Apolonio de Perga

Una elipse (sombreada en verde) fue una de las secciones cónicas estudiadas y nombradas por Apolonio.

Apolonio de Perga (Pergaeus) (ca. 262 a.C. – ca. 190 a.C.) fue un geómetra y astrónomo griego de la escuela alejandrina, destacado por sus escritos sobre las secciones cónicas. Su innovadora metodología y terminología, especialmente en el campo de las cónicas, influyó en muchos estudiosos posteriores, como Ptolomeo, Francesco Maurolico, Isaac Newton y René Descartes.

Una parábola (sombreada en verde) es otra sección cónica descrita por Apolonio.

Una hipérbola (sombreada en verde) es una tercera sección cónica estudiada por Apolonio.

Fue Apolonio quien dio a la elipse, a la parábola y a la hipérbola los nombres por los que ahora se conocen. También se le atribuyen las hipótesis de las órbitas excéntricas, o deferentes y los epiciclos, para explicar el movimiento aparente de los planetas y la velocidad variable de la Luna. El teorema de Apolonio demuestra que dos modelos pueden ser equivalentes, dados los parámetros adecuados. Ptolomeo describe este teorema en el Almagesto 12.1. Apolonio también investigó la teoría lunar, que denominó Epsilon (ε). El cráter de Apolonio en la Luna fue nombrado en su honor.

Vida y obra principal

Apolonio nació hacia el año 262 a.C., unos 25 años después de Arquímedes. Floreció bajo los reinados de Ptolomeo Euergetes y Ptolomeo Filopator (247-205 a.C.). Su tratado sobre las cónicas le valió el nombre de «Gran Geómetra», un logro que le aseguró la fama.

De todos sus tratados, sólo sobrevive el de Cónicas. De los demás, los historiadores tienen títulos y alguna indicación de su contenido gracias a escritores posteriores, especialmente Pappus. Tras la primera edición de los ocho libros de Cónicas, Apolonio sacó una segunda edición a propuesta de Eudemo de Pérgamo. Mientras revisaba cada uno de los tres primeros libros, Apolonio envió a Eudemo una copia; los cambios más considerables se produjeron en los dos primeros libros. Eudemo murió antes de completar el resto de la revisión, por lo que Apolonio dedicó los últimos cinco libros al rey Atalo I (241-197 a.C.). Sólo cuatro libros han sobrevivido en griego; tres más existen en árabe; el octavo nunca ha sido descubierto.

Aunque se ha encontrado un fragmento de una traducción latina del siglo XIII a partir del árabe, no fue hasta 1661, que Giovanni Alfonso Borelli y Abraham Ecchellensis hicieron una traducción de los libros 5-7 al latín. Aunque utilizaron la versión árabe de Abu ‘l-Fath de Ispahan del año 983, conservada en un manuscrito florentino, la mayoría de los estudiosos coinciden ahora en que las mejores traducciones árabes son las de Hilal ibn Abi Hilal para los Libros 1-4 y las de Thabit ibn Qurra para los Libros 5-7.

Apolonio se ocupaba de las matemáticas puras. Cuando le preguntaron por la utilidad de algunos de sus teoremas en el Libro 4 de las Cónicas, afirmó con orgullo que «son dignos de ser aceptados por las demostraciones mismas, del mismo modo que aceptamos muchas otras cosas en matemáticas por esto y por ninguna otra razón.» Y como muchos de sus resultados no eran aplicables a la ciencia o a la ingeniería de su época, Apolonio argumentó además en el prefacio del quinto libro de Cónicas que «el tema es uno de los que parecen dignos de estudio por su propia razón.»

Cónicas

Apolonio afirma que en los libros 1 a 4 elabora la generación de las curvas y sus propiedades fundamentales presentadas en el libro 1 de forma más completa que lo que hacían los tratados anteriores, y que una serie de teoremas del libro 3 y la mayor parte del libro 4 son nuevos. Las alusiones a las obras de sus predecesores, como los cuatro libros sobre cónicas de Euclides, muestran una deuda no sólo con Euclides, sino también con Conón y Nicóteles.

La generalidad del tratamiento de Apolonio es notable. Define y nombra las secciones cónicas, la parábola, la elipse y la hipérbola. Considera que cada una de estas curvas es una propiedad cónica fundamental que equivale a una ecuación (posteriormente llamada ecuación cartesiana) aplicada a los ejes oblicuos -por ejemplo, los ejes formados por un diámetro y la tangente en su extremo- que se obtienen al cortar un cono circular oblicuo. (Un cono circular oblicuo es aquel en el que el eje no forma un ángulo de 90 grados con la directriz. Por el contrario, un cono circular recto es aquel en el que el eje forma un ángulo de 90 grados con la directriz). Afirma que la forma en que se corta el cono no importa. Demuestra que los ejes oblicuos son sólo un caso particular, después de demostrar que la propiedad cónica básica puede expresarse de la misma forma con referencia a cualquier diámetro nuevo y a la tangente en su extremo. Así, los libros 5-7 son claramente originales.

