Topologische analoge Signalverarbeitung

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Bloch-Eigenproblem

Der Massenkristall ist eindimensional mit der Gitterkonstante a und zwei Hindernissen pro Einheitszelle. Wir modellieren ihn und definieren seine Topologie mit Hilfe der Transfermatrix Mcell einer Einheitszelle. Wir beginnen mit der Definition der beiden Streumatrizen S1 und S2, die die Fernfeld-Streumatrizen jedes Hindernisses darstellen, wenn es sich allein im Monomode-Wellenleiter befindet. Diese Matrizen setzen die ausgehenden komplexen Signale auf der linken (L) und rechten (R) Seite der Streuer bL und bR in Beziehung zu den einfallenden, aL und aR:

$$$\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {b_{{\mathrm{L}},{{i}}}} \\ {b_{{\mathrm{R}},{{i}}}} {\end{array}} \right) = S_i\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {a_{{\mathrm{L}},{{i}}}} \\\ {a_{{\mathrm{R}},{{i}}}} \end{array}} \right).$$
(2)

Beachten Sie, dass wir vorerst nicht davon ausgehen, dass die beiden Matrizen gleich sind: die Zylinder könnten z.B. unterschiedliche Querschnitte haben oder gegeneinander verschoben sein, usw. Diese Matrizen hängen normalerweise auch von der Kreisfrequenz ω ab. Unter der Annahme, dass die Energie während des Streuprozesses erhalten bleibt, müssen sie unitär sein. Wir können sie daher sehr allgemein parametrisieren als

$$S_1 = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {e^{i\varphi _1}{\mathrm{cos}}\theta _1} & {e^{i\alpha _1}{\mathrm{sin}}\theta _1} \\ {e^{ – i\alpha _1}{\mathrm{sin}}\theta _1e^{i{\mathrm{\Phi }}_1}} & {e^{ – i\varphi _1}{\mathrm{cos}}\theta _1e^{i{\mathrm{\Phi }}_1}} \end{array}} \right),$$
(3)

$$S_2 = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {e^{i\varphi _2}{\mathrm{cos}}\theta _2} & {e^{i\alpha _2}{\mathrm{sin}}\theta _2} \\ {e^{ – i\alpha _2}{\mathrm{sin}}\theta _2e^{i{\mathrm{\Phi }}_2}} & {e^{ – i\varphi _2}{\mathrm{cos}}\theta _2e^{i{\mathrm{\Phi }}_2}} \end{array}} \right),$$
(4)

wobei die frequenzabhängigen Winkel θ1,2, α1,2, ϕ1,2 und Φ1,2 eindeutig sind, sobald wir die Bezugsebene, hier die zentrale Position der Streuer, festlegen. Unter der Annahme der Reziprozität (S21 = S12) müssen wir 2α1,2 – Φ1,2 = π haben, was uns auf drei Parameter pro Streumatrix einschränkt und uns erlaubt zu schreiben:

$$S_1 = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {e^{i\varphi _1}{\mathrm{cos}}\theta _1} & {e^{i\alpha _1}{\mathrm{sin}}\theta _1} \\ {e^{i\alpha _1}{\mathrm{sin}}\theta _1} & { – e^{ – i\varphi _1}{\mathrm{cos}\theta _1e^{2i\alpha _1}} \end{array}} \right),$$
(5)

$$S_2 = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {e^{i\varphi _2}{\mathrm{cos}}\theta _2} & {e^{i\alpha _2}{\mathrm{sin}}\theta _2} \\ {e^{i\alpha _2}{\mathrm{sin}}\theta _2} & { – e^{ – i\varphi _2}{\mathrm{cos}\theta _2e^{2i\alpha _2}} \end{array}} \right).$$
(6)

