Bode-diagrammi, vahvistusmarginaali ja vaihemarginaali (Plus-diagrammit)

BY admin
|

Sisältö

Mikä on Bode-diagrammi

Bode-diagrammi on kuvaaja, jota käytetään yleisesti säätöjärjestelmätekniikassa säätöjärjestelmän stabiilisuuden määrittämiseen. Bode-diagrammi kartoittaa järjestelmän taajuusvasteen kahden kuvaajan avulla – Bode-magnitudidiagrammi (ilmaisee magnitudin desibeleinä) ja Bode-vaihediagrammi (ilmaisee vaiheensiirtymän asteina).

Bode-diagrammit esitteli ensimmäisen kerran 1930-luvulla Hendrik Wade Bode työskennellessään Bell Labsissa Yhdysvalloissa. Vaikka Bode-plotit tarjoavat suhteellisen yksinkertaisen menetelmän järjestelmän stabiilisuuden laskemiseen, ne eivät pysty käsittelemään siirtofunktioita, joissa on oikean puolitason singulariteetteja (toisin kuin Nyquistin stabiilisuuskriteeri).

Bode-plotissa näkyvät vahvistusmarginaali ja vaihemarginaali

Vahvistusmarginaalien ja vaihemarginaalien ymmärtäminen on ratkaisevassa asemassa, kun halutaan ymmärtää Bode plotteja. Nämä termit on määritelty alla.

Vahvistusmarginaali

Mitä suurempi vahvistusmarginaali (GM), sitä vakaampi järjestelmä on. Vahvistusmarginaali tarkoittaa vahvistuksen määrää, jota voidaan lisätä tai vähentää ilman, että järjestelmä muuttuu epävakaaksi. Se ilmaistaan yleensä suuruutena dB:nä.

Voidaan yleensä lukea vahvistusmarginaali suoraan Bode-diagrammista (kuten yllä olevassa kuvassa). Tämä tehdään laskemalla magnitudikäyrän (Bode magnitudikäyrässä) ja x-akselin välinen pystysuora etäisyys taajuudella, jossa Bode-vaihekäyrä = 180°. Tätä pistettä kutsutaan vaiheen ylitystaajuudeksi.

On tärkeää ymmärtää, että vahvistus ja vahvistusmarginaali eivät ole samoja asioita. Itse asiassa Gain Margin on vahvistuksen negatiivinen arvo (desibeleinä, dB). Tämä käy järkeen, kun tarkastelemme vahvistusmarginaalin kaavaa.

Vahvistusmarginaalin kaava

Vahvistusmarginaalin (Gain Margin, GM) kaava voidaan ilmaista seuraavasti:

Jossa G on vahvistus. Tämä on suuruus (dB:nä) luettuna suuruusluokkakaavion pystyakselilta vaiheen ylitystaajuudella.

Yllä olevassa kaaviossa esitetyssä esimerkissämme Gain (G) on 20. Näin ollen käyttämällä vahvistusmarginaalin kaavaamme vahvistusmarginaali on 0 – 20 dB = -20 dB (epästabiili).

Vaihemarginaali

Mitä suurempi on vaihemarginaali (PM), sitä suurempi on järjestelmän stabiilius. Vaihemarginaalilla tarkoitetaan vaiheen määrää, jota voidaan lisätä tai vähentää ilman, että järjestelmä muuttuu epävakaaksi. Se ilmaistaan yleensä vaiheena asteina.

Voidaan yleensä lukea vaihemarginaali suoraan Bode-diagrammista (kuten yllä olevassa kuvassa). Tämä tehdään laskemalla pystysuora etäisyys vaihekäyrän (Bode-vaihediagrammissa) ja x-akselin välillä taajuudella, jossa Bode-magnitudidiagrammi = 0 dB. Tätä pistettä kutsutaan vahvistuksen ylitystaajuudeksi.

On tärkeää ymmärtää, että vaiheviive ja vaihemarginaali eivät ole samat asiat. Tämä käy selväksi, kun tarkastelemme vaihemarginaalin kaavaa.

