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Frühe Rechen- und Kalkulationsmaschinen: Vom Abakus zu Babbage

Der Abakus

Es gibt eine lange Geschichte, die die Erfindung von Rechen- und Kalkulationsmaschinen beschreibt. Das früheste aufgezeichnete Rechengerät ist der Abakus. Der Abakus wurde als einfaches Rechengerät für arithmetische Berechnungen verwendet und tauchte wahrscheinlich erstmals vor über 5000 Jahren in Babylonien (heute Irak) auf. Seine heute bekanntere Form ist von der unten abgebildeten chinesischen Version abgeleitet.

Der Abakus ist eher ein Zählgerät als eine echte Rechenmaschine. (Siehe Abbildung 1.) Nichtsdestotrotz wurde er jahrhundertelang als zuverlässiges Mittel zum Addieren und Subtrahieren verwendet.

Al-Khwarizmi

Die meisten Einzelheiten über das Leben des bedeutenden Mathematikers Abu Ja’far Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi sind nicht bekannt. (Siehe Abbildung 2.) Wir wissen jedoch, dass er um 780 in Bagdad geboren wurde und um 850 starb. Al-Khwarizimi war einer der berühmtesten Gelehrten im Haus der Weisheit in Bagdad, der ersten großen Bibliothek seit Alexandria.

In einem seiner berühmtesten Werke bot al-Khwarizimi geometrische Demonstrationen oder numerische Beweise an, die den Europäern bis dahin unbekannt waren. Das Buch enthielt das Wort „al-jabr“ im Titel, was „Umstellung“ bedeutet. Später nannten die Europäer diese neue Art, über Arithmetik nachzudenken, „Algebra“.

Für unsere Zwecke ist jedoch sein lateinischer Name – „Algoritmi“ – für die Geschichte des Rechnens von größter Bedeutung. Er wurde zum Synonym für eine neue Art des Denkens, die „Algorithmus“ genannt wird. Damit wird ein verständlicher, schrittweiser Prozess bezeichnet, der zur Lösung eines mathematischen Problems entwickelt wurde. Damit ist die Verbindung zwischen den Begriffen Berechnung und Mechanismus unauslöschlich hergestellt.

Raymon Lull

Nicht alle frühen Rechengeräte dienten der Berechnung von Zahlen. Raymon Lull (1230-1315), ein spanischer Höfling und später konvertierter Mönch und Apologet, ist die erste Person in der Geschichte, von der bekannt ist, dass sie eine „logische“ Maschine entwickelt hat – eine Maschine, die logische Beweise berechnet, anstatt zu rechnen. Die Logik ist natürlich die Wissenschaft vom logischen Denken. Sie befasst sich in erster Linie mit der Form des Schlussfolgerns, die als Inferenz bezeichnet wird, d. h. mit der Ableitung neuer Informationen aus bereits bekannten Informationen. Die Logik versucht, die Prinzipien zu formulieren, die gerechtfertigte von ungerechtfertigten Schlussfolgerungen unterscheiden. Darüber hinaus ist sie eine formale Studie, die postuliert, dass Schlussfolgerungen mit abstrakten Methoden gemessen werden können, die Eigenschaften der Schlussfolgerung unabhängig von ihrem Inhalt berücksichtigen.

Der griechische Philosoph Aristoteles (384-323 v. Chr.) war der erste, der dieses Prinzip des Formalismus ausdrücklich anerkannte – dass Informationen getreu erfasst und anschließend mit Methoden erforscht werden können, die vollständig vom System der Symbole selbst abhängen. In der Prioren Analytik entwickelte Aristoteles das System der Syllogistik, den ersten aufgezeichneten Versuch, die Eigenschaften des Denkens mit Hilfe rein formaler Methoden darzustellen. Die Syllogistik sollte zeigen, dass wir neue Informationen aus bereits Bekanntem ableiten oder ableiten können, indem wir gültige Standardformen der Schlussfolgerung verwenden. Nach dieser Auffassung ist das gesamte menschliche Denken oder die Logik eine Art Berechnung.

Aristoteles‘ Syllogistik und Logik wurden von Gelehrten im griechischen, arabischen und später im westlichen Kulturkreis ausgiebig studiert.