Dann kann man die zugehörigen Transfermatrizen M1 und M2 ableiten, definiert als

$$\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{{b}}_{{\mathrm{R}},{{i}}}} \\ {a_{{\mathrm{R}},{{i}}}} \end{array}} \right) = M_{{i}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {a_{{\mathrm{L}},{{i}}}} \\\ {b_{{\mathrm{L}},{{i}}}} \end{array}} \right)$$
(7)

und man erhält

$$M_1 = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{{e^{i\alpha _1}}}{{{\mathrm{sin}}\theta _1}} & { – \frac{{e^{ – i\varphi _1}e^{i\alpha _1}{\mathrm{cos}}\theta _1}}{{{\mathrm{sin}}\theta _1}} \\ { – \frac{e^{i\varphi _1}e^{ – i\alpha _1}{\mathrm{cos}}\theta _1}}{{{\mathrm{sin}}\theta _1}} & {\frac{{e^{ – i\alpha _1}}}{{{\mathrm{sin}}\theta _1}} \end{array}} \right),$$
(8)

$$M_2 = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{{e^{i\alpha _2}}}{{{\mathrm{sin}}\theta _2}} & { – \frac{{e^{ – i\varphi _2}e^{i\alpha _2}{\mathrm{cos}}\theta _2}}{{{\mathrm{sin}}\theta _2}} \\ { – \frac{e^{i\varphi _1}e^{ – i\alpha _2}{\mathrm{cos}}\theta _2}}{{{\mathrm{sin}}\theta _2}} & {\frac{{e^{ – i\alpha _2}}{{{\mathrm{sin}}\theta _2}} \end{array}} \right).$$
(9)

Wenn die beiden Streuer durch einen Abstand d in einer Einheitszelle der Gitterkonstante a getrennt sind, ist die gesamte Übertragungsmatrix der Einheitszelle Mcell das Produkt:

$${\it{M}}_{{\mathrm{cell}}} = {\it{M}}_{\frac{{{{a – d}}}}{2}}{\it{M}}_2{\it{M}}_{{{d}}{\it{M}}_1{\it{M}}_{\frac{{{{a – d}}}}{2}}$$
(10)

mit

$$M_{{L}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {e^{\frac{{i\omega L}}{c}}} & 0 \\\ 0 & {e^{ – \frac{{i\omega L}}{c}} \end{array}} \right),$$
(11)

wobei \(L = d,\frac{{a – d}}{2},\) und c die Phasengeschwindigkeit ist. Man erhält, nachdem man das Matrixprodukt genommen hat,

$${\it{M}}_{{\mathrm{cell}}}\left( \omega \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {M_{11}\left( \omega \right)} & {M_{21}^ \ast \left( \omega \right)} & {M_{21}}\links( \omega \rechts)} & {M_{11}^ \ast \left( \omega \right)} \end{array}} \right)$$
(12)

mit

$${\it{M}}_{11}\left( \omega \right) = e^{\frac{{i\omega a}}{c}}e^{i\left( {a_1 + a_2} \right)}{\mathrm{csc}}\theta _1{\mathrm{csc}}\theta _2 + e^{\frac{{i\omega \left( {a – 2d} \right)}}{c}}e^{i\left( {\varphi _1 – \varphi _2} \right)}e^{ – i\left( {a_1 – a_2} \right)}{\mathrm{cot}}\theta _1{\mathrm{cot}}\theta _2,$$
(13)

$$M_{21}\left( \omega \right) = – e^{\frac{{i\omega d}}{c}}e^{i\varphi _2}e^{i(a_1 – a_2)}{\mathrm{csc}}\theta _1{\mathrm{cot}}\theta _2 – e^{ – \frac{{i\omega d}}{c}}e^{i\varphi _1}e^{ – i(a_1 + a_2)}{\mathrm{cot}}\theta _1{\mathrm{csc}}\theta _2.$$
(14)

Wir verwenden die Schreibweise z*, um die komplex Konjugierte von z zu bezeichnen. Mit |ψ〉 = T, wobei a und b die vorwärts und rückwärts gerichteten komplexen Feldamplituden am Eingang der Einheitszelle sind, ergibt die Anwendung des Bloch-Theorems das folgende Eigenwertproblem,

$$${\it{M}}_{{\mathrm{cell}}}\left( \omega \right)\left| \psi \right\rangle = e^{i\,k_{\mathrm{B}}a}\left| \psi \right\rangle$$
(15)

