Operaciones Binarias

Operación binaria

Así como obtenemos un número cuando dos números se suman o se restan o se multiplican o se dividen. Las operaciones binarias asocian dos elementos cualesquiera de un conjunto. La resultante de las dos está en el mismo conjunto. Las operaciones binarias sobre un conjunto son cálculos que combinan dos elementos del conjunto (llamados operandos) para producir otro elemento del mismo conjunto.

Las operaciones binarias * sobre un conjunto no vacío A son funciones de A × A a A. La operación binaria, *: A × A → A. Es una operación de dos elementos del conjunto cuyos dominios y codominios están en el mismo conjunto.

La suma, la resta, la multiplicación, la división, la exponencial son algunas de las operaciones binarias.

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Propiedades de la operación binaria

• Propiedad de cierre: Una operación * sobre un conjunto no vacío A tiene la propiedad de cierre, si a ∈ A, b ∈ A ⇒ a * b ∈ A.
• Las adiciones son las operaciones binarias sobre cada uno de los conjuntos de Números naturales (N), Números enteros (Z), Números racionales (Q), Números reales(R), Número complejo(C).

Las sumas sobre el conjunto de todos los números irracionales no son las operaciones binarias.

• La multiplicación es una operación binaria en cada uno de los conjuntos de Números naturales (N), Números enteros (Z), Números racionales (Q), Números reales(R), Número complejo(C).

La multiplicación en el conjunto de todos los números irracionales no es una operación binaria.

• La resta es una operación binaria en cada uno de los conjuntos de Números enteros (Z), Números racionales (Q), Números reales(R), Número complejo(C).

La resta no es una operación binaria en el conjunto de Números naturales (N).

• La división no es una operación binaria sobre el conjunto de los números Naturales (N), enteros (Z), Racionales (Q), Reales(R), Complejos(C).
• La operación exponencial (x, y) → xy es una operación binaria sobre el conjunto de los números naturales (N) y no sobre el conjunto de los números enteros (Z).

Tipos de operaciones binarias

Conmutativas

Una operación binaria * sobre un conjunto A es conmutativa si a * b = b * a, para todo (a, b) ∈ A (conjunto no vacío). Sea la adición la operación binaria operativa para a = 8 y b = 9, a + b = 17 = b + a.

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Asociativas

La propiedad asociativa de las operaciones binarias se cumple si, para un conjunto no vacío A, podemos escribir (a * b) *c = a*(b * c). Supongamos que N es el conjunto de los números naturales y que la multiplicación es la operación binaria. Sea a = 4, b = 5 c = 6. Podemos escribir (a × b) × c = 120 = a × (b × c).

Distributivas

Sea * y o dos operaciones binarias definidas sobre un conjunto no vacío A. Las operaciones binarias son distributivas si a*(b o c) = (a * b) o (a * c) o (b o c)*a = (b * a) o (c * a). Consideremos que * es la multiplicación y o es la sustracción. Y a = 2, b = 5, c = 4. Entonces, a*(b o c) = a × (b – c) = 2 × (5 – 4) = 2. Y (a * b) o (a * c) = (a × b) – (a × c) = (2 × 5) – (2 × 4) = 10 – 6 = 2.

Identidad

Si A es el conjunto no vacío y * es la operación binaria sobre A. Un elemento e es el elemento identidad de a ∈ A, si a * e = a = e * a. Si la operación binaria es adición(+), e = 0 y para * es multiplicación(×), e = 1.

Invertible

Si una operación binaria * sobre un conjunto A que satisface a * b = b * a = e, para todo a, b ∈ A. a-1 es invertible si para a * b = b * a= e, a-1 = b. 1 es invertible cuando * es una multiplicación.

Ejemplo resuelto para ti

Pregunta 1: Demuestra que la división no es una operación binaria en N ni la sustracción en N.

Respuesta : Sean a, b ∈ N

Caso 1: Operación binaria * = división(÷)

-: N × N→N dada por (a, b) → (a/b) ∉ N (como 5/3 ∉ N)

Caso 2: Operación binaria * = Resta(-)

-: N × N→N dada por (a, b)→ a – b ∉ N (ya que 3 – 2 = 1 ∈ N pero 2-3 = -1 ∉ N).

Pregunta 2: ¿Son todas las operaciones binarias cerradas?

Respuesta: Muchos conjuntos con los que puedes estar familiarizado son cerrados bajo ciertos operadores binarios, mientras que muchos no lo son. Así, el conjunto de los enteros impares sigue siendo cerrado bajo la multiplicación. Por ejemplo, el conjunto de enteros impares no es cerrado bajo la adición, ya que la suma de dos números impares no es siempre impar, de hecho, nunca es impar.

Pregunta 3: ¿Es la raíz cuadrada una operación binaria?

Respuesta: Una operación no binaria se refiere a un proceso matemático que sólo requiere un número para lograr algo. La suma, la resta, la multiplicación y la división son ejemplos de operaciones binarias. Del mismo modo, los ejemplos de operaciones no binarias consisten en raíces cuadradas, factoriales, así como valores absolutos.

Pregunta 4: ¿Qué es el elemento de identidad en una operación binaria?

Respuesta: Un elemento de identidad o elemento neutro en una operación binaria se refiere a un tipo especial de elemento de un conjunto con respecto a una operación binaria sobre ese conjunto, que deja sin afectar a un elemento del conjunto cuando se combina con él. Utilizamos este concepto en estructuras algebraicas como grupos y anillos.

Pregunta 5: ¿Qué es el desbordamiento binario?

Respuesta: El desbordamiento tiene lugar cuando la magnitud de un número supera el rango permitido por el tamaño del campo de bits. La suma de dos números con signo idéntico puede perfectamente sobrepasar el rango del campo de bits de esos dos números, y por tanto el desbordamiento puede ser una posibilidad en este caso.