Lull (in lateinischer Form Raimundus Lullus) stand ebenfalls in dieser aristotelischen Tradition. Er entwickelte eine Maschine, die aus einer Reihe von konzentrischen Kreisen bestand, wobei jeder Kreis Symbole enthielt, die verschiedene Konzepte zu einem bestimmten Thema darstellten. (Siehe Abbildung 3.) Die Kreise konnten gedreht werden, um verschiedene Kombinationen auszurichten oder zu berechnen. Jede Kombination stellte folglich eine Aussage über dieses Thema dar. Die Grundidee bestand darin, mechanisch alle möglichen Gedanken oder Ideen zu generieren, die über ein bestimmtes Thema ausgedrückt werden können. Mit konstruktiven Regeln, wie die Räder gedreht werden können, hoffte Lull zeigen zu können, wie wahre Aussagen aus der Menge aller möglichen Aussagen abgeleitet werden können.

Abgesehen von seinen Exzentrizitäten basiert Lulls Maschine auf zwei bedeutenden Ideen oder Überzeugungen. Erstens, dass Sprache und Begriffe durch physikalische Symbole hinreichend dargestellt werden können. Zweitens können Wahrheiten mit mechanischen Methoden erzeugt oder berechnet werden. Diese Ideen beeinflussten eine Reihe von Personen, die ihm folgten.

John Napier und Napiers Knochen

Als Nächstes gehen wir einige Jahrhunderte weiter und reisen nach Schottland. John Napier wurde im Jahr 1550 in der Nähe von Edinburgh geboren. Obwohl die meisten Details seiner Ausbildung unbekannt sind, besuchte er offenbar St. Andrews und Cambridge. Napiers Ruhm als Mathematiker wurde durch seine Entdeckung der Logarithmen begründet. Logarithmentabellen erleichterten es Astronomen, Bankiers und anderen, die komplexeren Operationen der Multiplikation und Division auf einfachere Additionen und Subtraktionen zu reduzieren. Wir werden in Kürze auf die Verwendung von Logarithmen zurückkommen.

Zu seinen Lebzeiten war Napier jedoch vor allem als Erfinder eines Rechenwerkzeugs bekannt, das als „Napier’s Bones“ bezeichnet wurde. Dabei handelte es sich um eine Reihe von Stäben (oft aus Knochen geschnitzt), in die Quadrate eingeschrieben waren. Mit den Stäben konnte man die Multiplikation durchführen, indem man Teilprodukte nachschlug und diese addierte. Die Division konnte in ähnlicher Weise als eine Reihe von Nachschlagen und Subtrahieren durchgeführt werden.

Später wurden die Stäbe mechanisiert, indem sie durch Zylinder ersetzt wurden, die in Position gedreht werden konnten. Eine Demonstration der Funktionsweise der Napier’schen Stäbe findet sich unter

Napier’s Demo

The Slide Rule

Wie bereits erwähnt, hatte John Napier die Verwendung von Logarithmen eingeführt. Später arbeitete er mit seinem Mathematikerkollegen Henry Briggs (1561-1630) zusammen und wandelte seine ursprünglichen logarithmischen Berechnungen in die heute gebräuchliche Basis-10-Darstellung um.

Der Nutzen von Logarithmen zeigt sich in den folgenden wichtigen Ergebnissen.

a * b = 10 ^ ( log (a) + log (b) ), und
a / b = 10 ^ ( log (a) – log (b) )

Allerdings konnte man sich diese Ergebnisse nicht zunutze machen, ohne einige zeitraubende Aufgaben durchzuführen. Um zwei Zahlen a und b zu multiplizieren,

1. muss man zwei Logarithmen nachschlagen.
2. muss man sie addieren.
3. muss man die entsprechende Zahl nachschlagen, deren Logarithmus ihre Summe ist.

Edmund Gunter (1581-1626) entwickelte ein Gerät, das Abhilfe schaffen sollte. Die so genannte „Gunter’s Scale“ zeichnete eine logarithmische Skala auf ein Zwei-Fuß-Lineal. Durch das Addieren und Subtrahieren von Längen war es möglich, die Ergebnisse der Multiplikation und Division zu erhalten.

William Oughtred (1574-1660) verbesserte 1630 Gunters einfaches Lineal durch die Kombination zweier kreisförmiger Skalen, die relativ zueinander bewegt werden konnten. Die beweglichen Skalen machten einen Teiler überflüssig und wurden so zum frühen Vorläufer des modernen Rechenschiebers. Ob gerade oder kreisförmig, der Rechenschieber stellt eine analoge Rechenmaschine dar, da die Ergebnisse der Operationen auf der kontinuierlichen Skala der Abstände beruhen.

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