, was wir das Bloch-Eigenproblem des Kristalls nennen. Man beachte die nicht-triviale Abhängigkeit von Mcell(ω) von ω. Die einfachste Anwendung der obigen Gleichung ist die folgende: für alle Werte von ω kann man Mcell(ω) diagonalisieren und erhält zwei entgegengesetzte Werte ±kB(ω) der Bloch-Wellenzahl in der ersten Brillouin-Zone und löst die Bandstruktur auf. Beachten Sie, dass Mcell nicht unitär und nicht hermitisch ist, was bedeutet, dass die Werte ±kB(ω) im Allgemeinen komplex sind, was im Prinzip eine unendliche Anzahl von Bändern und Bandlücken ermöglicht. Man beachte auch den Unterschied zum Standard-SSH-Modell mit enger Bindung, das zu einem hermiteschen Eigenwertproblem führt, das den Brillouin-Kreis auf den Raum der SU(2)-Matrizen abbildet, und zu einer klaren topologischen Klassifizierung chiraler symmetrischer Systeme über die Windungszahl. Hier, in Übereinstimmung mit der Zeitumkehrsymmetrie54, \(M_{{\mathrm{cell}}\left( \omega \right) \in {\mathrm{{SU}}(1,1)\), eine Gruppe von nicht-hermitischen Matrizen55. SU(1,1)-Hamiltonianer findet man zum Beispiel in PT-symmetrischen Erweiterungen des SSH-Modells56 , wo die Nicht-Hermitizität des Hamiltonianers auf die fehlende Energieerhaltung zurückzuführen ist. Hier ist Mcell kein Hamiltonian in dem Sinne, dass seine Eigenwerte nicht auf ω, sondern auf kB bezogen sind, und die Pseudo-Anti-Hermitizität von Mcell (\(\sigma _{\mathrm{z}}{\it{M}}_{\mathrm{cell}}}^{\mathrm{\dagger }}\sigma _{\mathrm{z}} = – {\it{M}}_{\mathrm{cell}})) ist mit der Zeitumkehrsymmetrie verbunden. In der ergänzenden Abb. 11 stellen wir die mit dem Transfermatrix-Ansatz erhaltene Bandstruktur dar und vergleichen sie mit derjenigen, die direkt aus Vollwellensimulationen der Einheitszelle unter periodischen Randbedingungen (FEM-Methode) erhalten wurde. Zur Lösung des Eigenwertproblems der Transfermatrix wurden die Parameter θ1,2, α1,2 und Φ1,2, die von der Frequenz abhängen, aus FEM-Simulationen der Streuung eines einzelnen Hindernisses in einem Wellenleiter extrahiert. Der Abstand zwischen den beiden Streuern wird als \(d = \frac{a}{2} – e_{\mathrm{p}}\) angenommen, mit ep = 2,8 cm („trivialer“ Fall) und a = 23 cm. Der Stabdurchmesser beträgt 3,5 cm und die Breite des Wellenleiters 7 cm. Die Übereinstimmung zwischen den beiden Ansätzen bestätigt die Genauigkeit des Modells der Mehrfachstreuung, insbesondere die zugrundeliegende Annahme, dass es keine Nahfeldwechselwirkungen zwischen den Hindernissen im Kristall gibt.

Eigenschaften der Transfermatrix der Einheitszelle

Um die Topologie des Systems im nächsten Abschnitt zu definieren, müssen wir zunächst einige Schlüsseleigenschaften der Transfermatrix der Einheitszelle festlegen. Wir beginnen mit allgemeinen Eigenschaften, bevor wir zu spezifischeren Eigenschaften auf einem Band oder an entarteten Punkten der Bandstruktur übergehen.

