Procesamiento topológico de señales analógicas
Problema propio de Bloch
El cristal grueso es unidimensional con constante de red a y dos obstáculos por celda unitaria. Lo modelamos y definimos su topología utilizando la matriz de transferencia Mcell de una celda unitaria. Comenzamos definiendo las dos matrices de dispersión S1 y S2, como las matrices de dispersión de campo lejano de cada obstáculo cuando está solo en la guía de onda monomodo. Estas matrices relacionan las señales complejas salientes en los lados izquierdo (L) y derecho (R) de los dispersores bL y bR con las incidentes, aL y aR:
Nota que por ahora no hacemos la suposición de que las dos matrices son iguales: por ejemplo, los cilindros podrían tener diferentes secciones, o estar desplazados uno respecto del otro, etc. Estas matrices también suelen depender de la frecuencia angular ω. Suponiendo la conservación de la energía durante el proceso de dispersión, deben ser unitarias. Por tanto, podemos parametrizarlas de forma muy general como
donde los ángulos dependientes de la frecuencia θ1,2, α1,2, ϕ1,2, y Φ1,2 son únicos una vez que fijamos el plano de referencia, aquí en la posición central de los dispersores. Suponiendo reciprocidad (S21 = S12), debemos tener 2α1,2 – Φ1,2 = π, lo que nos restringe a tres parámetros por matriz de dispersión, permitiendo escribir:
Se pueden derivar las matrices de transferencia asociadas M1 y M2, definidas como
y obtiene
Si los dos dispersores están separados por una distancia d en una celda unitaria de constante de red a, la matriz de transferencia total de la celda unitaria Mcell es el producto:
con
donde \(L = d,\frac{a – d}{2},\) y c es la velocidad de fase. Se obtiene, después de tomar el producto matricial,
con
Utilizamos la notación z* para denotar el complejo conjugado de z. Observando que |ψ〉 = T, siendo a y b las amplitudes del campo complejo hacia adelante y hacia atrás en la entrada de la celda unitaria, la aplicación del teorema de Bloch arroja el siguiente problema de valores propios,
que llamamos el eigenproblema de Bloch del cristal. Nótese la dependencia no trivial de Mcell(ω) con respecto a ω. El uso más directo de la ecuación anterior es el siguiente: para todos los valores de ω, se puede diagonalizar Mcell(ω), y obtener dos valores opuestos ±kB(ω) del número de onda de Bloch en la primera zona de Brillouin, y resolver la estructura de bandas. Obsérvese que Mcell no es unitario y no es hermitiano, lo que significa que, en general, los valores ±kB(ω) son complejos, permitiendo en principio un número infinito de bandas y bandgaps. Obsérvese, además, la diferencia con el modelo SSH estándar de enlace estrecho, que conduce a un problema de valores propios hermitianos que mapea el círculo de Brillouin en el espacio de matrices SU(2), y a una clara clasificación topológica de los sistemas simétricos quirales a través del número de bobinado. Aquí, en consonancia con la simetría de inversión del tiempo54 , \ {{{mathrm{cell}} a la izquierda( \omega \right) \in {{mathrm{{SU}}(1,1)\Nun grupo de matrices no-Hermitianas55. Los hamiltonianos SU(1,1) se encuentran, por ejemplo, en extensiones PT-simétricas del modelo SSH tight-binding56 donde la no-Hermiticidad del hamiltoniano se origina por la ausencia de conservación de la energía. Aquí, Mcell no es un hamiltoniano, en el sentido de que sus valores propios no están relacionados con ω, sino con kB, y la pseudo anti-Hermiticidad de Mcell (\(\\\it{mathrm{z}{mathrm{cell}}^{mathrm{dagger }}sigma _{mathrm{z}} = – {\it{M}_{mathrm{cell}})) está relacionada con la simetría de inversión del tiempo. En la Fig. 11 suplementaria representamos la estructura de bandas obtenida a partir del enfoque de la matriz de transferencia, y la comparamos con la obtenida directamente a partir de simulaciones de onda completa de la celda unitaria sometida a condiciones de contorno periódicas (método FEM). Para resolver el problema de valores propios de la matriz de transferencia, los parámetros θ1,2, α1,2 y Φ1,2, que dependen de la frecuencia, se extrajeron de simulaciones de dispersión por MEF de un único obstáculo en una guía de ondas. La distancia entre los dos dispersores se toma como \ (d = \frac{a}{2} – e_{mathrm{p}}), con ep = 2,8 cm (caso «trivial») y a = 23 cm. El diámetro de la varilla es de 3,5 cm y la anchura de la guía de ondas es de 7 cm. La concordancia entre las dos aproximaciones valida la precisión del modelo de dispersión múltiple, en particular la suposición subyacente de que no hay interacciones de campo cercano entre los obstáculos del cristal.
