Brahmagupta

AlgebraEdit

Brahmagupta antoi yleisen lineaarisen yhtälön ratkaisun Brahmasphutasiddhāntan kahdeksannessatoista luvussa,

Rupien erotus, kun se käännetään ylösalaisin ja jaetaan tuntemattomien erotuksella, on yhtälön tuntematon. Rupas on pienempi kuin se, josta neliö ja tuntematon vähennetään.

joka on ratkaisu yhtälölle bx + c = dx + e, jossa rupas viittaa vakioihin c ja e. Annettu ratkaisu on ekvivalentti x = e – c/b – d. Lisäksi hän antoi kaksi ekvivalenttia ratkaisua yleiseen kvadraattiseen yhtälöön

18.44. Vähennetään keskiarvolla rupien neliöjuuri kerrottuna nelinkertaisella neliöllä ja korotettuna keskiarvon neliöllä ; jaetaan jäännös kaksinkertaisella neliöllä. keskiarvo .
18.45. Mikä on rupien neliöjuuri kerrottuna neliöllä korotettuna neliöllä puolet tuntemattomasta, vähennä se puolella tuntemattomasta jaa sen neliöllä. tuntemattomasta.

jotka ovat vastaavasti yhtälön ax2 + bx = c ratkaisuja, jotka vastaavat,

x = ± 4 a c + b 2 – b 2 a {\displaystyle x={\frac {\pm {\sqrt {4ac+b^{2}}}-b}{2a}}})

ja

x = ± a c + b 2 4 – b 2 a {\displaystyle x={\frac {\pm {\sqrt {ac+{\tfrac {b^{2}}{4}}}}-{\tfrac {b}{2}}{a}}}}

Hän jatkoi ratkaisemalla samanaikaisten epämääräisten yhtälöiden järjestelmiä toteamalla, että haluttu muuttuja on ensin eristettävä, minkä jälkeen yhtälö on jaettava haluamansa muuttujan kertoimella. Hän suositteli erityisesti ”pulverisaattorin” käyttämistä ratkaistaessa yhtälöitä, joissa on useita tuntemattomia.

18.51. Vähennä ensimmäisestä väristä poikkeavat värit. jaettuna ensimmäisellä on ensimmäisen mitta. kaksi kahdella pidetään samanlaisina jakajina toistuvasti. Jos jakajia on paljon , jauhaja .

Kuten Diophantoksen algebra, myös Brahmaguptan algebra oli synkopoitua. Yhteenlasku merkittiin sijoittamalla luvut vierekkäin, vähennyslasku sijoittamalla piste subtrahendin päälle ja jako sijoittamalla jakaja osingon alapuolelle, samaan tapaan kuin meidän merkintätapauksessamme, mutta ilman viivaa. Kertolaskua, evoluutiota ja tuntemattomia määriä esitettiin asianmukaisten termien lyhenteillä. Kreikan mahdollisen vaikutuksen laajuutta tähän synkronointiin ei tiedetä, ja on mahdollista, että sekä kreikkalainen että intialainen synkronointi ovat peräisin yhteisestä babylonialaisesta lähteestä.

AritmetiikkaEdit

Neljä perusoperaatiota (yhteenlasku, vähennyslasku, kertolasku ja jakolasku) tunnettiin monissa kulttuureissa jo ennen Brahmaguptan syntyä. Tämä nykyinen järjestelmä perustuu hindulaiseen arabialaiseen lukujärjestelmään, ja se ilmestyi ensimmäisen kerran Brahmasphutasiddhantassa. Brahmagupta kuvaa kertolaskua näin: ”Kertolasku toistetaan kuin jousi karjalle, niin usein kuin kertojassa on integroivia osia, ja se kerrotaan toistuvasti niillä, ja tuotteet lasketaan yhteen. Se on kertolaskua. Tai kertolasku toistetaan niin monta kertaa kuin kertojassa on komponenttiosia.”. Intialainen aritmetiikka tunnettiin keskiajan Euroopassa nimellä ”Modus Indorum”, joka tarkoittaa intialaisten menetelmää. Brahmasphutasiddhantassa kertolaskua kutsuttiin nimellä Gomutrika. Brahmasphutasiddhāntan luvun 12 alussa, jonka otsikkona on Laskeminen, Brahmagupta kertoo yksityiskohtaisesti murtoluvuilla suoritettavista operaatioista. Lukijan oletetaan tuntevan aritmeettiset perusoperaatiot neliöjuuren ottamiseen asti, vaikka hän selittääkin, miten kokonaisluvun kuutio ja kuutiojuuri löydetään, ja antaa myöhemmin sääntöjä, jotka helpottavat neliöiden ja neliöjuurien laskemista. Tämän jälkeen hän antaa sääntöjä, joiden avulla voidaan käsitellä viittä erilaista murtolukujen yhdistelmää: a/c + b/c; a/c × b/d; a/1 + b/d; a/c + b/d × a/c = a(d + b)/cd; ja a/c – b/d × a/c = a(d – b)/cd.