Als direkte Folge der Zeitumkehrsymmetrie54 gehört die Transfermatrix des Systems Mcell zur Gruppe SU(1,1) von Matrizen der Form

$$M_{{\mathrm{{cell}}}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} \alpha & {\beta ^ \ast } \\beta & {\alpha ^ \ast } \end{array}} \right)$$
(16)

, die mit Hilfe der Pauli-Matrizen parametrisiert wird als

$${\it{M}}_{\mathrm{cell}} = \alpha _{\mathrm{R}}\sigma _0 + \beta _{\mathrm{R}}\sigma _x + \beta _{\mathrm{I}}\sigma _y + i\alpha _{\mathrm{I}}\sigma _{\mathrm{z}}.$$
(17)

Ihre Eigenwerte, gegeben durch \(\lambda _ \pm = \alpha _{\mathrm{R}} \pm i\sqrt {\alpha _{\mathrm{I}}^2 – \beta _{\mathrm{R}}^2 – \beta _{\mathrm{I}}^2}) sind reell, wenn \(\alpha _{\mathrm{I}}^2 < \left| \beta \right|^2\), und ansonsten komplex. Diese Eigenwerte sind entartet unter der Bedingung \(\alpha _{\mathrm{I}}^2 – \beta _{\mathrm{R}}^2 – \beta _{\mathrm{I}}^2 = 0\), d.h. wenn die Parameter βR, βI und αI zu einem Doppelkegel im Raum (βR, βI, αI) gehören. Dieser Kegel ist in den unteren Feldern von Abb. 6 dargestellt. An der Spitze des Kegels hat man βR = βI = αI = 0, was bedeutet, dass Mcell sich auf Mcell = αRσ0 reduziert.

Abb. 6
Abbildung6

Topologie der Bänder. Wir definieren die Topologie der Bänder als die Anzahl der Kreuzungen der Konturen \(\mathcal{C}\) mit der Achse des in Gl. 20 definierten Kegels. a Für das triviale Gitter kreuzt die Kontur \(\mathcal{C}\) nicht die Achse des Kegels, was einer topologischen Invariante von Null entspricht. b Wenn das System einen Phasenübergang durchläuft, berührt die Kontur \(\mathcal{C}\) die Spitze des Kegels. Die topologische Invariante kann in diesem Fall nicht definiert werden. c Wie die Tafeln (a) und (b), jedoch für das topologische Gitter. Die Kontur \(\mathcal{C}\) kreuzt in diesem Fall einmal die Achse des Kegels, was einer nichttrivialen Topologie entspricht

Auf einem Band hat die Matrix Mcell eine besondere Form. In der Tat impliziert das Bloch-Eigenproblem, dass \(\alpha _{\mathrm{R}} \pm i\sqrt {\alpha _I^2 – \left| \beta \right|^2} = e^{i\,k_{\mathrm{B}}a}\), woraus folgt, dass

$${\it{\alpha }}_{\mathrm{R}} = {\mathrm{cos}}\links( {k_{\mathrm{B}}a} \rechts)$$
(18)

und

$$\left| \alpha \right|^2 = 1 + \left| \beta \right|^2$$$
(19)

implizierend \(\alpha _{\mathrm{I}}^2 + \alpha _{\mathrm{R}}^2 = 1 + \left| \beta \right|^2\), was äquivalent ist zu \(\alpha _{\mathrm{I}}^2 = {\mathrm{sin}}^2(k_{\mathrm{B}}a) + \left| \beta \right|^2\), oder

$${\it{\alpha }}_{\mathrm{I}} = \pm \sqrt {{\mathrm{sin}}^2({\it{k}}_{\mathrm{B}}{\it{a}}) + \left| \beta \right|^2}.$$
(20)

Auf einem Band haben wir also

$$M_{{\mathrm{cell}}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{\mathrm{cos}}(k_{\mathrm{B}}a) \pm i\sqrt {{\mathrm{sin}}^2(k_{\mathrm{B}}a) + \left| \beta \right|^2} } & {\beta \ast } \\beta & {{\mathrm{cos}}(k_{\mathrm{B}}a) \mp i\sqrt {{\mathrm{sin}}^2(k_{\mathrm{B}}a) + \left| \beta \right|^2} } \end{array}} \right).$$
(21)