Vaihemarginaalin kaava

Vaihemarginaalin (PM) kaava voidaan ilmaista seuraavasti:

Jossa on vaiheviive (luku pienempi kuin 0). Tämä on vaihe, joka luetaan vaihekaavion pystyakselilta vahvistuksen ylitystaajuudella.

Toisena esimerkkinä, jos vahvistimen avoimen silmukan vahvistus ylittää 0 dB taajuudella, jossa vaiheviive on -120°, niin vaiheviive -120°. Näin ollen tämän takaisinkytkentäsysteemin vaihevara on -120° – (-180°) = 60° (stabiili).

Bode-diagrammien stabiilisuus

Alhaalla on tiivistetty luettelo Bode-diagrammien piirtämisen (ja niiden stabiilisuuden laskemisen) kannalta merkityksellisistä kriteereistä:

  1. Vahvistusmarginaali: Suurempi on vahvistusmarginaali suurempi on järjestelmän stabiilisuus. Se viittaa vahvistuksen määrään, jota voidaan kasvattaa tai pienentää ilman, että järjestelmä muuttuu epävakaaksi. Se ilmaistaan yleensä dB:nä.
  2. Vaihemarginaali: Vaihemarginaali on sitä suurempi, mitä vakaampi järjestelmä on. Se viittaa vaiheeseen, jota voidaan lisätä tai vähentää ilman, että järjestelmä muuttuu epävakaaksi. Se ilmaistaan yleensä vaiheena.
  3. Gain Crossover Frequency: Sillä tarkoitetaan taajuutta, jolla suuruuskäyrä leikkaa nolla dB:n akselin bode-diagrammissa.
  4. Vaiheen ylitystaajuus: Sillä tarkoitetaan taajuutta, jolla vaihekäyrä leikkaa negatiivisen kerran 180o -akselin tässä kuvaajassa.
  5. Corner Frequency: Taajuus, jolla kaksi asymptoottia leikkaa tai kohtaa toisensa, tunnetaan nimellä katkaisutaajuus tai kulmataajuus.
  6. Resonanssitaajuus:
  7. Tekijät: Taajuuden arvo, jolla G-moduulilla (jω) on huippuarvo, tunnetaan resonanssitaajuutena.
  8. Tekijät: Jokainen silmukan siirtofunktio {s.e. G(s) × H(s)} on eri tekijöiden tuote, kuten vakiotermi K, integraalikertoimet (jω), ensimmäisen kertaluvun kertoimet ( 1 + jωT)(± n), jossa n on kokonaisluku, toisen kertaluvun kertoimet tai kvadraattiset kertoimet.
  9. Kaltevuus: Jokaista tekijää vastaa kaltevuus, ja kunkin tekijän kaltevuus ilmaistaan dB per vuosikymmen.
  10. Kulma: Jokaista tekijää vastaava kulma ja kunkin tekijän kulma ilmaistaan asteina.

Nyt on joitakin tuloksia, jotka pitäisi muistaa Bode-käyrän piirtämistä varten. Nämä tulokset on kirjoitettu alla:

  • Vakiotermi K: Tämän tekijän kaltevuus on nolla dB vuosikymmenessä. Tätä vakiotermiä vastaavaa kulmataajuutta ei ole. Tähän vakiotermiin liittyvä vaihekulma on myös nolla.
  • Integraalitekijä 1/(jω)n: Tämän kertoimen kaltevuus on -20 × n (jossa n on kokonaisluku)dB per vuosikymmen. Tätä integraalitekijää vastaavaa kulmataajuutta ei ole. Tähän integraalitekijään liittyvä vaihekulma on -90 × n. Tässä n on myös kokonaisluku.
  • Ensimmäisen kertaluvun tekijä 1/(1+jωT): Tämän kertoimen kaltevuus on -20 dB vuosikymmentä kohti. Tätä tekijää vastaava kulmataajuus on 1/T radiaania sekunnissa. Tähän ensimmäiseen tekijään liittyvä vaihekulma on -tan- 1(ωT).
  • Ensimmäisen kertaluvun tekijä (1+jωT): Tämän kertoimen kaltevuus on 20 dB vuosikymmenessä. Tätä tekijää vastaava kulmataajuus on 1/T radiaania sekunnissa. Tähän ensimmäiseen tekijään liittyvä vaihekulma on tan- 1(ωT) .
  • Toisen kertaluvun tai kvadraattinen tekijä : : Tämän tekijän kaltevuus on -40 dB vuosikymmenessä. Tätä tekijää vastaava kulmataajuus on ωn radiaania sekunnissa. Tähän ensimmäiseen tekijään liittyvä vaihekulma on