SeriesEdit

Brahmagupta jatkaa sitten antamalla ensimmäisten n kokonaisluvun neliöiden ja kuutioiden summan.

12.20. Neliöiden summa on tuo kerrottuna kaksinkertaisella askeleella lisättynä yhdellä jaettuna kolmella. Kuutioiden summa on tuon neliön neliö Kasat näitä identtisillä palloilla .

Tässä Brahmagupta löysi tuloksen n ensimmäisen kokonaisluvun summana eikä n:n suhteen, kuten nykyaikana on tapana.

Hän antaa n ensimmäisen luonnollisen luvun neliöiden summaksi n(n + 1)(2n + 1)/6 ja n ensimmäisen luonnollisen luvun kuutioiden summaksi (n(n + 1)/2)2
.

ZeroEdit

Brahmaguptan Brahmasphuṭasiddhānta on ensimmäinen kirja, jossa annetaan nollaan ja negatiivisiin lukuihin sovellettavat säännöt aritmeettisille käsittelyille. Brahmasphutasiddhānta on varhaisin tunnettu teksti, jossa nollaa käsitellään omana lukunaan, eikä pelkkänä sijaislukuna toista lukua esitettäessä, kuten babylonialaiset tekivät, tai määrän puutteen symbolina, kuten Ptolemaios ja roomalaiset tekivät. Brahmagupta kuvaa Brahmasphutasiddhāntansa kahdeksannessatoista luvussa operaatioita negatiivisilla luvuilla. Hän kuvaa ensin yhteen- ja vähennyslaskun,

18.30. kahden positiivisen on positiivinen, kahden negatiivisen negatiivinen; positiivisen ja negatiivisen on niiden erotus; jos ne ovat yhtä suuret, se on nolla. Negatiivin ja nollan summa on negatiivinen, positiivin ja nollan summa positiivinen, kahden nollan summa nolla.

18.32. Negatiivinen miinus nolla on negatiivinen, positiivinen positiivinen; nolla on nolla. Kun positiivinen on vähennettävä negatiivisesta tai negatiivinen positiivisesta, niin se on lisättävä.

Hän jatkaa kertolaskun kuvaamista,

18.33. Negatiivin ja positiivin tulo on negatiivinen, kahden negatiivin positiivinen ja positiivisten positiivinen; nollan ja negatiivin, nollan ja positiivin tai kahden nollan tulo on nolla.

Mutta hänen kuvauksensa nollalla jakamisesta eroaa nykyisestä käsityksestämme:

18.34. Positiivinen jaettuna positiivisella tai negatiivinen jaettuna negatiivisella on positiivinen; nolla jaettuna nollalla on nolla; positiivinen jaettuna negatiivisella on negatiivinen; negatiivinen jaettuna positiivisella on negatiivinen.
18.35. Nollalla jaetun negatiivisen tai positiivisen jakajana on nolla tai nolla jaettuna negatiivisella tai positiivisella . Negatiivisen tai positiivisen neliö on positiivinen; nollan neliö on nolla. Se, jonka neliö on neliö, on neliöjuuri.

Tässä Brahmagupta toteaa, että 0/0 = 0, ja mitä tulee kysymykseen a/0, jossa a ≠ 0, hän ei sitoutunut. Hänen negatiivisia lukuja ja nollaa koskevat aritmeettiset sääntönsä ovat melko lähellä nykyaikaista käsitystä, paitsi että modernissa matematiikassa jakaminen nollalla jätetään määrittelemättä.