Ein Band beschreibt demnach eine Eins-zu-Eins-Abbildung vom Brillouin-Kreis auf einen geschlossenen Pfad \(\mathcal{C}\) im Unterraum der SU(1,1)-Matrizen Mcell(kB) mit der obigen Form. Aus dem Bloch-Eigenwertproblem \(M_{{\mathrm{cell}}}\left( \omega \right)\left| \psi \right\rangle = e^{i\,k_{\mathrm{B}}a}\left| \psi \right\rangle\), leitet man ab, dass Mcell(ω) auf einem Band komplexe Eigenwerte hat, was bedeutet, dass \(\alpha _{\mathrm{I}}^2 > \left| \beta \right|^2\), d. h. der Pfad \(ω)d. h. der Pfad \(\mathcal{C}\) muss innerhalb des Kegels liegen, entweder im oberen Bereich αI > |β|, oder im unteren αI < -|β|. Darüber hinaus kann der Pfad \(\mathcal{C}\) den Kegel nur berühren, wenn die Eigenwerte von Mcell, nämlich \(e^{i\,k_{\mathrm{B}}a}\), entartet sind. Dies ist notwendigerweise an den Rändern der Brillouin-Zone \(\left( {k_{\mathrm{B}} = \pm \frac{\pi }{a}} \right)\) und in ihrem Zentrum kB = 0 der Fall. Dazwischen kann \(\mathcal{C}\) den Kegel nicht berühren, da aufgrund der Zeitumkehrsymmetrie zwei verschiedene Eigenwerte \(e^{ \pm i\,k_{\mathrm{B}}a}\) gefunden werden müssen. Schließlich ist der Pfad \(\mathcal{C}\) keine Schleife, sondern eine einfache Linie, da Mcell eine einfache Funktion von ω ist, und daher für zwei entgegengesetzte Werte von kB auf einem Band gleich ist: Sie beginnt auf dem Kegel bei \(k_{\mathrm{B}} = – \frac{\pi }{a}\) und landet bei kB = 0 wieder auf ihm, bevor sie den umgekehrten Weg zwischen kB = 0 und \(k_{\mathrm{B}} = \frac{\pi }{a}\) nimmt. Abbildung 6a zeigt ein Beispiel der \(\mathcal{C}\)-Kontur für das dritte Band des Kristalls (angeblich topologisch „trivialer“ Fall, mit ep = 2,8 cm), und Abb. 6c zeigt dieselbe Kontur für ep = -2,8 cm, was dem dualen System entspricht, das angeblich topologisch ist (die topologischen Eigenschaften werden im nächsten Abschnitt nachgewiesen). Abbildung 6b zeigt den Fall ep = 0 cm, in dem die Bandlücken geschlossen sind. Wie erwartet, beginnt und endet die Kontur in allen Fällen auf dem Kegel.

Um die Bedingungen zu untersuchen, unter denen sich zwei aufeinanderfolgende Frequenzbänder berühren können, ist es zweckmäßig, das Bloch-Eigenproblem in die äquivalente Form umzuformen:

$$e^{ – i\,k_{\mathrm{B}}a}M_{{\mathrm{cell}}\left( \omega \right)\left| {\psi \rangle } \right. = \left| {\psi \rangle } \right.$$
(22)

und stellen Sie sich das wie folgt vor: Für jedes kB in der ersten Brillouin-Zone bedeutet die Suche nach den Bändern, dass man die Werte von ω findet, für die die Matrix \(e^{ – i\,k_{\mathrm{B}}a}M_{{\mathrm{cell}}}) mindestens einen Eigenwert gleich 1 hat, wobei der entsprechende Eigenvektor der Bloch-Eigenvektor auf diesem bestimmten Band ist. Dies kann für unendlich viele Werte von ω geschehen. Wenn beide Eigenwerte von \(e^{ – i\,k_{\mathrm{B}}a}M_{\mathrm{cell}}) bei einer bestimmten Frequenz gleich eins sind, ist die Bandstruktur doppelt entartet, was somit die maximal zulässige Frequenzentartung des Systems darstellt. Da die allgemeine Form der Eigenwerte von \(e^{ – i\,k_{\mathrm{B}}a}M_{\mathrm{cell}}) auf einem Band \(\upsilon _ \pm = e^{ – i\,k_{\mathrm{B}}a}\left( {\alpha _{\mathrm{R}} \pm i\sqrt {\alpha _{\mathrm{I}}^2 – \left| \beta \right|^2} } \right) = e^{ – i\,k_{\mathrm{B}}a}e^{ \pm i\,k_{\mathrm{B}}a}\), der zweite Eigenwert \(e^{ – 2i\,k_{\mathrm{B}}a}\) kann nur an den Rändern der Brillouin-Zone \(\left( {k_{\mathrm{B}} = \pm \frac{\pi }{a}}} \right)\) oder bei kB = 0 gleich Eins werden. Folglich können sich Bandlücken nur in der Mitte oder am Rand der Brillouin-Zone schließen, d.h. wenn die Kontur \(\mathcal{C}\) den Kegel berührt.

