Ben Green (matemaatikko)

Suurin osa Greenin tutkimuksesta on analyyttisen lukuteorian ja additiivisen kombinatoriikan alalta, mutta hänellä on tuloksia myös harmonisesta analyysistä ja ryhmäteoriasta. Hänen tunnetuin lauseensa, joka todistettiin yhdessä hänen vakituisen yhteistyökumppaninsa Terence Taon kanssa, väittää, että on olemassa mielivaltaisen pitkiä aritmeettisia etenemisjaksoja alkuluvuilla: tämä tunnetaan nykyään nimellä Green-Taon lause.

>Greenin varhaisiin tuloksiin additiivisessa kombinatoriikassa kuuluvat Jean Bourgainin tuloksen parantaminen aritmeettisten etenemisjaksojen koosta summajoukoissa sekä Cameron-Erdősin arvelun todistus luonnollisten lukujen summatonjoukoista. Hän todisti myös aritmeettisen säännönmukaisuuden lemman ensimmäisille N luonnollisille luvuille määritellyille funktioille, joka on jokseenkin analoginen Szemerédin säännönmukaisuuden lemman kanssa graafeille.

Vuosina 2004-2010 hän kehitti yhdessä Terence Taon ja Tamar Zieglerin kanssa niin sanottua korkeamman kertaluvun Fourier-analyysia. Tämä teoria liittää Gowersin normit nilsequensseiksi kutsuttuihin kohteisiin. Teoria on saanut nimensä näistä nilsequensseista, joilla on analoginen rooli kuin hahmoilla klassisessa Fourier-analyysissä. Green ja Tao käyttivät korkeamman kertaluvun Fourier-analyysia esitelläkseen uuden menetelmän, jolla voidaan laskea samanaikaisten yhtälöiden ratkaisujen lukumäärä tietyissä kokonaislukujen joukoissa, myös alkuluvuissa. Tämä yleistää Hardy–Littlewoodin ympyrämenetelmää käyttävää klassista lähestymistapaa. Monet tämän teorian näkökohdat, mukaan lukien Gowersin normien käänteisteoremin kvantitatiiviset näkökohdat, ovat edelleen jatkuvan tutkimuksen kohteena.

Green on myös tehnyt yhteistyötä Emmanuel Breuillardin kanssa ryhmäteorian aiheissa. Erityisesti yhdessä Terence Taon kanssa he todistivat approksimaattisten ryhmien rakenneteoremin, joka yleistää Freiman-Ruzsan teoreemaa kokonaislukujen joukoille, joilla on pieni kaksinkertaistuminen. Greenillä on myös työtä, yhdessä Kevin Fordin ja Sean Eberhardin kanssa, symmetrisen ryhmän teoriasta, erityisesti siitä, mikä osuus sen elementeistä korjaa k-kokoisen joukon {\displaystyle k} .

Greenillä ja Taolla on myös artikkeli algebrallisesta kombinatorisesta geometriasta, jossa he ratkaisevat Dirac-Motzkinin konjektuurin (ks. Sylvester-Gallain lause). Erityisesti he todistavat, että annettuna mikä tahansa kokoelma n {\displaystyle n} pistettä tasossa, jotka eivät kaikki ole kollineaarisia, jos n {\displaystyle n} on tarpeeksi suuri, niin tasossa täytyy olla vähintään n/2 {\displaystyle n/2} viivoja, jotka sisältävät täsmälleen kaksi pistettä.

Kevin Ford, Ben Green, Sergei Konyagin, James Maynard ja Terence Tao paransivat aluksi kahdessa erillisessä tutkimusryhmässä ja sitten yhdessä alarajan kahden peräkkäisen korkeintaan X {\displaystyle X} kokoisen alkuluvun välisen pisimmän aukon suuruudelle. Aiemmin tunnetuimman rajan muotoa, joka oli pääosin Rankinin ansiota, ei ollut parannettu 76 vuoteen.

Viime aikoina Green on pohtinut aritmeettisen Ramsey-teorian kysymyksiä. Yhdessä Tom Sandersin kanssa hän osoitti, että jos riittävän suuri äärellinen kenttä, jonka järjestysluku on alkuluku, on värjätty kiinteällä määrällä värejä, niin kentällä on sellaisia alkioita x , y {\displaystyle x,y}, että x , y , x + y , x y {\displaystyle x,y,x{+}y,xy} kaikilla on sama väri.

Green on ollut mukana myös Croot-Lev-Pach-Ellenberg-Gijswijtin uusissa kehitelmissä, jotka koskevat polynomimenetelmän soveltamista äärellisen vektoriavaruuden osajoukkojen koon rajoittamiseen ilman lineaaristen yhtälöiden ratkaisuja. Hän mukautti näitä menetelmiä todistaakseen funktiokentissä vahvan version Sárközyn lauseesta.