Propiedades de la matriz de transferencia de la celda unitaria
Para definir la topología del sistema en la siguiente sección, primero necesitamos establecer algunas propiedades clave de la matriz de transferencia de la celda unitaria. Comenzamos con propiedades generales, antes de pasar a propiedades más específicas en una banda o en puntos degenerados de la estructura de banda.
Como consecuencia directa de la simetría de inversión temporal54, la matriz de transferencia del sistema Mcell pertenece al grupo SU(1,1) de matrices de la forma
que se parametriza utilizando las matrices de Pauli como
Sus valores propios, dados por \(\lambda _ \pm = \alpha _{mathrm{R}} \pm i\qrt {\alpha _{mathrm{I}}^2 – \beta _{mathrm{R}}^2 – \beta _{mathrm{I}}^2}) son reales cuando \alpha _{mathrm{I}^2 < \left| \beta \right|^2\), y complejos en caso contrario. Estos valores propios son degenerados bajo la condición \(\alpha _{mathrm{I}^2 – \beta _{mathrm{R}^2 – \beta _{mathrm{I}^2 = 0\), es decir, cuando los parámetros βR, βI y αI pertenecen a un doble cono en el espacio (βR, βI, αI). Este cono se representa en los paneles inferiores de la Fig. 6. En la punta del cono, se tiene βR = βI = αI = 0, lo que significa que Mcell se reduce a Mcell = αRσ0.
Topología de las bandas. Definimos la topología de las bandas como el número de veces que el contorno \(\mathcal{C}\) cruza el eje del cono definido en la Ec. 20. a Para la red trivial, el contorno \(\mathcal{C}\) no cruza el eje del cono, lo que corresponde a una invariante topológica nula. b Cuando el sistema pasa por una transición de fase, el contorno \(\mathcal{C}\) toca la punta del cono. El invariante topológico no puede definirse en este caso. c Igual que los paneles (a) y (b) pero para la red topológica. El contorno \mathcal{C}\a atraviesa el eje del cono una vez en este caso, lo que corresponde a una topología no trivial
En una banda, la matriz Mcell tiene una forma especial. En efecto, el problema propio de Bloch implica que \alpha _{mathrm{R}} \pm i\qrt {\alpha _I^2 – \left| \beta \right|^2} = e^{i\,k_{mathrm{B}}a}), de lo que se deduce que
y
En una banda, tenemos por tanto
Como resultado, una banda describe un mapeo de uno a uno desde el círculo de Brillouin hacia un camino cerrado \_(\mathcal{C}\) en el subespacio de matrices SU(1,1) Mcell(kB) con la forma anterior. A partir del problema de valores propios de Bloch \(M_{mathrm{cell}}left( \omega \right)\left| \psi right\rangle = e^{i\,k_{mathrm{B}}a}left| \psi right\rangle), se deduce que en una banda, Mcell(ω) tiene valores propios complejos, lo que significa que \(\\alpha _{mathrm{I}^2 > \left| \beta \right|^2\), es decires decir, la trayectoria \(\mathcal{C}\) debe estar dentro del cono, ya sea en la región superior αI > |β|, o en la inferior αI < -|β|. Además, la trayectoria \(\mathcal{C}\) sólo puede tocar el cono siempre que los valores propios de Mcell, es decir \(e^{i\,k_{mathrm{B}}a}, sean degenerados. Este es necesariamente el caso en los bordes de la zona de Brillouin \(\left( {k_{mathrm{B}} = \pm \frac{\pi }{a} \right)\N), y en