Nimmt man den ersten Fall an, d.h. eine Entartung bei \(k_{\mathrm{B}} = \pm \frac{\pi }{a}\), so hat man \(e^{ – i\,k_{\mathrm{B}}a} = – 1\). Wir erhalten, bei der besonderen Frequenz der Entartung,

$$e^{ – i\,k_{\mathrm{B}}a}M_{\mathrm{cell}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {1 \mp i\left| \beta \right|} & { – \beta \ast } \\beta \ast } & {1 \pm i\left| \beta \right|} \end{array}} \right)$$
(23)

und diese Matrix kann nur gleich der Identität sein, wenn \(\left| \beta \right| = 0\). Der zweite Fall der Entartung bei kB = 0 führt zu der gleichen Schlussfolgerung \((\left| \beta \right| = 0)\). Das bedeutet, dass, wenn sich zwei Bänder berühren, die Kontur \(\mathcal{C}\) die Spitze des Kegels erreicht, wie Abb. 6b bestätigt.

Topologie der Bänder

Wie in den vorhergehenden Abschnitten gesehen, definiert jedes Band eine Abbildung zwischen dem Brillouin-Kreis und einem Unterraum von SU(1,1)-Matrizen. Wir definieren nun eine topologische Invariante für jedes Band, d.h. eine ganzzahlige Größe, die bei kontinuierlichen Transformationen der Bandstruktur invariant ist. Das bedeutet, dass sich diese Zahl nur ändern kann, wenn das Band eine diskontinuierliche Transformation erfährt, d.h. ein anderes Band berührt, oder wenn die Kontur \(\mathcal{C}\) die Spitze des Kegels berührt.

Wie im Standardmodell der engen Bindung von SSH benötigen wir eine zusätzliche Symmetrie, ähnlich der chiralen Symmetrie, um topologische Invarianten für jedes Band definieren zu können. Hier müssen wir verlangen, dass die Streumatrizen S1 und S2 gleich sind, indem wir θ1 = θ2 =θ, α1,2 = α1,2 = α und φ1 = φ2 = φ nehmen. Mit dieser zusätzlichen Bedingung kann die Menge \(\beta = M_{21}\left( {\omega (k_{\mathrm{B}})} \rechts)\) in Gleichung. 14, die die Matrix Mcell auf einem Band parametrisiert, wird

$$$beta \left( {k_{\mathrm{B}} \right) = – 2e^{i\left( {\varphi – \alpha } \right)}\cos \left( {\alpha + \frac{{\omega \left( {k_{\mathrm{B}}} \right)d}{c}} \rechts)\cot \theta \csc \theta,$$
(24)

wobei die Größen α, θ und φ, die die S-Matrix eines einzelnen Hindernisses parametrisieren, im Allgemeinen von ω(kB) abhängen. Wir nehmen dann den Fall von nicht-resonanten Streuern an, was bedeutet, dass cos θ auf dem Band nicht verschwindet und die Variation von α und θ auf dem Band vernachlässigbar ist. Da Mcell immer zwei komplex-konjugierte unimodulare Eigenwerte hat, ist ω(kB) notwendigerweise monoton zwischen -π/a und 0. Richten wir unsere Aufmerksamkeit auf die Größe \(\cos \left( {\alpha + \frac{{\omega \left( {k_{\mathrm{B}}} \right)d}}{c}} \rechts)\), was dazu führen kann, dass die komplexe Zahl β(kB) an einem bestimmten Punkt der Brillouin-Zone verschwindet. Wenn kB von -π/a bis 0 geht, bewegt sich der Winkel \(\gamma = \alpha + \frac{{\omega \left( {k_{\mathrm{B}}} \right)d}}{c}\) monoton zwischen zwei reellen Werten, sagen wir γmin und γmax, was eine kontinuierliche monotone Abbildung zwischen \(\left\) und definiert. Nun können zwei Situationen auftreten:

  1. (1)

    Das Segment enthält nicht π/2 (modulo π), in welchem Fall \(\cos \left( {\alpha + \frac{{\omega \left( {k_{\mathrm{B}}} \right)d}}{c}} \right)\) verschwindet nie, wenn kB von -π/a nach 0 geht. Das bedeutet, dass β nie auf dem Band verschwindet.