Miten Bode-kaavio piirretään

Pitäen kaikki edellä mainitut seikat mielessä pystymme piirtämään Bode-kaavion kaikenlaiselle ohjausjärjestelmälle. Keskustellaan nyt Bode-diagrammin piirtämismenettelystä:

  1. Korvaa s = jω avoimen silmukan siirtofunktiossa G(s) × H(s).
  2. Etsitään vastaavat kulmataajuudet ja taulukoidaan ne.
  3. Nyt meiltä vaaditaan yksi semi-log-käyrästö valitsee taajuusalueen siten, että piirroksen on aloitettava taajuudella, joka on alempi kuin alin kulmataajuus. Merkitään kulmataajuudet x-akselille, merkitään kaltevuudet y-akselin vasemmalle puolelle merkitsemällä keskelle nollakaltevuus ja oikealle puolelle merkitään vaihekulma ottamalla keskelle -180o.
  4. Laskekaa järjestelmän vahvistuskerroin ja järjestystyyppi.
  5. Laskekaa nyt kutakin tekijää vastaava kaltevuus.

Boden suuruusluokkapiirroksen piirtämistä varten:

  • Merkitkää nurkkataajuus puoliloggiseen kuvaajapaperiin.
  • Taulukoi nämä tekijät siirtyen ylhäältä alaspäin annetussa järjestyksessä.
    1. Vakiotermi K.
    2. Integraalikerroin
    3. Ensimmäisen kertaluvun kerroin
    4. Ensimmäisen kertaluvun kerroin (1+jωT).
    5. Toisen kertaluvun eli kvadraattinen kerroin:
  • Hahmotellaan nyt suora kyseisen kertoimen vastaavan kaltevuuden avulla. Muuta kaltevuutta jokaisen kulmataajuuden kohdalla lisäämällä seuraavan tekijän kaltevuus. Saat suuruusluokkapiirroksen.
  • Laskekaa vahvistusmarginaali.

Bode-vaihepiirroksen piirtämiseksi:

  1. Laskekaa vaihefunktio lisäämällä kaikkien tekijöiden vaiheet.
  2. Substituoi edellä mainittuun funktioon eri arvoja, jotta saat selville vaiheen eri pisteissä ja piirrä käyrä. Saat vaihekäyrän.
  3. Lasketaan vaihemarginaali.

Bode-vakauskriteeri

Vakausehdot ovat seuraavat:

  1. Stabiilille järjestelmälle: Molempien marginaalien tulee olla positiivisia tai vaihemarginaalin tulee olla suurempi kuin vahvistusmarginaalin.
  2. Marginaalisesti stabiilille järjestelmälle: Molempien marginaalien tulisi olla nolla tai vaihemarginaalin tulisi olla yhtä suuri kuin vahvistusmarginaali.
  3. Epävakaalle järjestelmälle: Jos jompikumpi niistä on negatiivinen tai vaihemarginaalin tulisi olla pienempi kuin vahvistusmarginaali.

Bode-plotin edut

  1. Se perustuu asymptoottiseen approksimaatioon, joka tarjoaa yksinkertaisen menetelmän logaritmisen suuruuskäyrän piirtämiseen.
  2. Erilaisen suuruuskäyrän kertolaskua siirtofunktiossa esiintyvien eri suuruusluokkien kertolasku voidaan käsitellä yhteenlaskemisena, kun taas jakoa voidaan käsitellä vähennyksenä, koska käytämme logaritmista asteikkoa.
  3. Vain tämän kuvaajan avulla voimme suoraan kommentoida järjestelmän stabiilisuutta tekemättä mitään laskutoimituksia.
  4. Bode-diagrammit antavat suhteellisen stabiilisuuden vahvistusmarginaalin ja vaihemarginaalin suhteen.
  5. Se kattaa myös matalista taajuuksista korkeisiin taajuuksiin.