su centro kB = 0. En el medio, \mathcal{C}\ no puede tocar el cono, ya que se deben encontrar dos valores propios distintos \(e^{ \pm i\,k_{mathrm{B}}a}, en virtud de la simetría inversa del tiempo. Por último, la trayectoria \(\mathcal{C}\) no es un bucle, sino una simple línea, ya que Mcell es una función simple de ω, y por tanto es la misma para dos valores opuestos de kB en una banda: comienza en el cono en \(k_{mathrm{B}} = – \frac{\pi }{a}}) y aterriza en él de nuevo en kB = 0, antes de seguir el camino inverso entre kB = 0 y \(k_{mathrm{B}} = \frac{\pi }{a}}). La figura 6a representa un ejemplo del contorno de \(\mathcal{C}\ para la tercera banda del cristal (caso supuestamente «trivial» topológicamente, con ep = 2,8 cm), y la Fig. 6c representa el mismo contorno para ep = -2,8 cm, correspondiente al sistema dual, supuestamente topológico (las propiedades topológicas se demostrarán en la siguiente sección). La figura 6b representa el caso ep = 0 cm que cierra los bandgaps. Como era de esperar, en todos los casos el contorno comienza y termina en el cono.
Para estudiar las condiciones en las que dos bandas de frecuencia consecutivas pueden tocarse, es conveniente refundir el problema propio de Bloch en la forma equivalente:
y pensar en ello de la siguiente manera: para cada kB en la primera zona de Brillouin, encontrar las bandas significa encontrar los valores de ω para los que la matriz \ {e^{ – i\,k_{mathrm{B}}a}M_{{mathrm{cell}}) tiene al menos un valor propio igual a uno, siendo el correspondiente vector propio el vector propio de Bloch en esa banda particular. Esto puede ocurrir para infinitos valores de ω. Si los dos valores propios de \(e^{ – i\,k_{mathrm{B}}a}M_{{mathrm{cell}}) en una frecuencia determinada son iguales a uno, la estructura de banda es doblemente degenerada, lo que supone la máxima degeneración en frecuencia permitida por el sistema. Dado que la forma general de los valores propios de \N(e^{ – i,k_{mathrm{B}}a}M_{{mathrm{cell}}) en una banda son \N(\upsilon _ \pm = e^{ – i,k_{mathrm{B}}left( {{alpha _{mathrm{R}} \pm i\\\Nsqrt {{alpha _{mathrm{I}}^2 – \left| \beta \right|^2} } \right) = e^{ – i\\\️,k_{mathrm{B}a}e^{{pm i\️,k_{mathrm{B}a}), el segundo valor propio \️(e^{ – 2i\️,k_{mathrm{B}}a}) sólo puede hacerse igual a la unidad en los bordes de la zona de Brillouin \(\left( {k_{mathrm{B}} = \pm \frac{\pi}{a}), o en kB = 0. En consecuencia, los bandgaps sólo pueden cerrarse en el centro o en el borde de la zona de Brillouin, es decir, cuando el contorno \(\mathcal{C}\) toca el cono.
Suponiendo el primer caso, es decir, una degeneración en \(k_{mathrm{B}} = \pm \frac{\pi }{a}), se tiene \(e^{ – i\,k_{mathrm{B}}a} = – 1\). Obtenemos, en la frecuencia particular de la degeneración,
y esta matriz sólo puede ser igual a la identidad si \(\left| \beta \right| = 0\). El segundo caso de degeneración en kB = 0 lleva a la misma conclusión \((\left| \beta \right| = 0)\N.) Esto significa que cuando dos bandas se tocan, el contorno \(\mathcal{C}\) está llegando a la punta del cono, como confirma la Fig. 6b.