  2. (2)

    Das Segment enthält π/2 (modulo π), in diesem Fall verschwindet β mindestens einmal auf dem Band.

Da β = 0 bedeutet, dass die Kontur \(\mathcal{C}\) die Kegelachse kreuzt, können wir also eine topologische Invariante η auf folgende Weise definieren: Wir können die Anzahl der Male η zählen, die \(\mathcal{C}\) die Kegelachse kreuzt, wenn kB von -π/a bis 0 geht. Diese ganze Zahl ändert sich jedes Mal, wenn γmax oder γmin gleich π/2 (modulo π) ist, d.h. wenn β entweder am Rand oder im Zentrum der Brillouin-Zone Null ist, also wenn sich eine Bandlücke schließt. Abbildung 6 zeigt, wie sich die Kontur \(\mathcal{C}\) für das dritte Band unseres Systems entwickelt, wenn man vom trivialen Zustand (Tafel a, \(\mathcal{C}\) kreuzt die Kegelachse nicht, η = 0) zum topologischen Zustand (Tafel c, \(\mathcal{C}\) kreuzt die Kegelachse, η = 1) übergeht. Beim topologischen Phasenübergang berührt die Kontur \(\mathcal{C}\) die Spitze des Kegels, wodurch die Bandlücke geschlossen wird, und die Zahl η ist nicht definiert.

Symmetrieschutz

Die Definition der topologischen Invariante η als die Anzahl, wie oft die Kontur \(\mathcal{C}\) die Kegelachse zwischen -π/a und 0 kreuzt, basiert auf zwei zugrundeliegenden Symmetrien, und beide müssen erfüllt sein:

  1. (1) Zeitumkehrsymmetrie, die garantiert, dass Mcell zu SU(1,1)55 gehört.

  1. (2) Gleichheit von S1 und S2 (die Fernfeld-Einzelstreumatrizen der beiden Hindernisse müssen identisch sein), oder äquivalent:

$$M_{{\mathrm{cell}}^2 = 1.$$
(25)

Es ist offensichtlich, dass die horizontale Positionsstörung die einzelnen Streuparameter des Objekts nicht verändert. Auch die vertikale Positionsstörung ändert sie nicht, wie in der ergänzenden Abb. 12 gezeigt wird (der einzige Unterschied im Streuspektrum sind sehr scharfe Fano-Interferenzen, die durch die Kopplung an einen akustisch gebundenen Zustand im Kontinuum entstehen, aber sie liegen weit außerhalb des interessierenden Frequenzbereichs). Infolgedessen bricht die Positionsstörung nicht (M_{\mathrm{cell}}^2 = 1\). Eine Änderung des Durchmessers eines Stabes ändert jedoch definitiv seine Streumatrix. Im Fall von Stäben mit unterschiedlichen Radien ist es so, dass der reale und imaginäre Teil der Menge

$$$$beta \left( {k_{\mathrm{B}} \right) = – e^{\frac{{i\omega \left( {k_{\mathrm{B}} \right)d}}{c}}e^{i\varphi _2}e^{i(a_1 – a_2)}\csc \theta _1\cot \theta _2 – e^{ – \frac{{i\omega \left( {k_{\mathrm{B}} \right)d}}{c}}e^{i\varphi _1}e^{ – i(a_1 + a_2)}\cot \theta _1\csc \theta _2$$
(26)

sind nie gleichzeitig Null, was bedeutet, dass die Kontur \(\mathcal{C}\) es vermeiden kann, die Kegelachse zu kreuzen, indem sie einfach um sie herumgeht. Dies ist analog zu einer SSH-Kette ohne chirale Symmetrie, bei der einige richtig gewählte chiralitätsbrechende Defekte an einer Grenzfläche die Windungszahl ändern können, ohne die Bandlücke zu schließen. Diese Ergebnisse erklären die Ergebnisse der Vollwellensimulationen, die in Abb. 3 des Haupttextes dargestellt sind.