DiofanttianalyysiEdit

Pythagoraan kolmosetEdit

Brahmasphutasiddhantansa kahdessatoista luvussa Brahmagupta esittää kaavan, joka on hyödyllinen Pythagoraan kolmosten generoimiseksi:

12.39. Vuoren korkeus kerrottuna annetulla kertoimella on etäisyys kaupunkiin; sitä ei poisteta. Kun se jaetaan kahdella korotetulla kertoimella, se on kahden samaa matkaa tekevän harppaus.

Tai toisin sanoen, jos d = mx/x + 2, niin matkustaja, joka ”hyppää” pystysuoraan ylöspäin matkan d korkeudeltaan m olevan vuoren huipulta ja matkustaa sen jälkeen suoraviivaisesti kaupunkiin, joka on vaakasuoralla etäisyydellä mx vuoren juurelta, kulkee saman matkan kuin se, joka laskeutuu pystysuoraan alas vuorta pitkin alaspäin ja matkustaa sen jälkeen vaakasuoraa pitkin kaupunkiin. Geometrisesti ilmaistuna tämä tarkoittaa, että jos suorakulmaisen kolmion pohjan pituus on a = mx ja korkeuden pituus b = m + d, sen hypotenuusan pituus c on c = m(1 + x) – d. Alkeellisilla algebrallisilla laskutoimituksilla saadaankin selville, että a2 + b2 = c2 aina, kun d:llä on mainittu arvo. Jos m ja x ovat rationaalisia, ovat myös d, a, b ja c rationaalisia. Pythagoraan kolmio saadaan siis a:sta, b:stä ja c:stä kertomalla kukin niistä niiden nimittäjien pienimmällä yhteisellä kertoimella.

Pellin yhtälöEdit

Brahmagupta jatkoi antamalla rekurenssisuhteen, jonka avulla voidaan tuottaa ratkaisut tiettyihin toisen asteen diofanttiyhtälöiden, kuten Nx2 + 1 = y2 (jota kutsutaan Pellin yhtälöksi), toisen asteen diofanttiyhtälöiden esiintymiin käyttämällä euklidista algoritmia. Eukleideen algoritmi tunnettiin hänen mukaansa ”pulverisaattorina”, koska se pilkkoo luvut yhä pienemmiksi paloiksi.

Neliöiden luonne:
18.64. kaksinkertaistaa tietyn neliön neliöjuuren kertoimella ja suurentaa tai pienentää mielivaltaisella . Ensimmäisen , kerrottuna kertoimella , ja viimeisen , on viimeisen laskettu tulo.
18.65. Ukkosen tuotteiden summa on ensimmäinen. Lisäaine on yhtä suuri kuin lisäaineiden tulo. Kaksi neliöjuurta, jotka on jaettu additiivilla tai subtraktiivilla, ovat additiivin rupia.

Hänen ratkaisunsa avain oli identiteetti,

( x 1 2 – N y 1 2 ) ( x 2 2 – N y 2 2 ) = ( x 1 x 2 + N y 1 y 2 ) 2 – N ( x 1 y 2 + x 2 y 1 ) 2 {\displaystyle (x_{1}^{2}-Ny_{1}^{2})(x_{2}^{2}-Ny_{2}^{2})=(x_{1}x_{2}+Ny_{1}y_{2})^{2}-N(x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1})^{2}}

mikä on yleistys Diophantoksen löytämästä identiteetistä,

( x 1 2 – y 1 2 ) ( x 2 2 – y 2 2 ) = ( x 1 x 2 + y 1 y 2 ) 2 – ( x 1 y 2 + x 2 y 1 ) 2 . {\displaystyle (x_{1}^{2}-y_{1}^{2})(x_{2}^{2}-y_{2}^{2})=(x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2})^{2}-(x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1})^{2}.}

Käyttämällä identiteettiään ja sitä, että jos (x1, y1) ja (x2, y2) ovat yhtälöiden x2 – Ny2 = k1 ja x2 – Ny2 = k2 ratkaisuja, niin (x1x2 + Ny1y2, x1y2 + x2y1) on yhtälön x2 – Ny2 = k1k2 ratkaisu, hän pystyi etsimään integraaliratkaisuja Pellin yhtälölle yhtälösarjalla, jonka muoto oli muotoa x2 – Ny2 = ki. Brahmagupta ei pystynyt soveltamaan ratkaisuaan yhdenmukaisesti kaikille mahdollisille N:n arvoille, vaan hän pystyi osoittamaan vain, että jos x2 – Ny2 = k:lla on kokonaislukuratkaisu, kun k = ±1, ±2 tai ±4, niin x2 – Ny2 = 1:llä on ratkaisu. Yleisen Pellin yhtälön ratkaisu jäisi odottamaan Bhaskara II:ta n. 1150 jKr.