Topología de las bandas
Como se ha visto en las secciones anteriores, cada banda define un mapeo entre el círculo de Brillouin y un subespacio de matrices SU(1,1). Ahora definimos un invariante topológico para cada banda, es decir, una cantidad entera que es invariante ante transformaciones continuas de la estructura de la banda. Esto significa que este número sólo puede cambiar cuando la banda sufre una transformación discontinua, es decir, cuando toca a otra, o, de forma equivalente, cuando el contorno \(\mathcal{C}\) toca la punta del cono.
Al igual que en el modelo SSH estándar de enlace apretado, necesitamos una simetría extra, parecida a la simetría quiral, para poder definir invariantes topológicos en cada banda. Aquí necesitamos exigir que las matrices de dispersión S1 y S2 sean iguales, tomando θ1 = θ2 =θ, α1,2 = α1,2 = α y φ1 = φ2 = φ. Con esta condición extra, la cantidad \(\beta = M_{21}left( {\omega (k_{mathrm{B}})} \derecha)\Nen la Ec. 14, que parametriza la matriz Mcell en una banda se convierte en
donde las cantidades α, θ y φ que parametrizan la matriz S de un solo obstáculo dependen generalmente de ω(kB). Suponemos entonces el caso de dispersores no resonantes, lo que significa que cos θ no desaparece en la banda, y la variación de α y θ en la banda es despreciable. Dado que Mcell siempre tiene dos valores propios unimodulares conjugados en complejo, ω(kB) es necesariamente monótona entre -π/a y 0. Centremos nuestra atención en la cantidad \cos \left( {\alpha + \frac{{omega \left( {k_{mathrm{B}} \right)d}{c \right)\}, que potencialmente puede hacer que el número complejo β(kB) desaparezca en algún punto particular de la zona de Brillouin. Cuando kB va de -π/a a 0, el ángulo (\gamma = \alpha + \frac{{omega \left( {k_{mathrm{B}} \right)d}{c}) se mueve monótonamente entre dos valores reales, digamos γmin y γmax, definiendo un mapeo continuo monótono entre \left\a . Ahora bien, pueden darse dos situaciones:
- (1)
El segmento no contiene π/2 (módulo π), en cuyo caso \(\cos \left( {\alpha + \frac{{omega \left( {k_{mathrm{B}} \right)d}}} \right)\} nunca desaparece cuando kB va de -π/a a 0. Esto significa que β nunca desaparece en la banda.
- (2)
El segmento contiene π/2 (módulo π), en cuyo caso β desaparece al menos una vez en la banda.
Como β = 0 significa que el contorno \(\mathcal{C}\) cruza el eje del cono, podemos por tanto definir una invariante topológica η de la siguiente manera: Podemos contar el número de veces η que \(\mathcal{C}\) cruza el eje del cono a medida que kB va de -π/a a 0. Este número entero cambia cada vez que γmax o γmin es igual a π/2 (módulo π), es decir, cuando β es cero ya sea en el borde o en el centro de la zona de Brillouin, es decir, cuando se cierra un band gap. La figura 6 muestra cómo evoluciona el contorno \(\mathcal{C}\) para la tercera banda de nuestro sistema, cuando se pasa del régimen trivial (panel a, \(\mathcal{C}\) no cruza el eje del cono, η = 0) al topológico (panel c, \(\mathcal{C}\) cruza el eje del cono, η = 1). En la transición de fase topológica, el contorno \(\mathcal{C}\) toca la punta del cono, lo que cierra el band gap, y el número η no está definido.
Protección de la simetría
La definición del invariante topológico η como el número de veces que el contorno \(\mathcal{C}\} cruza el eje del cono entre -π/a a 0 se basa en dos simetrías subyacentes, y ambas deben cumplirse:
-
(1) Simetría de inversión temporal, que garantiza que Mcell pertenece a SU(1,1)55.
