Moduuli 1 — Pyörimisakselin valinta ja pyörimissuunnan kuvaaminen

BY admin
|

From PER wiki

Jumppaa osoitteeseen: Navigointi, haku

Oppimistavoitteet

Tämän moduulin läpikäymisen jälkeen sinun pitäisi osata:

  • Kuvata jäykän kappaleen pyöriminen kiinteän akselin ympäri.
  • Määritellä kulmanopeus kulma-asennon muutosnopeuden avulla.
  • Osoittaa jäykän kappaleen pyörimissuunta ja soveltaa oikean käden sääntöä.

Jäykän kappaleen pyöriminen pyörimisliikkeen muodossa voi tapahtua yhdessä translaatioliikkeen kanssa. Jätämme translaatio- ja rotaatioliikkeen yhdistetyn kuvauksen myöhemmäksi. Tässä moduulissa keskitymme pelkän translaatioliikkeen kuvaamiseen. Puhdas pyörimisliike voi olla hyvin monimutkaista, ja jotkin tapaukset eivät kuulu minkään fysiikan peruskurssin piiriin.

Kulmaliikkeen ideoiden yksinkertaistamiseksi teemme seuraavat rajoitukset:

  1. Jäykkä kappale pyörii kiinteän pyörimisakselin ympäri.
  2. Tarkastelemme kappaleita, jotka ovat ohuita, esimerkiksi levyä kuvassa a) tai tankoa kuvassa b).
  3. Pyöriminen tapahtuu tasossa, jossa kappale on, esimerkiksi xy-tasossa alla olevassa kuvassa.
  4. Pyörimisakseli on kohtisuorassa siihen tasoon nähden, jossa kappale sisältyy, eli z-akseli alla olevissa kuvissa.

2dRotation.png

Jäykkä kappale, joka on pakotettu pyörimään kiinteän akselin ympäri

Yksinkertaisin pyörimisliikkeen tapaus on jäykkä kappale, kuten edellä esitetty kiekko tai tanko, joka voi pyörähtää tilassa kiinteästi olevan akselin tai saranan ympäri. Akseli tai sarana ei käänny, vaan mahdollistaa pyörimisen. Tämä tapaus havainnollistaa selvästi pyörimisakselin käsitteen. Kuvitellaan piste, joka sijaitsee levyn keskipisteessä tai tangon päässä, piste Q, alla olevassa kuvassa. Kun kappale pyörii, tämä piste ei liiku lainkaan. Mikä tahansa muu piste, kuten piste B, liikkuu, kun kierto tapahtuu. Kuvitellaan suora viiva, joka kulkee pisteen Q kautta ja on kohtisuorassa tasoon nähden, jossa levy tai tanko on, eli kuvan xy-tasoon nähden. Tämä suora ei liiku kappaleen pyöriessä. Mikä tahansa muu kappaleen jonkin muun pisteen kautta kulkeva viiva, kuten pisteen B kautta kulkeva sininen viiva, liikkuu. Tämä ainutkertainen kiinteä viiva on pyörimisakseli.

FixedAxis.png

Yhteenvetona voidaan todeta, että kun puhumme kiinteästä pyörimisakselista, meidän täytyy kuvitella viiva, joka on kohtisuorassa tasoon nähden, jossa jäykkä kappale pyörii. Yleensä katsomme kappaleen sisältyvän ja pyörivän xy-tasossa, joten pyörimisakseli on z-akselin suuntainen. Tämän viivan ja tason leikkauspiste, yllä olevassa kuvassa piste Q, on myös kiinteä avaruudessa.

Kiinteän akselin ympäri pyörivän jäykän kappaleen pyörimisliike

Asettele kiekkoa, joka pyörii sen keskipisteen kautta kulkevan kiinteän akselin ympäri. Kiekon piste B, joka on etäisyydellä r keskipisteestä, liikkuu ympyräradalla, jonka säde on r, katkoviiva ympyrä kuvassa a).

AngularVelocity01b.png

Kulma-asento

Pisteen B sijainti voidaan kuvata +x-akselista mitatun kulman θ(t) avulla. Kulmaa θ kutsutaan pisteen kulma-asennoksi.

Yleissopimus: Kulma-asento määritellään positiiviseksi, kun se mitataan vastapäivään +x-akseliin nähden.

Kulmanopeus

Pisteen B nopeus samoin kuin kaikkien levyn sisällä olevien pisteiden nopeus riippuu niiden kulma-asentojen muutosnopeudesta. Jos levy pyörii kulman dθ = 25o vastapäivään aikaväli dt =1 sekunti, pisteet B, C ja kaikki levyn sisällä olevat pisteet pyörivät saman verran samalla aikaväliajalla, kuva c).