El genio de Apolonio alcanza sus mayores cotas en el libro 5. Aquí trata las normales matemáticas (una normal es una recta trazada perpendicularmente a una superficie o a otra recta) como rectas mínimas y máximas trazadas desde puntos dados a la curva (independientemente de las propiedades de la tangente); discute cuántas normales pueden trazarse desde puntos concretos; halla sus pies por construcción; y da proposiciones que determinan el centro de curvatura en cualquier punto y también conduce a la ecuación cartesiana de la evolvente de cualquier sección cónica.

En Cónicas, Apolonio desarrolló aún más un método que es tan similar a la geometría analítica que a veces se considera que su trabajo anticipa el trabajo de Descartes en unos 1800 años. Su aplicación de líneas de referencia (como un diámetro y una tangente) es esencialmente la misma que nuestro uso moderno de un marco de coordenadas. Sin embargo, a diferencia de la geometría analítica moderna, no tenía en cuenta las magnitudes negativas. Además, superponía el sistema de coordenadas a cada curva después de haberla obtenido. Así, derivó ecuaciones de las curvas, pero no derivó curvas de las ecuaciones.

Otras obras

Pappus menciona otros tratados de Apolonio. Cada uno de ellos estaba dividido en dos libros, y -con los Datos, los Porismos y las Superficies-Loci de Euclides, y las Cónicas de Apolonio- estaban, según Pappus, incluidos en el cuerpo del análisis antiguo.

De Rationis Sectione

De Rationis Sectione (Corte de una razón) trataba de resolver un determinado problema: Dadas dos rectas y un punto en cada una de ellas, trazar a través de un tercer punto dado una recta que corte a las dos rectas fijas de forma que las partes interceptadas entre los puntos dados en ellas y los puntos de intersección con esta tercera recta puedan tener una razón dada.

De Spatii Sectione

De Spatii Sectione (Corte de un área) trataba un problema similar que requería que el rectángulo contenido por las dos intercepciones fuera igual a un rectángulo dado.

De Sectione Determinata

De Sectione Determinata (Sección Determinada) trata problemas de una forma que puede llamarse geometría analítica de una dimensión; con la cuestión de encontrar puntos de una línea que estuvieran en una proporción con los demás. Los problemas específicos son: Dados dos, tres o cuatro puntos de una recta, encontrar otro punto de la misma tal que sus distancias a los puntos dados satisfagan la condición de que el cuadrado de uno o el rectángulo contenido por dos tenga una relación dada, bien, (1) con el cuadrado del restante o el rectángulo contenido por los dos restantes o, (2) con el rectángulo contenido por el restante y otra recta dada.

De Tactionibus

De Tactionibus (Tangencias) abarcaba el siguiente problema general: Dadas tres cosas (puntos, rectas o círculos) en posición, describir un círculo que pase por los puntos dados y toque las rectas o círculos dados. El caso más difícil e históricamente interesante se da cuando los tres elementos dados son círculos. En el siglo XVI, Vieta presentó este problema (a veces conocido como el problema apolíneo) a Adrianus Romanus, quien lo resolvió con una hipérbola. Vieta propuso entonces una solución más sencilla, lo que le llevó a restituir todo el tratado de Apolonio en la pequeña obra Apollonius Gallus.

De Inclinationibus

El objeto de De Inclinationibus (Inclinaciones) era demostrar cómo una línea recta de una longitud determinada, que tiende hacia un punto determinado, puede insertarse entre dos líneas dadas (rectas o circulares).

De Locis Planis

De Locis Planis (Loci planos) es una colección de proposiciones relativas a loci que son líneas rectas o círculos.

Legado

Conocido como «El Gran Geómetra», las obras de Apolonio influyeron enormemente en el desarrollo de las matemáticas. Su famoso libro, Cónicas, introdujo los términos parábola, elipse e hipérbola. Concibió la hipótesis de las órbitas excéntricas para explicar el movimiento aparente de los planetas y la velocidad variable de la Luna. Otra contribución al campo de las matemáticas es el teorema de Apolonio, que demuestra que dos modelos pueden ser equivalentes dados los parámetros adecuados.

Notas

• Boyer, Carl B. A History of Mathematics. John Wiley & Sons, 1991. ISBN 978-0471543977
• Fried, Michael N. y Sabetai Unguru. Apollonius of Perga’s Conica: Text, Context, Subtext. Brill, 2001. ISBN 978-9004119779
• Heath, T.L. Treatise on Conic Sections. W. Heffer & Sons, 1961.

Todos los enlaces recuperados el 8 de abril de 2016.

• Apolonio de Perga. www-groups.dcs.st-and.ac.uk. Apollonius Summary.
• Apollonius’ Tangency Problem, Circles. agutie.homestead.com.
• PDF scans of Heiberg’s edition of Apollonius of Perga’s Conic Sections (public domain). www.wilbourhall.org.