Brahmagupta

ÁlgebraEdit

Brahmagupta dio la solución de la ecuación lineal general en el capítulo dieciocho de Brahmasphutasiddhānta,

La diferencia entre rupas, al invertirse y dividirse por la diferencia de las de las incógnitas, es la incógnita de la ecuación. Las rupas están por debajo de aquello a lo que hay que restar el cuadrado y la incógnita.

que es una solución para la ecuación bx + c = dx + e donde rupas se refiere a las constantes c y e. La solución dada es equivalente a x = e – c/b – d. Además dio dos soluciones equivalentes a la ecuación cuadrática general

18,44. Disminuir por el medio la raíz cuadrada de las rupas multiplicada por cuatro veces el cuadrado y aumentada por el cuadrado del medio ; dividir el resto por el doble del cuadrado. del medio .
18.45. Lo que sea la raíz cuadrada de las rupas multiplicada por el cuadrado e incrementada por el cuadrado de la mitad de la incógnita, disminuye eso por la mitad de la incógnita divide por su cuadrado. la incógnita.

que son, respectivamente, soluciones para la ecuación ax2 + bx = c equivalentes a,

x = ± 4 a c + b 2 – b 2 a {\displaystyle x={frac {\pm {\sqrt {4ac+b^{2}}}

y

x = ± a c + b 2 4 – b 2 a {\displaystyle x={frac {\pm {\sqrt {ac+{tfrac {b^{2}}{4}}}}-{tfrac {b}{2}}}

Pasó a resolver sistemas de ecuaciones indeterminadas simultáneas afirmando que primero hay que aislar la variable deseada y luego dividir la ecuación por el coeficiente de la variable deseada. En particular, recomendó utilizar «el pulverizador» para resolver ecuaciones con múltiples incógnitas.

18.51. Resta los colores diferentes del primer color. dividido por el primero es la medida del primero. dos por dos considerados divisores similares, repetidamente. Si hay muchos , el pulverizador.

Al igual que el álgebra de Diofanto, el álgebra de Brahmagupta era sincopada. La adición se indicaba colocando los números uno al lado del otro, la sustracción colocando un punto sobre el sustraendo, y la división colocando el divisor debajo del dividendo, similar a nuestra notación pero sin la barra. La multiplicación, la evolución y las cantidades desconocidas se representaban mediante abreviaturas de los términos adecuados. Se desconoce el alcance de la influencia griega en esta síncopa, si la hubo, y es posible que tanto la síncopa griega como la india deriven de una fuente babilónica común.

AritméticaEditar

Las cuatro operaciones fundamentales (adición, sustracción, multiplicación y división) eran conocidas por muchas culturas antes de Brahmagupta. El sistema actual se basa en el sistema numérico árabe hindú y apareció por primera vez en el Brahmasphutasiddhanta. Brahmagupta describe la multiplicación así: «El multiplicando se repite como una cuerda para el ganado, tantas veces como haya porciones integrantes en el multiplicador y se multiplica repetidamente por ellas y se suman los productos. Es la multiplicación. O el multiplicando se repite tantas veces como partes integrantes haya en el multiplicador». La aritmética india era conocida en la Europa medieval como «Modus Indorum», que significa método de los indios. En el Brahmasphutasiddhanta, la multiplicación se denominaba Gomutrika. Al principio del capítulo doce de su Brahmasphutasiddhānta, titulado Cálculo, Brahmagupta detalla las operaciones con fracciones. Se espera que el lector conozca las operaciones aritméticas básicas hasta la toma de la raíz cuadrada, aunque explica cómo hallar el cubo y la raíz cúbica de un número entero y más tarde da reglas que facilitan el cálculo de cuadrados y raíces cuadradas. Luego da reglas para tratar cinco tipos de combinaciones de fracciones: a/c + b/c; a/c × b/d; a/1 + b/d; a/c + b/d × a/c = a(d + b)/cd; y a/c – b/d × a/c = a(d – b)/cd.

SeriesEdit

Brahmagupta pasa entonces a dar la suma de los cuadrados y cubos de los primeros n enteros.

12,20. La suma de los cuadrados es la multiplicada por el doble del paso incrementado por uno dividido por tres. La suma de los cubos es el cuadrado de aquella Pila de estos con bolas idénticas.

Aquí Brahmagupta encontró el resultado en términos de la suma de los primeros n enteros, en lugar de en términos de n como es la práctica moderna.

