Ben Green (matemático)
La mayor parte de la investigación de Green se centra en los campos de la teoría analítica de los números y la combinatoria aditiva, pero también tiene resultados en el análisis armónico y en la teoría de grupos. Su teorema más conocido, demostrado conjuntamente con su frecuente colaborador Terence Tao, afirma que existen progresiones aritméticas arbitrariamente largas en los números primos: esto se conoce ahora como el teorema de Green-Tao.
Entre los primeros resultados de Green en combinatoria aditiva se encuentran una mejora de un resultado de Jean Bourgain del tamaño de las progresiones aritméticas en conjuntos de sumas, así como una prueba de la conjetura de Cameron-Erdős sobre conjuntos sin suma de números naturales. También demostró un lema de regularidad aritmética para funciones definidas en los primeros N números naturales, algo análogo al lema de regularidad de Szemerédi para los grafos.
De 2004 a 2010, en un trabajo conjunto con Terence Tao y Tamar Ziegler, desarrolló el llamado análisis de Fourier de orden superior. Esta teoría relaciona las normas de Gowers con objetos conocidos como nilsequences. La teoría deriva su nombre de estas nilsecuencias, que desempeñan un papel análogo al de los caracteres en el análisis de Fourier clásico. Green y Tao utilizaron el análisis de Fourier de orden superior para presentar un nuevo método para contar el número de soluciones de ecuaciones simultáneas en determinados conjuntos de números enteros, incluidos los primos. Esto generaliza el enfoque clásico que utiliza el método del círculo de Hardy–Littlewood. Muchos aspectos de esta teoría, incluidos los aspectos cuantitativos del teorema inverso para las normas de Gowers, siguen siendo objeto de investigación.
Green también ha colaborado con Emmanuel Breuillard en temas de teoría de grupos. En particular, junto con Terence Tao, demostraron un teorema de estructura para grupos aproximados, generalizando el teorema de Freiman-Ruzsa sobre conjuntos de enteros con dobleces pequeños. Green también tiene un trabajo, junto con Kevin Ford y Sean Eberhard, sobre la teoría del grupo simétrico, en particular sobre qué proporción de sus elementos fijan un conjunto de tamaño k.
Green y Tao también tienen un trabajo sobre geometría combinatoria algebraica, resolviendo la conjetura de Dirac-Motzkin (ver teorema de Sylvester-Gallai). En particular, demuestran que, dada una colección cualquiera de n {estilos de visualización n} puntos en el plano que no son todos colineales, si n {estilos de visualización n} es lo suficientemente grande entonces debe existir al menos n / 2 {estilos de visualización n/2} líneas en el plano que contienen exactamente dos de los puntos.
Kevin Ford, Ben Green, Sergei Konyagin, James Maynard y Terence Tao, inicialmente en dos grupos de investigación separados y luego en combinación, mejoraron el límite inferior para el tamaño de la brecha más larga entre dos primos consecutivos de tamaño como máximo X {\displaystyle X} . La forma de la cota más conocida anteriormente, debida esencialmente a Rankin, no había sido mejorada durante 76 años.
Más recientemente Green ha considerado cuestiones de la teoría aritmética de Ramsey. Junto con Tom Sanders demostró que, si un campo finito suficientemente grande de orden primo está coloreado con un número fijo de colores, entonces el campo tiene elementos x , y {\displaystyle x,y} tales que x , y , x + y , x y {\displaystyle x,y,x{+}y,xy} tienen todos el mismo color.
Green también ha participado en los nuevos desarrollos de Croot-Lev-Pach-Ellenberg-Gijswijt sobre la aplicación de un método polinómico para acotar el tamaño de subconjuntos de un espacio vectorial finito sin soluciones de ecuaciones lineales. Ha adaptado estos métodos para demostrar, en campos de funciones, una versión fuerte del teorema de Sárközy.