Bravais’n ristikko

Geometriassa ja kristallografiassa Auguste Bravais’n (1850) mukaan nimetty Bravais’n ristikko on ääretön joukko diskreettejä pisteitä, jotka on luotu joukolla diskreettejä siirto-operaatioita, joita kuvataan kolmiulotteisessa avaruudessa seuraavasti:

R = n 1 a 1 + n 2 a 2 + n 3 a 3 {\displaystyle \mathbf {R} =n_{1}\mathbf {a} _{1}+n_{2}\mathbf {a} _{2}+n_{3}\mathbf {a} _{3}}}

(1)

jossa ni ovat mitä tahansa kokonaislukuja ja ai ovat primitiivisiä vektoreita, jotka sijaitsevat eri suunnissa (eivät välttämättä kohtisuorassa toisiinsa nähden) ja kattavat ristikon. Alkeisvektoreiden valinta tietylle Bravais’n ristikolle ei ole yksiselitteinen. Minkä tahansa Bravais’n ristikon perustavanlaatuinen piirre on se, että minkä tahansa suunnan valinnassa ristikko näyttää täsmälleen samalta jokaisesta erillisestä ristikkopisteestä katsottaessa kyseiseen valittuun suuntaan.

Kristallografiassa Bravais’n ristikon käsite, joka on ääretön joukko erillisiä pisteitä, on laajennettu yksikkösolun käsitteellä, joka käsittää myös erillisten ristikkopisteiden väliin jäävän avaruuden sekä kaikki kyseisessä avaruudessa olevat atomit. Yksikkösoluja on kahta päätyyppiä: primitiivisiä yksikkösoluja ja ei-primitiivisiä yksikkösoluja.

Primitiivinen yksikkösolu tietylle Bravais’n ristikolle voidaan valita useammalla kuin yhdellä tavalla (kullakin tavalla on erilainen muoto), mutta kullakin tavalla on sama tilavuus ja kullakin tavalla on se ominaisuus, että primitiivisten yksikkösolujen ja diskreettien ristikkopisteiden välille voidaan luoda yksi-yhteen vastaavuus. Ilmeinen primitiivinen solu, joka voidaan liittää tiettyyn primitiivisten vektorien valintaan, on niiden muodostama rinnakkaissuora. Toisin sanoen kaikkien sellaisten pisteiden r joukko, jotka ovat muotoa:

r = x 1 a 1 + x 2 a 2 + x 3 a 3 missä 0 ≤ x i < 1 {\displaystyle \mathbf {r} =x_{1}\mathbf {a} _{1}+x_{2}\mathbf {a} _{2}+x_{3}\mathbf {a} _{3}\qquad {\text{where }}0\leq x_{i}<1}

(2)

Primitiivisten vektoreiden määrittelemän rinnakkaissärmiön käyttäminen yksikkösoluna aiheuttaa joissakin tapauksissa sen haittapuolen, että se ei tuo selvästi esiin ristikon täyttä symmetriaa. Yksi ratkaisu tähän on käyttää Wigner-Seitzin primitiivistä solua (joka koostuu kaikista avaruuden pisteistä, jotka ovat lähempänä tiettyä ristikkopistettä kuin mitä tahansa muuta ristikkopistettä), joka näyttää ristikon täyden symmetrian. Toinen ratkaisu on käyttää muuta kuin primitiivistä yksikkösolua, joka näyttää ristikon täyden symmetrian. Ei-primitiivisen yksikkösolun tilavuus on primitiivisen yksikkösolun tilavuuden kokonaislukukerroin.

Yksikkösolun, oli se sitten primitiivinen tai ei, on täytettävä täsmälleen koko tila ilman päällekkäisyyksiä ja aukkoja, kun se toistetaan kerran kutakin erillistä ristikkopistettä kohti.

Laajennettua Bravais’n ristikkokäsitettä, mukaan luettuna yksikkösolun käsitteistö, käytetään määrittelemään kiteinen järjestys ja sen (äärelliset) rajat muodollisesti. Kide koostuu yhden tai useamman atomin jaksollisesta järjestelystä (perusta tai motiivi), joka esiintyy täsmälleen kerran jokaisessa primitiivisessä yksikkösolussa. Perusta voi koostua kiinteän aineen atomeista, molekyyleistä tai polymeerisäikeistä. Näin ollen kide näyttää samalta, kun sitä tarkastellaan mistä tahansa suunnasta mistä tahansa kahden eri yksikkösolun ekvivalentista pisteestä (kaksi pistettä saman ristikon kahdessa eri yksikkösolussa ovat ekvivalentteja, jos niillä on sama suhteellinen sijainti yksittäisten yksikkösolujensa rajojen suhteen).

Kahta Bravais’n ristikkoa pidetään usein ekvivalentteina, jos niillä on isomorfiset symmetriaryhmät. Tässä mielessä kolmiulotteisessa avaruudessa on 14 mahdollista Bravais’n ristikkoa. Bravais’n ristikkojen 14 mahdollista symmetriaryhmää ovat 14 230 avaruusryhmästä. Avaruusryhmien luokittelun yhteydessä Bravais’n latticeja kutsutaan myös Bravais-luokiksi, Bravais’n aritmeettisiksi luokiksi tai Bravais’n parviksi.