-
(2) Igualdad de S1 y S2 (las matrices de dispersión individuales de campo lejano de ambos obstáculos deben ser idénticas), o, equivalentemente:
Obviamente, el desorden de posición horizontal no cambia los parámetros individuales de dispersión del objeto. Además, el desorden de posición vertical tampoco lo cambia, como se demuestra en la Fig. Suplementaria 12 (la única diferencia en el espectro de dispersión son las interferencias de Fano muy agudas que se producen por el acoplamiento a un estado ligado acústico en el continuo, pero están lejos del rango de frecuencias de interés). En consecuencia, el desorden de posición no rompe \N (M_{{mathrm{cell}}^2 = 1\N). Sin embargo, al cambiar el diámetro de una varilla cambia definitivamente su matriz de dispersión. Lo que ocurre en el caso de varillas con radios diferentes es que la parte real e imaginaria de la cantidad
nunca son simultáneamente cero, lo que implica que el contorno \\c(\mathcal{C}\) puede evitar cruzar el eje del cono simplemente rodeándolo. Esto es análogo a una cadena SSH sin simetría quiral, en la que algunos defectos que rompen la quiralidad adecuadamente elegidos en una interfaz pueden cambiar el número de enrollamiento sin cerrar la brecha de banda. Estos resultados explican el resultado de las simulaciones de onda completa presentadas en la Fig. 3 del texto principal.
Métodos numéricos
Las simulaciones de onda completa se llevan a cabo utilizando Comsol Multiphysics (módulos de acústica y RF). Las curvas de dispersión se obtienen considerando una única celda unitaria de las matrices de celosía, aplicando la condición de contorno de Floquet a los lados de la celda unitaria y realizando simulaciones de frecuencia propia para todos los números de onda de Floquet-Bloch.
Para obtener los espectros de frecuencia de los solucionadores ODE, excitamos el sistema con una onda plana incidente de amplitud unitaria y medimos la cantidad de presión en el lado de transmisión de la guía de ondas.
Para validar nuestras mediciones experimentales, realizamos simulaciones numéricas por elementos finitos incluyendo una pérdida viscotérmica de 1,15 dB/m para obtener una función de transferencia X(ω), por ejemplo, entre las ondas sonoras inyectadas y transmitidas. A continuación, obtuvimos la función de transferencia del altavoz Y(ω) excitando la guía de ondas vacía y midiendo el nivel de presión sonora asociado en el lado de transmisión. La función de transferencia Z(ω), entre la tensión aplicada al altavoz y la presión transmitida, se obtenía entonces fácilmente como \(Z\left( \omega \right) = X(\omega )/Y(\omega )\N.)
En nuestras simulaciones FDTD, excitamos la guía de onda desde un extremo con la señal de entrada modulada deseada, y registramos la evolución temporal del campo de presión (con un paso de tiempo sujeto a la condición de Courant-Friedrichs-Lewy (CFL) para asegurar la estabilidad) recibida en un punto del otro lado de la guía de onda.
Métodos experimentales
Como se menciona en el texto principal, se utiliza un tubo cuadrado de acrílico para implementar la guía de onda acústica. A continuación, se insertaron manualmente en la guía de ondas cilindros de nylon 6 de colada continua para formar el conjunto de tipo SSH. La Fig. 13a representa el montaje experimental utilizado para obtener la función de transferencia del sistema. El montaje contiene un altavoz, un analizador de señales Data Physics Quattro conectado a un ordenador (no mostrado en la figura) que lo controla, un micrófono ICP que mide el nivel de presión sonora transmitido y una terminación anecoica casera (no mostrada en la figura). Para obtener la función de transferencia de la muestra, accionamos el altavoz con una tensión de ruido de ráfaga (que se establece como señal de referencia en la configuración), y medimos el nivel de presión con respecto al canal de referencia utilizando el micrófono ICP. La Fig. 13b complementaria muestra el montaje experimental utilizado para crear una señal de entrada (tensión) con un perfil temporal arbitrario \tilde g(t)\Ny medir la evolución temporal de la señal de salida \tilde f(t)\N. El montaje consiste en una máquina de objetivos en tiempo real Speedgoat Performance con interfaz IO131 controlada por el entorno de objetivos xPC de MATLAB/Simulink, un altavoz, un amplificador de potencia, una terminación acústica casera (no mostrada en la figura) y un micrófono ICP que mide la presión transmitida.