Diagrama de Bode, margen de ganancia y margen de fase (más diagramas)

Qué es un diagrama de Bode

Un diagrama de Bode es un gráfico comúnmente utilizado en la ingeniería de sistemas de control para determinar la estabilidad de un sistema de control. Un gráfico de Bode mapea la respuesta en frecuencia del sistema a través de dos gráficos: el gráfico de magnitud de Bode (que expresa la magnitud en decibelios) y el gráfico de fase de Bode (que expresa el cambio de fase en grados).

Los gráficos de Bode fueron introducidos por primera vez en la década de 1930 por Hendrik Wade Bode mientras trabajaba en los Laboratorios Bell en Estados Unidos. Aunque los gráficos de Bode ofrecen un método relativamente sencillo para calcular la estabilidad del sistema, no pueden manejar funciones de transferencia con singularidades en el semiplano derecho (a diferencia del criterio de estabilidad de Nyquist).

Entender los márgenes de ganancia y los márgenes de fase es crucial para entender los gráficos de Bode. Estos términos se definen a continuación.

Margen de ganancia

Cuanto mayor sea el margen de ganancia (GM), mayor será la estabilidad del sistema. El margen de ganancia se refiere a la cantidad de ganancia, que puede ser aumentada o disminuida sin que el sistema sea inestable. Normalmente se expresa como una magnitud en dB.

Por lo general, podemos leer el margen de ganancia directamente desde el gráfico de Bode (como se muestra en el diagrama anterior). Esto se hace calculando la distancia vertical entre la curva de magnitud (en el diagrama de magnitud de Bode) y el eje x en la frecuencia donde el diagrama de fase de Bode = 180°. Este punto se conoce como la frecuencia de cruce de fase.

Es importante darse cuenta de que la Ganancia y el Margen de Ganancia no son lo mismo. De hecho, el Margen de Ganancia es el negativo de la ganancia (en decibelios, dB). Esto tendrá sentido cuando veamos la fórmula del margen de ganancia.

Fórmula del margen de ganancia

La fórmula del margen de ganancia (GM) puede expresarse como:

Donde G es la ganancia. Es la magnitud (en dB) que se lee en el eje vertical del gráfico de magnitud en la frecuencia de cruce de fase.

En nuestro ejemplo mostrado en el gráfico anterior, la Ganancia (G) es 20. Por lo tanto, utilizando nuestra fórmula para el margen de ganancia, el margen de ganancia es igual a 0 – 20 dB = -20 dB (inestable).

Margen de fase

Cuanto mayor sea el margen de fase (PM), mayor será la estabilidad del sistema. El margen de fase se refiere a la cantidad de fase que se puede aumentar o disminuir sin que el sistema sea inestable. Suele expresarse como una fase en grados.

Por lo general, podemos leer el margen de fase directamente en el gráfico de Bode (como se muestra en el diagrama anterior). Esto se hace calculando la distancia vertical entre la curva de fase (en el diagrama de fase de Bode) y el eje x en la frecuencia donde el diagrama de magnitud de Bode = 0 dB. Este punto se conoce como la frecuencia de cruce de la ganancia.

Es importante darse cuenta de que el desfase y el Margen de Fase no son lo mismo. Esto tendrá sentido cuando veamos la fórmula del margen de fase.

Fórmula del margen de fase

La fórmula del margen de fase (PM) puede expresarse como:

Donde es el desfase (un número menor que 0). Es la fase leída desde el eje vertical del gráfico de fase en la frecuencia de cruce de la ganancia.

Como otro ejemplo, si la ganancia en lazo abierto de un amplificador cruza 0 dB en una frecuencia en la que el desfase es de -120°, entonces el desfase -120°. Por lo tanto, el margen de fase de este sistema de retroalimentación es -120° – (-180°) = 60° (estable).

Estabilidad de los gráficos de Bode

A continuación se presenta una lista resumida de los criterios relevantes para dibujar los gráficos de Bode (y calcular su estabilidad):

1. Margen de ganancia: Mayor será el margen de ganancia mayor será la estabilidad del sistema. Se refiere a la cantidad de ganancia que se puede aumentar o disminuir sin que el sistema sea inestable. Suele expresarse en dB.
2. Margen de fase: Cuanto mayor sea el margen de fase mayor será la estabilidad del sistema. Se refiere a la fase que se puede aumentar o disminuir sin que el sistema sea inestable. Se suele expresar en fase.
3. Frecuencia de cruce de ganancia: Se refiere a la frecuencia en la que la curva de magnitud corta el eje de cero dB en el gráfico de bode.
4. Frecuencia de cruce de fase: Se refiere a la frecuencia en la que la curva de fase corta el eje de tiempos negativos de 180o en este gráfico.
5. Frecuencia de Esquina: La frecuencia en la que las dos asíntotas se cortan o se encuentran se conoce como frecuencia de ruptura o frecuencia de esquina.
6. Frecuencia de resonancia: El valor de la frecuencia en la que el módulo de G (jω) tiene un valor máximo se conoce como frecuencia de resonancia.
7. Factores: Cada función de transferencia de bucle {es decir, G(s) × H(s)} producto de varios factores como el término constante K, factores integrales (jω), factores de primer orden ( 1 + jωT)(± n) donde n es un número entero, factores de segundo orden o cuadráticos.
8. Pendiente: Existe una pendiente correspondiente a cada factor y la pendiente de cada factor se expresa en los dB por década.
9. Ángulo: Hay un ángulo correspondiente a cada factor y el ángulo para cada factor se expresa en los grados.