Da la suma de los cuadrados de los primeros n números naturales como n(n + 1)(2n + 1)/6 y la suma de los cubos de los primeros n números naturales como (n(n + 1)/2)2
.

CeroEditar

El Brahmasphuṭasiddhānta de Brahmagupta es el primer libro que proporciona reglas para las manipulaciones aritméticas que se aplican al cero y a los números negativos. El Brahmasphutasiddhānta es el primer texto conocido que trata el cero como un número por derecho propio, y no como un simple dígito marcador de posición en la representación de otro número, como hacían los babilonios, o como un símbolo de falta de cantidad, como hacían Ptolomeo y los romanos. En el capítulo dieciocho de su Brahmasphutasiddhānta, Brahmagupta describe las operaciones con números negativos. Primero describe la suma y la resta,

18,30. de dos positivos es positivo, de dos negativos negativo; de un positivo y un negativo es su diferencia; si son iguales es cero. La suma de un negativo y un cero es negativa, de un positivo y un cero es positiva, de dos ceros es cero.

18.32. Un negativo menos cero es negativo, un positivo positivo; el cero es cero. Cuando un positivo debe restarse de un negativo o un negativo de un positivo, entonces debe sumarse.

Pasa a describir la multiplicación,

18.33. El producto de un negativo y un positivo es negativo, de dos negativos positivo, y de positivos positivo; el producto de cero y un negativo, de cero y un positivo, o de dos ceros es cero.

Pero su descripción de la división por cero difiere de nuestra comprensión moderna:

18.34. Un positivo dividido por un positivo o un negativo dividido por un negativo es positivo; un cero dividido por un cero es cero; un positivo dividido por un negativo es negativo; un negativo dividido por un positivo es negativo.
18.35. Un negativo o un positivo dividido por cero tiene eso como divisor, o el cero dividido por un negativo o un positivo . El cuadrado de un negativo o de un positivo es positivo; de cero es cero. Aquello de lo que es el cuadrado es raíz cuadrada.

Aquí Brahmagupta afirma que 0/0 = 0 y en cuanto a la cuestión de a/0 donde a ≠ 0 no se comprometió. Sus reglas para la aritmética sobre los números negativos y el cero se acercan bastante al entendimiento moderno, excepto que en las matemáticas modernas la división por cero se deja sin definir.

Análisis diofantinoEditar

Triples pitagóricosEditar

En el capítulo doce de su Brahmasphutasiddhanta, Brahmagupta proporciona una fórmula útil para generar triples pitagóricos:

12.39. La altura de una montaña multiplicada por un multiplicador dado es la distancia a una ciudad; no se borra. Cuando se divide por el multiplicador aumentado por dos es el salto de uno de los dos que hacen el mismo recorrido.

O, en otras palabras, si d = mx/x + 2, entonces un viajero que «salta» verticalmente hacia arriba una distancia d desde la cima de una montaña de altura m, y luego viaja en línea recta hasta una ciudad a una distancia horizontal mx desde la base de la montaña, recorre la misma distancia que uno que desciende verticalmente por la montaña y luego viaja por la horizontal hasta la ciudad. Dicho de forma geométrica, esto dice que si un triángulo rectángulo tiene una base de longitud a = mx y una altitud de longitud b = m + d, entonces la longitud, c, de su hipotenusa viene dada por c = m(1 + x) – d. Y, de hecho, la manipulación algebraica elemental muestra que a2 + b2 = c2 siempre que d tenga el valor indicado. Además, si m y x son racionales, también lo son d, a, b y c. Por tanto, se puede obtener un triple pitagórico a partir de a, b y c multiplicando cada uno de ellos por el mínimo común múltiplo de sus denominadores.

Ecuación de PellEditar

Brahmagupta pasó a dar una relación de recurrencia para generar soluciones a ciertos casos de ecuaciones diofantinas de segundo grado como Nx2 + 1 = y2 (llamada ecuación de Pell) utilizando el algoritmo euclidiano. El algoritmo euclidiano era conocido por él como el «pulverizador» ya que descompone los números en trozos cada vez más pequeños.

La naturaleza de los cuadrados:
18,64. el doble de la raíz cuadrada de un cuadrado dado por un multiplicador y aumentada o disminuida por un . El producto del primero , multiplicado por el multiplicador, con el producto del último , es el último computado.
18.65. La suma de los productos del rayo es el primero. El aditivo es igual al producto de los aditivos. Las dos raíces cuadradas, divididas por el aditivo o el sustrativo, son las rupas aditivas.

