punkt vor, der in der Mitte der Scheibe oder am Ende der Stange liegt (Punkt Q in der Abbildung unten). Wenn sich der Körper dreht, bewegt sich dieser Punkt überhaupt nicht. Jeder andere Punkt, wie z. B. Punkt B, bewegt sich bei der Drehung. Stellen Sie sich eine gerade Linie vor, die durch den Punkt Q verläuft und senkrecht zu der Ebene steht, in der sich die Scheibe oder der Stab befinden (in der Abbildung die xy-Ebene). Diese Linie bewegt sich nicht, während sich der Körper dreht. Jede andere Linie, die durch einen anderen Punkt des Objekts verläuft, wie die blaue Linie durch den Punkt B, bewegt sich. Diese einzige feste Linie ist die Rotationsachse.

Zusammenfassend lässt sich sagen, dass wir uns, wenn wir von einer festen Rotationsachse sprechen, eine Linie vorstellen müssen, die senkrecht zu der Ebene verläuft, in der sich der starre Körper dreht. Im Allgemeinen betrachten wir das Objekt als in der xy-Ebene enthalten und rotierend, daher wird die Rotationsachse parallel zur z-Achse verlaufen. Der Schnittpunkt zwischen dieser Linie und der Ebene, der Punkt Q in der obigen Abbildung, ist ebenfalls fest im Raum.

Drehbewegung eines starren Körpers, der sich um eine feste Achse dreht

Betrachten wir eine Scheibe, die sich um eine feste Achse dreht, die durch ihren Mittelpunkt verläuft. Ein Punkt B in der Scheibe, der sich im Abstand r vom Mittelpunkt befindet, bewegt sich auf einer Kreisbahn mit dem Radius r, dem gestrichelten Kreis in Abbildung a).

Winkellage

Die Lage des Punktes B kann durch den Winkel θ(t), gemessen von der Achse +x, beschrieben werden. Der Winkel θ wird als Winkelstellung des Punktes bezeichnet.

Konvention: Die Winkelposition ist positiv definiert, wenn sie gegen den Uhrzeigersinn in Bezug auf die +x-Achse gemessen wird.

Winkelgeschwindigkeit

Die Geschwindigkeit des Punktes B sowie die Geschwindigkeit aller Punkte innerhalb der Scheibe hängt von der Änderungsrate ihrer Winkelpositionen ab. Dreht sich die Scheibe in einem Zeitintervall dt =1 sec um einen Winkel dθ = 25o gegen den Uhrzeigersinn, so drehen sich die Punkte B, C und alle Punkte innerhalb der Scheibe in demselben Zeitintervall um denselben Betrag, Bild c).

Die Winkelgeschwindigkeit ist definiert als die Änderungsrate der Winkelposition und wird mit dem Buchstaben ω bezeichnet:

Einheiten: = rad.s-1

Winkelbeschleunigung

Die Winkelbeschleunigung ist die Änderungsrate der Winkelgeschwindigkeit.

Einheiten: = rad.s-2

Richtung

Die bloße Angabe einer Achse und der Drehgeschwindigkeit reicht nicht aus, um eine Drehbewegung vollständig zu beschreiben. Wir müssen auch über die Richtung sprechen. Sobald eine Achse gewählt ist, reduzieren sich die möglichen Drehrichtungen auf zwei Möglichkeiten – das Objekt kann sich im Uhrzeigersinn oder gegen den Uhrzeigersinn drehen, wenn man es von der Ebene aus betrachtet (üblicherweise von einer + z-Position). Diese beiden Situationen werden in den folgenden Abbildungen beschrieben. Hier ist jedoch Vorsicht geboten, denn ob sich das Objekt im Uhrzeigersinn oder gegen den Uhrzeigersinn dreht, hängt von der Position des Beobachters ab. Eine Scheibe, die sich von oben gesehen gegen den Uhrzeigersinn dreht, dreht sich von unten gesehen im Uhrzeigersinn.

