Analyyttinen geometria

Elementaarinen analyyttinen geometria

Apollonius Pergalainen (n. 262-190 eaa.), jonka aikalaiset kutsuivat ”suureksi geometriksi”, ennakoi analyyttisen geometrian kehitystä yli 1800 vuotta aikaisemmin kirjallaan Conics. Hän määritteli kartion kartion ja tason leikkauspisteeksi (ks. kuva). Hän käytti Eukleideen samankaltaisia kolmioita ja ympyrän sekantteja koskevia tuloksia ja löysi suhteen, jonka täyttävät etäisyydet mistä tahansa kartiokulmion pisteestä P kahteen kohtisuoraan suoraan, kartiokulmion pääakseliin ja akselin päätepisteen tangenttiin. Nämä etäisyydet vastaavat P:n koordinaatteja, ja näiden koordinaattien välinen suhde vastaa kartiokulmion kvadraattista yhtälöä. Apollonius käytti tätä suhdetta päättelemään kartioiden perusominaisuuksia. Ks. kartioleikkaus.

Koordinaattijärjestelmien (ks. kuva) jatkokehitys matematiikassa syntyi vasta sen jälkeen, kun algebra oli kypsynyt islamilaisten ja intialaisten matemaatikkojen johdolla. (Ks. matematiikka: Islamilainen maailma (8.-15. vuosisata) ja matematiikka, Etelä-Aasia). Ranskalainen matemaatikko François Viète otti 1500-luvun lopulla käyttöön ensimmäisen systemaattisen algebrallisen merkintätavan, jossa tunnettuja ja tuntemattomia numeerisia suureita merkittiin kirjaimilla, ja hän kehitti tehokkaita yleisiä menetelmiä algebrallisilla lausekkeilla työskentelyyn ja algebrallisten yhtälöiden ratkaisemiseen. Algebrallisen merkintätavan ansiosta matemaatikot eivät enää olleet täysin riippuvaisia geometrisista luvuista ja geometrisesta intuitiosta ongelmien ratkaisemisessa. Rohkeimmat alkoivat jättää taakseen tavanomaisen geometrisen ajattelutavan, jossa lineaariset (ensimmäinen potenssi) muuttujat vastasivat pituuksia, neliöt (toinen potenssi) pinta-aloja ja kuutiot (kolmas potenssi) tilavuuksia, ja suuremmilta potensseilta puuttui ”fyysinen” tulkinta. Kaksi ranskalaista, matemaatikko-filosofi René Descartes ja lakimies-matemaatikko Pierre de Fermat, olivat ensimmäisten joukossa, jotka ottivat tämän rohkean askeleen.

Descartes ja Fermat perustivat itsenäisesti analyyttisen geometrian 1630-luvulla sovittamalla Vièten algebraa geometristen lokusten tutkimiseen. He menivät ratkaisevasti Vièteä pidemmälle käyttämällä kirjaimia kuvaamaan etäisyyksiä, jotka ovat muuttuvia eivätkä kiinteitä. Descartes käytti yhtälöitä geometrisesti määriteltyjen käyrien tutkimiseen, ja hän korosti tarvetta tarkastella yleisiä algebrallisia käyriä – x:n ja y:n kaikkien asteiden polynomiyhtälöiden kuvaajia. Hän demonstroi menetelmäänsä klassisen ongelman avulla: löytää kaikki pisteet P, joiden etäisyyksien tulo P:stä tiettyihin suoriin on yhtä suuri kuin etäisyyksien tulo muihin suoriin. Katso geometria: Cartesian geometry.

Fermat korosti, että mikä tahansa x- ja y-koordinaattien välinen suhde määrittää käyrän (ks. kuva). Tämän ajatuksen avulla hän muotoili Apolloniuksen väitteet uudelleen algebrallisin termein ja palautti menetetyn työn. Fermat osoitti, että mikä tahansa kvadraattinen yhtälö x:n ja y:n suhteen voidaan asettaa jonkin kartioleikkauksen vakiomuotoon.