La clave de su solución era la identidad,

( x 1 2 – N y 1 2 ) ( x 2 2 – N y 2 2 ) = ( x 1 x 2 + N y 1 y 2 ) 2 – N ( x 1 y 2 + x 2 y 1 ) 2 {\displaystyle (x_{1}^{2}-Ny_{1}^{2})(x_{2}^{2}-Ny_{2}^{2})=(x_{1}x_{2}+Ny_{1}y_{2})^{2}-N(x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1})^{2}}

que es una generalización de una identidad que fue descubierta por Diofanto,

( x 1 2 – y 1 2 ) ( x 2 2 – y 2 2 ) = ( x 1 x 2 + y 1 y 2 ) 2 – ( x 1 y 2 + x 2 y 1 ) 2 . {\displaystyle (x_{1}^{2}-y_{1}^{2})(x_{2}^{2}-y_{2}^{2})=(x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2})^{2}-(x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1})^{2}.}

Utilizando su identidad y el hecho de que si (x1, y1) y (x2, y2) son soluciones de las ecuaciones x2 – Ny2 = k1 y x2 – Ny2 = k2, respectivamente, entonces (x1x2 + Ny1y2, x1y2 + x2y1) es una solución de x2 – Ny2 = k1k2, pudo encontrar soluciones integrales a la ecuación de Pell mediante una serie de ecuaciones de la forma x2 – Ny2 = ki. Brahmagupta no pudo aplicar su solución de manera uniforme para todos los valores posibles de N, sino que sólo pudo demostrar que si x2 – Ny2 = k tiene una solución entera para k = ±1, ±2 o ±4, entonces x2 – Ny2 = 1 tiene una solución. La solución de la ecuación general de Pell tendría que esperar a Bhaskara II en c. 1150 CE.

GeometríaEditar

Fórmula de BrahmaguptaEditar

El resultado más famoso de Brahmagupta en geometría es su fórmula para los cuadriláteros cíclicos. Dadas las longitudes de los lados de cualquier cuadrilátero cíclico, Brahmagupta dio una fórmula aproximada y otra exacta para el área de la figura,

12,21. El área aproximada es el producto de las mitades de las sumas de los lados y los lados opuestos de un triángulo y un cuadrilátero. La exacta es la raíz cuadrada del producto de las mitades de las sumas de los lados disminuidos por lado del cuadrilátero.

Así que dadas las longitudes p, q, r y s de un cuadrilátero cíclico, el área aproximada es p + r/2 – q + s/2 mientras que, dejando t = p + q + r + s/2, el área exacta es

√(t – p)(t – q)(t – r)(t – s).

Aunque Brahmagupta no afirma explícitamente que estos cuadriláteros son cíclicos, de sus reglas se desprende que así es. La fórmula de Herón es un caso especial de esta fórmula y puede derivarse fijando uno de los lados igual a cero.

TriángulosEditar

Brahmagupta dedicó una parte sustancial de su obra a la geometría. Un teorema da las longitudes de los dos segmentos en que se divide la base de un triángulo por su altitud:

12,22. La base disminuye y aumenta por la diferencia entre los cuadrados de los lados divididos por la base; cuando se divide por dos son los segmentos verdaderos. La perpendicular es la raíz cuadrada del cuadrado de un lado disminuido por el cuadrado de su segmento.

Por tanto, las longitudes de los dos segmentos son 1/2(b ± c2 – a2/b).

Da además un teorema sobre los triángulos racionales. Un triángulo con lados racionales a, b, c y área racional es de la forma:

a = 1 2 ( u 2 v + v ) , b = 1 2 ( u 2 w + w ) , c = 1 2 ( u 2 v – v + u 2 w – w ) {\displaystyle a={frac {1}{2}}left({\frac {u^{2}}{v}+v\right),\ b={frac {1}{2}}izquierda({\frac {u^{2}{w}+w\\a la derecha), c={frac {1}{2}}izquierda({\frac {u^{2}{v}+{frac {u^{2}{w\a la derecha)}

para algunos números racionales u, v, y w.

Teorema de BrahmaguptaEditar

Brahmagupta continúa,

12,23. La raíz cuadrada de la suma de los dos productos de los lados y los lados opuestos de un cuadrilátero no igual es la diagonal. El cuadrado de la diagonal se disminuye con el cuadrado de la mitad de la suma de la base y la cima; la raíz cuadrada es la perpendicular .

