Las curiosas potencias de 1 + sqrt 2

Recientemente en mathstodon.xyz, Colin Wright publicó el siguiente acertijo:

¿Cuál es el 99º dígito a la derecha del punto decimal en la expansión decimal de ?

Por supuesto, es bastante sencillo utilizar un ordenador para encontrar la respuesta; cualquier lenguaje o sistema de software que pueda calcular con números reales de precisión arbitraria puede encontrar la respuesta correcta en una fracción de segundo. Pero, evidentemente, ¡no se trata de eso! ¿Podemos utilizar el razonamiento lógico para deducir o demostrar la respuesta correcta sin tener que hacer muchos cálculos? Incluso si encontramos la respuesta computacionalmente, ¿podemos explicar por qué es la respuesta correcta? Resolver este enigma me llevó a una fascinante madriguera que me gustaría compartir con vosotros en los próximos tres u ocho posts.

Por el momento os dejaré pensar en el enigma. Aunque usar un ordenador para calcular simplemente la respuesta es hacer trampa, animo a usar un ordenador o una calculadora para probar ejemplos más pequeños y buscar patrones. No es demasiado difícil ver un patrón y conjeturar la respuesta correcta; la parte interesante, por supuesto, es averiguar por qué ocurre este patrón, y demostrar que continúa.