Ahora hay algunos resultados que uno debe recordar para trazar la curva de Bode. Estos resultados se escriben a continuación:

• Término constante K: Este factor tiene una pendiente de cero dB por década. No hay ninguna frecuencia de esquina correspondiente a este término constante. El ángulo de fase asociado a este término constante también es cero.
• Factor integral 1/(jω)n: Este factor tiene una pendiente de -20 × n (donde n es un número entero)dB por década. No existe una frecuencia de esquina correspondiente a este factor integral. El ángulo de fase asociado a este factor integral es -90 × n. Aquí n también es un número entero.
• Factor de primer orden 1/ (1+jωT): Este factor tiene una pendiente de -20 dB por década. La frecuencia de esquina correspondiente a este factor es de 1/T radianes por segundo. El ángulo de fase asociado a este primer factor es -tan- 1(ωT).
• Factor de primer orden (1+jωT): Este factor tiene una pendiente de 20 dB por década. La frecuencia de esquina correspondiente a este factor es de 1/T radianes por segundo. El ángulo de fase asociado a este primer factor es tan- 1(ωT) .
• Factor de segundo orden o cuadrático : : Este factor tiene una pendiente de -40 dB por década. La frecuencia de esquina correspondiente a este factor es ωn radianes por segundo. El ángulo de fase asociado a este primer factor es
  

  

Cómo dibujar el diagrama de Bode

Teniendo en cuenta todos los puntos anteriores, somos capaces de dibujar un diagrama de Bode para cualquier tipo de sistema de control. Ahora vamos a discutir el procedimiento de dibujar un gráfico de Bode:

1. Sustituir el s = jω en la función de transferencia de bucle abierto G(s) × H(s).
2. Encontrar las frecuencias de esquina correspondientes y tabularlas.
3. Ahora se requiere un gráfico semilogarítmico elige un rango de frecuencias tal que el gráfico debe comenzar con la frecuencia que es menor que la frecuencia de esquina más baja. Marca las frecuencias angulares en el eje x, marca las pendientes en el lado izquierdo del eje y marcando una pendiente cero en el centro y en el lado derecho marca el ángulo de fase tomando -180o en el centro.
4. Calcule el factor de ganancia y el tipo de orden del sistema.
5. Ahora calcule la pendiente correspondiente a cada factor.

Para dibujar el diagrama de magnitudes de Bode:

• Marque la frecuencia de esquina en el papel cuadriculado semilógico.
• Tabular estos factores moviéndose de arriba a abajo en la secuencia dada.
  1. Término constante K.
  2. Factor integral
  3. Factor de primer orden
  4. Factor de primer orden (1+jωT).
  5. Factor de segundo orden o cuadrático:
     

     

• Esquema ahora la recta con ayuda de la pendiente correspondiente del factor dado. Cambia la pendiente en cada frecuencia de esquina añadiendo la pendiente del siguiente factor. Obtendrá el gráfico de magnitud.
• Calcule el margen de ganancia.

Para dibujar el gráfico de fase de Bode:

1. Calcule la función de fase sumando todas las fases de los factores.
2. Sustituya varios valores a la función anterior para averiguar la fase en diferentes puntos y trace una curva. Obtendrá una curva de fase.
3. Calcule el margen de fase.

Criterio de estabilidad de Bode

Las condiciones de estabilidad se dan a continuación:

1. Para un sistema estable: Ambos márgenes deben ser positivos o el margen de fase debe ser mayor que el margen de ganancia.
2. Para un Sistema Marginalmente Estable: Ambos márgenes deben ser cero o el margen de fase debe ser igual al margen de ganancia.
3. Para Sistema Inestable: Si alguno de ellos es negativo o el margen de fase debe ser menor que el margen de ganancia.

Ventajas de un Diagrama de Bode

1. Se basa en la aproximación asintótica, que proporciona un método simple para trazar la curva de magnitud logarítmica.
2. La multiplicación de varias magnitudes aparece en la función de transferencia puede ser tratada como una adición, mientras que la división puede ser tratada como una sustracción ya que estamos utilizando una escala logarítmica.
3. Con la ayuda de este gráfico sólo podemos comentar directamente la estabilidad del sistema sin hacer ningún cálculo.
4. Los gráficos de Bode proporcionan la estabilidad relativa en términos de margen de ganancia y margen de fase.
5. También cubre desde la baja frecuencia hasta el rango de alta frecuencia.