Así, en un cuadrilátero cíclico «no igual» (es decir, un trapecio isósceles), la longitud de cada diagonal es √pr + qs.

Continúa dando fórmulas para las longitudes y áreas de las figuras geométricas, como el circunradio de un trapecio isósceles y un cuadrilátero escaleno, y las longitudes de las diagonales en un cuadrilátero cíclico escaleno. Esto nos lleva al famoso teorema de Brahmagupta,

12.30-31. Imaginando dos triángulos interiores con lados desiguales, las dos diagonales son las dos bases. Sus dos segmentos son por separado los segmentos superior e inferior en la intersección de las diagonales. Las dos de las dos diagonales son dos lados en un triángulo; la base . Su perpendicular es la porción inferior de la perpendicular; la porción superior de la perpendicular es la mitad de la suma de las perpendiculares disminuida por la inferior.

PiEdit

En el verso 40, da valores de π,

12,40. El diámetro y el cuadrado del radio multiplicado por 3 son la circunferencia práctica y el área . Las exactas son las raíces cuadradas de los cuadrados de esas dos multiplicadas por diez.

Así que Brahmagupta utiliza 3 como valor «práctico» de π, y 10 ≈ 3,1622 … {\displaystyle {\sqrt {10}}approx 3,1622\ldots }

como valor «exacto» de π. El error de este valor «exacto» es inferior al 1%.

Medidas y construccionesEditar

En algunos de los versos anteriores al verso 40, Brahmagupta da construcciones de varias figuras con lados arbitrarios. Manipuló esencialmente triángulos rectos para producir triángulos isósceles, triángulos escalenos, rectángulos, trapecios isósceles, trapecios isósceles con tres lados iguales y un cuadrilátero cíclico escaleno.

Después de dar el valor de pi, trata la geometría de las figuras planas y de los sólidos, como encontrar volúmenes y áreas de superficie (o espacios vacíos excavados en los sólidos). Encuentra el volumen de los prismas rectangulares, de las pirámides y del tronco de una pirámide cuadrada. Además, halla la profundidad media de una serie de fosas. Para el volumen de un frustum de una pirámide, da el valor «pragmático» como la profundidad por el cuadrado de la media de las aristas de las caras superior e inferior, y da el volumen «superficial» como la profundidad por su área media.

TrigonometríaEditar

Tabla de senosEditar

En el capítulo 2 de su Brahmasphutasiddhanta, titulado Longitudes verdaderas planetarias, Brahmagupta presenta una tabla de senos:

2.2-5. Los senos: Los Progenitores, los gemelos; la Osa Mayor, los gemelos, los Vedas; los dioses, los fuegos, los seis; los sabores, los dados, los dioses; la luna, los cinco, el cielo, la luna; la luna, las flechas, los soles

Aquí Brahmagupta utiliza nombres de objetos para representar los dígitos de los numerales de valor posicional, como era común con los datos numéricos en los tratados sánscritos. Progenitores representa los 14 Progenitores («Manu») de la cosmología india o 14, «gemelos» significa 2, «Osa Mayor» representa las siete estrellas de la Osa Mayor o 7, «Vedas» se refiere a los 4 Vedas o 4, los dados representan el número de caras del dado de la tradición o 6, y así sucesivamente. Esta información se puede traducir en la lista de senos, 214, 427, 638, 846, 1051, 1251, 1446, 1635, 1817, 1991, 2156, 2312, 1459, 2594, 2719, 2832, 2933, 3021, 3096, 3159, 3207, 3242, 3263 y 3270, siendo el radio 3270.

Fórmula de interpolaciónEditar

En 665 Brahmagupta ideó y utilizó un caso especial de la fórmula de interpolación de Newton-Stirling de segundo orden para interpolarnuevos valores de la función seno a partir de otros valores ya tabulados. La fórmula da una estimación del valor de una función f en un valor a + xh de su argumento (con h > 0 y -1 ≤ x ≤ 1) cuando ya se conoce su valor en a – h, a y a + h.¡

La fórmula para la estimación es:

f ( a + x h ) ≈ f ( a ) + x Δ f ( a ) + Δ f ( a – h ) 2 + x 2 Δ 2 f ( a – h ) 2 ! {\displaystyle f(a+xh)\aapprox f(a)+x{{frac {\Delta f(a)+\Delta f(a-h)}{2}+x^{{frac {\Delta ^{2}f(a-h)}{2}.