Numerische Methoden

Die Vollwellensimulationen werden alle mit Comsol Multiphysics (Akustik- und HF-Module) durchgeführt. Die Ausbreitungskurven werden erhalten, indem man eine einzelne Einheitszelle des Gitterarrays betrachtet, die Floquet-Randbedingung auf die lateralen Seiten der Einheitszelle anwendet und Eigenfrequenzsimulationen für alle Floquet-Bloch-Wellenzahlen durchführt.

Um die Frequenzspektren der ODE-Löser zu erhalten, regen wir das System mit einer einfallenden ebenen Welle mit Einheitsamplitude an und messen den Druck auf der Übertragungsseite des Wellenleiters.

Um unsere experimentellen Messungen zu validieren, führten wir numerische Finite-Elemente-Simulationen durch, bei denen wir einen viskothermischen Verlust von 1,15 dB/m berücksichtigten, um beispielsweise eine Übertragungsfunktion X(ω) zwischen den injizierten und den übertragenen Schallwellen zu erhalten. Anschließend erhielten wir die Übertragungsfunktion des Lautsprechers Y(ω), indem wir den leeren Wellenleiter anregten und den zugehörigen Schalldruckpegel auf der Übertragungsseite maßen. Die Übertragungsfunktion Z(ω) zwischen der an den Lautsprecher angelegten Spannung und dem übertragenen Druck ließ sich dann leicht als \(Z\left( \omega \right) = X(\omega )/Y(\omega )\) ermitteln.

In unseren FDTD-Simulationen regen wir den Wellenleiter von einem Ende aus mit dem gewünschten modulierten Eingangssignal an und zeichnen die zeitliche Entwicklung des Druckfeldes (mit einem Zeitschritt, der der Courant-Friedrichs-Lewy-Bedingung (CFL) unterliegt, um die Stabilität zu gewährleisten) auf, das an einem Punkt auf der anderen Seite des Wellenleiters empfangen wird.

Experimentelle Methoden

Wie im Haupttext erwähnt, wird ein Acryl-Vierkantrohr zur Realisierung des akustischen Wellenleiters verwendet. Nylon 6 Stranggusszylinder wurden dann manuell in den Wellenleiter eingesetzt, um die SSH-Anordnung zu bilden. Die ergänzende Abb. 13a zeigt den Versuchsaufbau, der zur Ermittlung der Übertragungsfunktion des Systems verwendet wurde. Der Aufbau besteht aus einem Lautsprecher, einem Data Physics Quattro Signalanalysator, der an einen Computer angeschlossen ist (in der Abbildung nicht dargestellt), der ihn steuert, einem ICP-Mikrofon, das den übertragenen Schalldruckpegel misst, und einem selbstgebauten schalltoten Abschluss (in der Abbildung nicht dargestellt). Um die Übertragungsfunktion der Probe zu erhalten, wird der Lautsprecher mit einer Burst-Rauschspannung angesteuert (die in der Anordnung als Referenzsignal festgelegt ist), und der Druckpegel in Bezug auf den Referenzkanal wird mit dem ICP-Mikrofon gemessen. Ergänzende Abb. 13b zeigt den Versuchsaufbau zur Erzeugung eines Eingangssignals (Spannung) mit einem beliebigen Zeitprofil \(\tilde g(t)\) und zur Messung der zeitlichen Entwicklung des Ausgangssignals \(\tilde f(t)\). Der Aufbau besteht aus einer Speedgoat Performance Real-Time Target Machine mit IO131-Schnittstelle, die von der xPC-Target-Umgebung von MATLAB/Simulink gesteuert wird, einem Lautsprecher, einem Leistungsverstärker, einem selbstgebauten akustischen Abschluss (in der Abbildung nicht dargestellt) und einem ICP-Mikrofon zur Messung des übertragenen Drucks.