Wenn wir uns an eine mathematische Beschreibung der Rotation machen, werden wir die Rotation in Form eines Vektors beschreiben. Es stellt sich heraus (wie wir sehen werden), dass eine sehr nützliche Konvention darin besteht, die +z-Koordinatenachsen entlang der Rotationsachse zu legen und die beiden Möglichkeiten von Links- und Rechtsdrehung als positive und negative Drehungen um diese Achse zu betrachten. Der Winkelgeschwindigkeitsvektor, der der Drehung der Scheibe in der in den obigen Abbildungen dargestellten Situation entspricht, ist also:

Für die Drehung gegen den Uhrzeigersinn:

θ nimmt mit der Zeit zu,ω = dθ/dt > 0 dann zeigt die Winkelgeschwindigkeit in Richtung der +z-Achse.

Für die Drehung im Uhrzeigersinn:

θ nimmt mit der Zeit ab, ω = dθ/dt < 0 dann zeigt die Winkelgeschwindigkeit in Richtung der -z-Achse:

Die Rechte-Hand-Regel

Diese Konvention wird als Rechte-Hand-Regel bezeichnet. Um sie anzuwenden, krümmen Sie die Finger der rechten Hand. Richten Sie Ihre Hand so auf das sich drehende Objekt (in diesem Fall die Scheibe) aus, dass die Finger von den Fingerknöcheln bis zu den Fingerspitzen die gleiche Drehung erfahren wie das Objekt. Ihr Daumen zeigt dann die „Richtung“ der Drehung an.

Die Rechte-Hand-Regel und (x,y,z)

Bei der Verwendung kartesischer Koordinaten zur Beschreibung von Bewegungen in einer Ebene ist es wichtig, ein rechtshändiges Koordinatensystem zu verwenden, damit die Definition verschiedener Rotationsgrößen in Form des Vektorprodukts erfolgen kann. Im obigen Beispiel bedeutet dies, dass, wenn Sie Ihre rechte Hand so platzieren, dass die ausgestreckten Finger mit der +x-Achse zusammenfallen, und dann Ihr Handgelenk so drehen, dass sich Ihre Finger in Richtung der y-Achse bewegen, während Sie Ihre Hand zur Faust schließen, das Ergebnis ist, dass Ihr Daumen auf +z zeigt. Dies entspricht der üblichen Konvention, den Winkel ausgehend von der x-Achse zu messen und eine Winkelverschiebung entgegen dem Uhrzeigersinn als positiv zu betrachten.

Zeichnen eines rotierenden Systems

Der Blickpunkt sollte mit der Rotationsachse ausgerichtet sein.

Beim Zeichnen eines rotierenden Systems ist es wichtig, den Blickwinkel auf die Rotationsachse auszurichten. Mit anderen Worten, man sollte das System so zeichnen, als ob man genau auf die Achse schaut.

Darstellung von Vektoren, die gerade auf dich zu oder von dir weg zeigen.

Da wir rotierende Systeme so zeichnen, als würden wir entlang der Achse schauen, ist es unmöglich, einen Pfeil zu zeichnen, der die Achse darstellt. Die lineare Achse wird von unserem Standpunkt aus wie ein Punkt aussehen. Aus diesem Grund gibt es eine Konvention für das Zeichnen eines Pfeils, der direkt auf den Beobachter zeigt oder direkt von ihm weg. Die Konvention besagt, dass ein Pfeil, der direkt auf den Beobachter zeigt, als kreisförmiger Punkt gezeichnet wird. Ein Pfeil, der direkt vom Beobachter weg zeigt, wird als eingekreistes „x“ gezeichnet.

Darstellung von Vektoren, die auf den Betrachter ausgerichtet sind: Tür von oben und von unten.

Bild: Eine Tür wird zusammen mit der gewählten Drehachse aus verschiedenen Perspektiven dargestellt.