Fermat ei julkaissut työtään, ja Descartes teki teoksestaan tarkoituksella vaikealukuisen lannistaakseen ”diletantit”. Heidän ajatuksensa saivat yleisen hyväksynnän vasta muiden matemaatikkojen ponnistelujen ansiosta 1600-luvun jälkipuoliskolla. Erityisesti hollantilainen matemaatikko Frans van Schooten käänsi Descartesin kirjoitukset ranskasta latinaksi. Hän lisäsi elintärkeää selittävää materiaalia, samoin kuin ranskalainen lakimies Florimond de Beaune ja hollantilainen matemaatikko Johan de Witt. Englannissa matemaatikko John Wallis popularisoi analyyttistä geometriaa käyttämällä yhtälöitä kartioiden määrittelyyn ja niiden ominaisuuksien johtamiseen. Hän käytti vapaasti negatiivisia koordinaatteja, vaikka Isaac Newton oli se, joka käytti yksiselitteisesti kahta (vinoa) akselia jakamaan tason neljään kvadranttiin, kuten kuvassa näkyy.

Analyyttinen geometria vaikutti matematiikkaan eniten laskennan kautta. Ilman analyyttisen geometrian mahdollisuuksia klassiset kreikkalaiset matemaatikot, kuten Arkhimedes (n. 285-212/211 eaa.), ratkaisivat laskennan perusongelmien erikoistapauksia: tangenttien ja ääripisteiden löytämistä (differentiaalilaskenta) sekä kaarien pituuksia, pinta-aloja ja tilavuuksia (integraalilaskenta). Renessanssin matemaatikot palasivat näiden ongelmien pariin tähtitieteen, optiikan, navigoinnin, sodankäynnin ja kaupankäynnin tarpeiden vuoksi. He pyrkivät luonnollisesti käyttämään algebran voimaa yhä useampien käyrien määrittelyyn ja analysointiin.

Fermat kehitti algebrallisen algoritmin algebrallisen käyrän tangentin löytämiseksi pisteestä etsimällä suoran, jolla on kaksinkertainen leikkauspiste käyrän kanssa pisteessä – pohjimmiltaan hän keksi differentiaalilaskennan. Descartes esitteli samanlaisen mutta monimutkaisemman algoritmin ympyrän avulla. Fermat laski käyrän y = axk pinta-alat kaikille rationaaliluvuille k ≠ -1 laskemalla yhteen sisäänkirjoitettujen ja ympyröityjen suorakulmioiden pinta-alat. (Ks. uupumismenetelmä.) 1600-luvun loppupuolella laskennan pohjatyötä jatkoivat monet matemaatikot, kuten ranskalainen Gilles Personne de Roberval, italialainen Bonaventura Cavalieri ja britit James Gregory, John Wallis ja Isaac Barrow.

Newton ja saksalainen Gottfried Leibniz mullistivat matematiikan 1600-luvun lopulla osoittamalla itsenäisesti laskennan tehon. Molemmat miehet kehittivät koordinaattien avulla merkintöjä, jotka ilmaisivat laskennan ideat täydessä yleisyydessä ja johtivat luontevasti differentiointisääntöihin ja laskennan perusteoriaan (joka yhdistää differentiaali- ja integraalilaskennan). Ks. analyysi.

Newton osoitti analyyttisten menetelmien merkityksen geometriassa, lukuun ottamatta niiden roolia laskennassa, kun hän väitti, että millä tahansa kuutiollisella tai algebrallisella käyrällä, jonka aste on kolme, on yksi neljästä vakioyhtälöstä,xy2 + ey = aks3 + bx2 + cx + d,xy = aks3 + bx2 + cx + d,y2 = aks3 + bx2 + cx + d,y = aks3 + bx2 + cx + d,y = aks3 + bx2 + cx + d,sopivia koordinaattiakseleita varten. Skotlantilainen matemaatikko James Stirling todisti tämän väitteen vuonna 1717, mahdollisesti Newtonin avustuksella. Newton jakoi kuutiot 72 lajiin, kokonaismäärä korjattiin myöhemmin 78 lajiin.

Newton osoitti myös, miten origon lähellä oleva algebrallinen käyrä voidaan ilmaista murtolukujen potenssisarjalla y = a1x1/k + a2x2/k + … positiiviselle kokonaisluvulle k. Matemaatikot ovat sittemmin käyttäneet tätä tekniikkaa tutkittaessa kaikkien asteiden algebrallisia käyriä.