GeometriaEdit

Brahmaguptan kaavaEdit

Brahmaguptan kuuluisin tulos geometriassa on hänen kaavansa syklisille nelikulmioille. Kun annettiin minkä tahansa syklisen nelikulmion sivujen pituudet, Brahmagupta antoi likimääräisen ja tarkan kaavan kuvion pinta-alalle,

12,21. Likimääräinen pinta-ala on kolmion ja nelikulmion sivujen ja vastakkaisten sivujen summien puolikkaiden tulo. Tarkka on neliönelikulmion sivuilla pienennettyjen sivujen summien puolikkaiden tulosta saatu neliöjuuri.

Jos siis annetaan syklisen neliönelikulmion pituudet p, q, r ja s, likimääräinen pinta-ala on p + r/2 – q + s/2, kun taas, kun taas, kun annetaan t = p + q + r + s/2, tarkka pinta-ala on

√(t – p)(t – q)(t – r)(t – s).

Vaikka Brahmagupta ei nimenomaisesti sano, että nämä nelikulmiot ovat syklisiä, hänen säännöistään käy ilmi, että näin on. Heronin kaava on tämän kaavan erikoistapaus, ja se voidaan johtaa asettamalla yksi sivu nollaksi.

KolmiotEdit

Brahmagupta omisti huomattavan osan työstään geometrialle. Yksi teoreema antaa niiden kahden segmentin pituudet, joihin kolmion pohja jakautuu sen korkeudella:

12.22. Pohja pieneni ja kasvoi sivujen neliöiden erotuksella jaettuna pohjalla; kahdella jaettuna ne ovat todellisia segmenttejä. Kohtisuoruus on neliöjuuri sivun neliöstä, joka on pienennetty sen segmentin neliöllä.

Siten kahden segmentin pituudet ovat 1/2(b ± c2 – a2/b).

Hän antaa lisäksi lauseen rationaalisista kolmioista. Kolmio, jolla on rationaaliset sivut a, b, c ja rationaalinen pinta-ala, on muotoa:

a = 1 2 ( u 2 v + v ) , b = 1 2 ( u 2 w + w ) , c = 1 2 ( u 2 v – v + u 2 w – w ) {\displaystyle a={\frac {1}{2}}}\left({\frac {u^{2}}{v}}+v\right),\ \ b={\frac {1}{2}}\left({\frac {u^{2}}}{w}}+w\right),\ \ c={\frac {1}{2}}}\left({\frac {u^{2}}}{v}}-v+{\frac {u^{2}}}{w}}-w\right)}

joillekin rationaaliluvuille u, v ja w.

Brahmaguptan lause Muokkaa

Brahmagupta jatkaa,

12.23. Epätasa-arvoisen nelikulmion sivujen ja vastakkaisten sivujen kahden tulon summan neliöjuuri on diagonaali. Diagonaalin neliö pienenee neliöllä, joka on puolet pohjan ja kärjen summasta; neliöjuuri on kohtisuora .

Siten ”epätasa-arvoisessa” syklisessä nelikulmiossa (eli tasakylkisessä puolisuunnikkaassa) kunkin diagonaalin pituus on √pr + qs.

Hän jatkaa antamalla kaavoja geometristen kuvioiden pituuksille ja pinta-aloille, kuten tasakylkisen puolisuunnikkaan ja skalenin nelikulmion ympärysmitalle sekä skalenin syklisen nelikulmion lävistäjien pituuksille. Tämä johtaa Brahmaguptan kuuluisaan lauseeseen,

12.30-31. Kuvantamalla kaksi kolmiota sisäkkäin, joilla on eriarvoiset sivut, kaksi lävistäjää ovat kaksi pohjaa. Niiden kaksi segmenttiä ovat erikseen ylempi ja alempi segmentti diagonaalien leikkauspisteessä. Kaksi kahdesta lävistäjästä ovat kaksi sivua kolmiossa; pohja . Sen kohtisuora on kohtisuoran alempi osa; kohtisuoran ylempi osa on puolet kohtisuorien summasta vähennettynä alemmalla .

