Módulo 1 — Elección de un eje de rotación y descripción de la dirección de rotación

Del PER wiki

Objetivos de aprendizaje

Después de trabajar con este módulo, deberías ser capaz de:

• Describir la rotación de un cuerpo rígido alrededor de un eje fijo.
• Definir la velocidad angular en términos de la tasa de cambio de la posición angular.
• Indicar la dirección de rotación de un objeto rígido y aplicar la regla de la mano derecha.

La rotación de un objeto rígido en forma de giro puede ocurrir en combinación con el movimiento de traslación. Dejaremos la descripción del movimiento de traslación y rotación combinados para más adelante. En este módulo nos concentraremos en la descripción del movimiento de traslación puro. El movimiento rotacional puro puede ser muy complicado y algunos casos están fuera del alcance de cualquier clase de física introductoria.

Para simplificar las ideas del movimiento angular haremos las siguientes restricciones:

1. El cuerpo rígido gira alrededor de un eje de rotación fijo.
2. Consideraremos objetos que son delgados, por ejemplo el disco de la figura a) o la varilla de la figura b).
3. La rotación es en el plano donde está contenido el objeto, por ejemplo el plano xy en la figura siguiente.
4. El eje de rotación es perpendicular al plano donde está contenido el objeto, el eje z en las figuras de abajo.

Un cuerpo rígido restringido a rotar alrededor de un eje fijo

El caso más simple de movimiento rotacional es un cuerpo rígido como el disco o la barra mostrada arriba que puede rotar alrededor de un eje o bisagra que está fijo en el espacio. El eje o bisagra no se traslada, pero permite la rotación. Este caso ilustra claramente la noción de eje de rotación. Imaginemos un punto que se encuentra en el centro del disco o en el extremo de la barra, el punto Q, en la figura siguiente. Cuando el cuerpo gira, este punto no se mueve en absoluto. Cualquier otro punto, como el punto B, se moverá al producirse la rotación. Imagina una línea recta que pasa por el punto Q y es perpendicular al plano en el que se encuentra el disco o la barra, el plano xy en la figura. Esta línea no se mueve mientras el cuerpo gira. Cualquier otra línea que pase por cualquier otro punto del objeto, como la línea azul que pasa por el punto B, se moverá. Esta única línea fija es el eje de rotación.

En resumen, cuando hablamos de un eje de rotación fijo tenemos que imaginar una línea perpendicular al plano donde el cuerpo rígido está rotando. En general consideraremos el objeto contenido y girando dentro del plano xy, por lo tanto el eje de rotación será paralelo al eje z. El punto de intersección entre esta línea y el plano, el punto Q en la figura anterior, también será fijo en el espacio.

Movimiento de rotación de un cuerpo rígido que gira alrededor de un eje fijo

Consideremos un disco que gira alrededor de un eje fijo que pasa por su centro. Un punto B del disco, a una distancia r del centro se moverá en una trayectoria circular de radio r, el círculo de guiones de la figura a).

Posición angular

La posición del punto B puede describirse en términos del ángulo θ(t) medido desde el eje +x. El ángulo θ se llama posición angular del punto.

Convención: la posición angular se define positiva cuando se mide en sentido contrario a las agujas del reloj con respecto al eje +x.

Velocidad angular

La velocidad del punto B, así como la de todos los puntos dentro del disco, dependerá de la tasa de cambio de sus posiciones angulares. Si el disco gira un ángulo dθ = 25o en sentido contrario a las agujas del reloj en un intervalo de tiempo dt =1 seg, los puntos B, C y todos los puntos dentro del disco girarán la misma cantidad en el mismo intervalo de tiempo, figura c).

La velocidad angular se define como la tasa de cambio de la posición angular y se anota con la letra ω:

Unidades: = rad.s-1

Aceleración angular

La aceleración angular es la tasa de cambio de la velocidad angular.

Unidades: = rad.s-2

Dirección

Especificar simplemente un eje y la velocidad de rotación no es suficiente para describir completamente el movimiento de rotación. También hay que hablar de la dirección. Una vez elegido un eje, las posibles direcciones de rotación se han reducido a dos posibilidades: el objeto puede girar en sentido contrario a las agujas del reloj o en sentido de las agujas del reloj visto desde arriba del plano (convencionalmente desde una ubicación + z). Estas dos situaciones se describen en las figuras siguientes. Sin embargo, es importante tener cuidado en este punto, ya que el sentido antihorario o horario de la rotación depende de la posición del observador. Un disco que gira en sentido contrario a las agujas del reloj cuando se ve desde arriba, girará en el sentido de las agujas del reloj cuando se ve desde abajo.

A medida que trabajemos en una descripción matemática de la rotación, describiremos la rotación en términos de un vector. Resulta (como veremos) que una convención muy útil es asignar los ejes de coordenadas +z para que se encuentren a lo largo del eje de rotación y pensar en las dos posibilidades de las agujas del reloj y en contra de las agujas del reloj como rotaciones positivas y negativas alrededor de este eje. Así, el vector velocidad angular correspondiente a la rotación del disco en la situación mostrada en las figuras anteriores será:

Para la rotación en sentido contrario a las agujas del reloj:

θ aumenta con el tiempo,ω = dθ/dt > 0 entonces la velocidad angular apunta hacia el eje +z.

Para la rotación en sentido de las agujas del reloj:

θ disminuye con el tiempo, ω = dθ/dt < 0 entonces la velocidad angular apunta hacia el eje -z:

La regla de la mano derecha

Esta convención se llama la regla de la mano derecha. Para utilizarla, doble los dedos de su mano derecha. Alinee su mano con el objeto que gira (en este caso, el disco) de tal manera que al seguir sus dedos desde los nudillos hasta la punta de los dedos obtenga la misma rotación que experimenta el objeto. Su pulgar mostrará entonces la «dirección» de la rotación.

La regla de la mano derecha y (x,y,z)

Cuando se utiliza una coordenada cartesiana para describir el movimiento en un plano, es importante utilizar un sistema de coordenadas de la mano derecha para que la definición de varias cantidades rotacionales se defina en términos del producto vectorial. En el ejemplo anterior, esto significa que si se coloca la mano derecha de manera que los dedos extendidos coincidan con el eje + x, y luego se gira la muñeca de manera que los dedos se muevan hacia el eje y al cerrar la mano en un puño, el resultado será que el pulgar apunta a lo largo de +z. Esto será coherente con la convención habitual de medir el ángulo empezando por el eje x y considerando positivo un desplazamiento angular en el sentido contrario a las agujas del reloj.

Dibujando un sistema de rotación

El punto de vista debe estar alineado con el eje de rotación.

Al dibujar un sistema en rotación es importante alinear su punto de vista con el eje de rotación. En otras palabras, debes dibujar el sistema como si estuvieras mirando justo a lo largo del eje.

Representar vectores que apuntan en línea recta o en línea recta.

Debido a que dibujamos sistemas giratorios como si estuviéramos mirando a lo largo del eje, es imposible dibujar una flecha que represente el eje. El eje lineal se verá como un punto desde nuestro punto de vista. Por esta razón, existe una convención para dibujar una flecha que apunte directamente hacia el observador o directamente lejos de él. La convención es que una flecha que apunta directamente al observador se dibuja como un punto rodeado. Una flecha que apunta directamente al observador se dibuja como una «x» rodeada de un círculo.

Dibujar vectores alineados con el observador: puerta desde arriba y desde abajo.

Imagen: Se muestra una puerta junto con el eje de rotación elegido desde varias perspectivas.