Geometría analítica
Geometría analítica elemental
Apolonio de Perga (c. 262-190 a.C.), conocido por sus contemporáneos como el «Gran Geómetra», anticipó el desarrollo de la geometría analítica en más de 1.800 años con su libro Cónicas. Definió una cónica como la intersección de un cono y un plano (véase la figura). Utilizando los resultados de Euclides sobre los triángulos semejantes y sobre las secantes de los círculos, encontró una relación que se satisface con las distancias de cualquier punto P de una cónica a dos líneas perpendiculares, el eje mayor de la cónica y la tangente en un punto final del eje. Estas distancias corresponden a las coordenadas de P, y la relación entre estas coordenadas corresponde a una ecuación cuadrática de la cónica. Apolonio utilizó esta relación para deducir propiedades fundamentales de las cónicas. Ver sección cónica.
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El desarrollo posterior de los sistemas de coordenadas (véase la figura) en matemáticas surgió sólo después de que el álgebra hubiera madurado con los matemáticos islámicos e indios. (Véase Matemáticas: El mundo islámico (siglos VIII-XV) y Matemáticas, Asia del Sur). A finales del siglo XVI, el matemático francés François Viète introdujo la primera notación algebraica sistemática, utilizando letras para representar cantidades numéricas conocidas y desconocidas, y desarrolló potentes métodos generales para trabajar con expresiones algebraicas y resolver ecuaciones algebraicas. Con el poder de la notación algebraica, los matemáticos dejaron de depender completamente de las figuras geométricas y de la intuición geométrica para resolver problemas. Los más atrevidos empezaron a dejar atrás la forma de pensar geométrica estándar en la que las variables lineales (primera potencia) correspondían a las longitudes, los cuadrados (segunda potencia) a las áreas y los cúbicos (tercera potencia) a los volúmenes, y las potencias superiores carecían de interpretación «física». Dos franceses, el matemático-filósofo René Descartes y el jurista-matemático Pierre de Fermat, fueron de los primeros en dar este atrevido paso.
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Descartes y Fermat fundaron independientemente la geometría analítica en la década de 1630 adaptando el álgebra de Viète al estudio de los loci geométricos. Superaron decisivamente a Viète al utilizar letras para representar distancias variables en lugar de fijas. Descartes utilizó las ecuaciones para estudiar las curvas definidas geométricamente, e insistió en la necesidad de considerar las curvas algebraicas generales: gráficos de ecuaciones polinómicas en x e y de todos los grados. Demostró su método en un problema clásico: encontrar todos los puntos P tales que el producto de las distancias de P a ciertas líneas sea igual al producto de las distancias a otras líneas. Ver geometría: Geometría cartesiana.
Fermat destacó que cualquier relación entre las coordenadas x e y determina una curva (ver figura). Utilizando esta idea, refundió los argumentos de Apolonio en términos algebraicos y restauró el trabajo perdido. Fermat indicó que cualquier ecuación cuadrática en x e y puede ponerse en la forma estándar de una de las secciones cónicas.
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Fermat no publicó su obra, y Descartes hizo deliberadamente que la suya fuera difícil de leer para desanimar a los «aficionados». Sus ideas sólo obtuvieron una aceptación general gracias a los esfuerzos de otros matemáticos en la segunda mitad del siglo XVII. En particular, el matemático holandés Frans van Schooten tradujo los escritos de Descartes del francés al latín. Añadió material explicativo vital, al igual que el abogado francés Florimond de Beaune y el matemático holandés Johan de Witt. En Inglaterra, el matemático John Wallis popularizó la geometría analítica, utilizando ecuaciones para definir las cónicas y derivar sus propiedades. Utilizó libremente las coordenadas negativas, aunque fue Isaac Newton quien utilizó inequívocamente dos ejes (oblicuos) para dividir el plano en cuatro cuadrantes, como se muestra en la figura.
La geometría analítica tuvo su mayor impacto en las matemáticas a través del cálculo. Sin acceso al poder de la geometría analítica, matemáticos griegos clásicos como Arquímedes (c. 285-212/211 a.C.) resolvieron casos especiales de los problemas básicos del cálculo: encontrar tangentes y puntos extremos (cálculo diferencial) y longitudes de arco, áreas y volúmenes (cálculo integral). Los matemáticos del Renacimiento volvieron a estos problemas por las necesidades de la astronomía, la óptica, la navegación, la guerra y el comercio. Naturalmente, trataron de utilizar el poder del álgebra para definir y analizar una gama creciente de curvas.
Fermat desarrolló un algoritmo algebraico para encontrar la tangente a una curva algebraica en un punto encontrando una línea que tiene una doble intersección con la curva en el punto -en esencia, inventando el cálculo diferencial. Descartes introdujo un algoritmo similar pero más complicado utilizando un círculo. Fermat calculó las áreas bajo las curvas y = axk para todos los números racionales k ≠ -1 sumando las áreas de los rectángulos inscritos y circunscritos. (Véase método de agotamiento.) Durante el resto del siglo XVII, el trabajo de base del cálculo fue continuado por muchos matemáticos, entre ellos el francés Gilles Personne de Roberval, el italiano Bonaventura Cavalieri y los británicos James Gregory, John Wallis e Isaac Barrow.
Newton y el alemán Gottfried Leibniz revolucionaron las matemáticas a finales del siglo XVII al demostrar de forma independiente el poder del cálculo. Ambos hombres utilizaron las coordenadas para desarrollar notaciones que expresaban las ideas del cálculo con total generalidad y condujeron naturalmente a las reglas de diferenciación y al teorema fundamental del cálculo (que conecta el cálculo diferencial y el integral). Véase análisis.
Newton demostró la importancia de los métodos analíticos en geometría, aparte de su papel en el cálculo, cuando afirmó que cualquier curva cúbica o algebraica de grado tres tiene una de las cuatro ecuaciones estándar,xy2 + ey = ax3 + bx2 + cx + d,xy = ax3 + bx2 + cx + d,y2 = ax3 + bx2 + cx + d,y = ax3 + bx2 + cx + d, para ejes de coordenadas adecuados. El matemático escocés James Stirling demostró esta afirmación en 1717, posiblemente con la ayuda de Newton. Newton dividió los cúbicos en 72 especies, un total que posteriormente se corrigió a 78.
Newton también mostró cómo expresar una curva algebraica cerca del origen en términos de la serie de potencias fraccionarias y = a1x1/k + a2x2/k + … para un número entero positivo k. Los matemáticos han utilizado desde entonces esta técnica para estudiar curvas algebraicas de todos los grados.