PiEdit

Jakeessa 40 hän antaa π:n arvot,

12.40. Halkaisija ja säteen neliö kerrottuna kolmella ovat käytännön kehä ja pinta-ala . Tarkat ovat neliöjuuret näiden kahden neliöistä kerrottuna kymmenellä.

Brahmagupta käyttää siis π:n ”käytännöllisenä” arvona 3 ja 10 ≈ 3.1622 … {\displaystyle {\sqrt {10}\approx 3.1622\ldots }

π:n ”tarkaksi” arvoksi. Tämän ”tarkan” arvon virhe on alle 1 %.

Mitat ja konstruktiot Muokkaa

Joissakin jakeissa ennen jakeen 40 alkua Brahmagupta antaa konstruktioita erilaisista kuvioista, joiden sivut ovat mielivaltaiset. Hän manipuloi lähinnä suorakulmaisia kolmioita tuottaakseen tasakylkisiä kolmioita, skalenikolmioita, suorakulmioita, tasakylkisiä puolisuunnikkaita, tasakylkisiä puolisuunnikkaita, joilla on kolme yhtäsuurta sivua, ja skalenikylkisen syklisen nelikulmion.

Annettuaan pi:n arvon Brahmagrahta käsittelee tasokuvioiden ja kiinteiden kappaleiden geometriaa, kuten tilavuuksien ja pinta-alojen (tai kiinteiden kappaleiden tyhjien tilojen) löytämistä. Hän löytää suorakulmaisten prismojen, pyramidien ja nelikulmaisen pyramidin tyngän tilavuuden. Lisäksi hän löytää kuoppasarjan keskimääräisen syvyyden. Pyramidin rungon tilavuudelle hän antaa ”käytännöllisen” arvon, joka on syvyys kertaa ylä- ja alapinnan reunojen keskiarvon neliö, ja ”pinnallisen” tilavuuden, joka on syvyys kertaa niiden keskimääräinen pinta-ala.

TrigonometriaEdit

SinustaulukkoEdit

Brahmasphutasiddhantan 2. luvussa, jonka otsikkona on Planeettojen todelliset pituusasteet, Brahmagupta esittää sinustaulukon:

2.2-5. Sinit: Esi-isät, kaksoset; Ursa Major, kaksoset, Vedat; jumalat, tulet, kuusi; makuja, nopat, jumalat; kuu, viisi, taivas, kuu; kuu, nuolet, auringot

Tässä Brahmagupta käyttää esineiden nimiä paikka-arvolukujen numeroiden numeroiden esittämiseen, kuten oli tavallista numeeristen tietojen kohdalla sanskriittisissa tutkielmissa. Progenitors edustaa Intian kosmologiassa 14 progenitoria (”Manu”) eli 14:ää, ”kaksoset” tarkoittaa 2:ta, ”Ursa Major” edustaa Ursa Majorin seitsemää tähteä eli 7:ää, ”Vedas” viittaa neljään Vedaan eli 4:ään, dice edustaa perinnekuution sivujen lukumäärää eli 6:ta ja niin edelleen. Nämä tiedot voidaan kääntää siniluetteloksi, 214, 427, 638, 846, 1051, 1251, 1446, 1635, 1817, 1991, 2156, 2312, 1459, 2594, 2719, 2832, 2933, 3021, 3096, 3159, 3207, 3242, 3263 ja 3270, säteen ollessa 3270.

InterpolaatiokaavaMuokkaa

Vuonna 665 Brahmagupta kehitti ja käytti toisen kertaluvun Newton-Stirlingin interpolointikaavan erikoistapausta interpoloidakseen sinifunktion uudet arvot muista jo taulukoiduista arvoista. Kaava antaa arvion funktion f arvosta sen argumentin arvolla a + xh (h > 0 ja -1 ≤ x ≤ 1), kun sen arvo tunnetaan jo arvoilla a – h, a ja a + h. Kaavan avulla voidaan arvioida f:n arvo argumentin arvolla a + xh.

Estimaatin kaava on:

f ( a + x h ) ≈ f ( a ) + x Δ f ( a ) + Δ f ( a – h ) 2 + x 2 Δ 2 f ( a – h ) 2 ! . {\displaystyle f(a+xh)\approx f(a)+x{\frac {\Delta f(a)+\Delta f(a-h)}{2}}+x^{2}{\frac {\Delta ^{2}f(a-h)}{2!}}.}