Kulmanopeus määritellään kulma-asennon muutosnopeudeksi ja sitä merkitään kirjaimella ω:

\omega(t) = \frac{d\theta(t)}{dt} Yksiköt: = rad.s-1

Kulmakiihtyvyys

Kulmakiihtyvyys on kulmanopeuden muutosnopeus.

\alpha(t) = \frac{d\omega(t)}{dt} = \frac{d^{2}\theta(t)}{dt} Yksiköt: = rad.s-2

Suunta

Pelkkä akselin ja pyörimisnopeuden määrittäminen ei riitä pyörimisliikkeen täydelliseen kuvaamiseen. Meidän on keskusteltava myös suunnasta. Kun akseli on valittu, mahdolliset pyörimissuunnat on supistettu kahteen vaihtoehtoon – kohde voi pyöriä vastapäivään tai myötäpäivään tason yläpuolelta katsottuna (perinteisesti + z-paikasta). Nämä kaksi tilannetta kuvataan alla olevissa kuvissa. Tässä on kuitenkin oltava varovainen, sillä pyörimisen suunta vastapäivään tai myötäpäivään riippuu havaitsijan sijainnista. Levy, joka pyörii vastapäivään ylhäältä katsottuna, pyörii myötäpäivään alhaalta katsottuna.

Convention.png

Kun pyrimme kohti rotaation matemaattista kuvausta, kuvaamme rotaation vektorina. Osoittautuu (kuten tulemme näkemään), että hyvin käyttökelpoinen konventio on määrätä +z-koordinaattiakselit sijaitsemaan pyörimisakselin varrella ja ajatella kahta vaihtoehtoa vastapäivään ja myötäpäivään positiivisena ja negatiivisena pyörimisenä tämän akselin ympäri. Näin ollen kulmanopeusvektori, joka vastaa levyn pyörimistä yllä olevissa kuvissa esitetyssä tilanteessa, on:

\vec{\omega} = \omega \hat{k}

Vastapäivään tapahtuvassa pyörimisessä:

θ kasvaa ajan myötä,ω = dθ/dt > 0 jolloin kulmanopeus osoittaa kohti +z-akselia.

Käytettäessä myötäpäivään pyörimistä:

θ pienenee ajan myötä,ω = dθ/dt < 0 jolloin kulmanopeus osoittaa kohti -z-akselia:

Oikean käden sääntö

Tätä konventiota kutsutaan oikean käden säännöksi. Jos haluat käyttää sitä, käyristä oikean kätesi sormet. Kohdista kätesi pyörivään kohteeseen (tässä tapauksessa levykkeeseen) siten, että sormien seuraaminen rystysistä sormenpäihin antaa saman pyörimisliikkeen kuin kohde kokee. Peukalosi osoittaa tällöin pyörimisen ”suunnan”.

Oikean käden sääntö ja (x,y,z)

Käytettäessä kartesiankoordinaatistoa kuvaamaan liikettä tasossa on tärkeää käyttää oikeakätistä koordinaatistoa, jotta erilaisten pyörimissuureiden määrittely voidaan määritellä vektorituoton avulla. Yllä olevassa esimerkissä tämä tarkoittaa sitä, että jos asetat oikean kätesi niin, että ojennetut sormet osuvat + x-akselille, ja sitten väännät ranteesi niin, että sormet liikkuvat kohti y-akselia, kun suljet kätesi nyrkkiin, tuloksena on, että peukalosi osoittaa pitkin +z. Tämä vastaa tavanomaista käytäntöä, jonka mukaan kulman mittaaminen aloitetaan x-akselilta ja vastapäivään tapahtuvaa kulmasiirtymää pidetään positiivisena.

Pyörivän järjestelmän piirtäminen

Näkökulman tulee olla samassa linjassa pyörimisakselin kanssa.

Pyörivää systeemiä piirtäessä on tärkeää, että näkökulma kohdistetaan pyörimisakselin kanssa. Toisin sanoen sinun tulisi piirtää järjestelmä ikään kuin katsoisit suoraan akselin suuntaisesti.

Sellaisten vektorien esittäminen, jotka osoittavat suoraan sinuun päin tai suoraan poispäin.

Koska piirrämme pyöriviä systeemejä ikään kuin katsoisimme akselin suuntaisesti, on mahdotonta piirtää akselia edustavaa nuolta. Lineaarinen akseli näyttää meidän näkökulmastamme pisteeltä. Tästä syystä on olemassa konventio, jonka mukaan piirretään nuoli, joka osoittaa suoraan kohti tai suoraan poispäin havaitsijasta. Konvention mukaan suoraan havaitsijaa kohti osoittava nuoli piirretään ympyröitynä pisteenä. Suoraan poispäin osoittava nuoli piirretään ympyröitynä ”x:nä”.

Vektoreiden kuvaaminen kohdistettuna katsojaan: ovi ylhäältä ja alhaalta.

Kuva: Ovi esitetään valitun kiertoakselin suuntaisesti eri näkökulmista.

DoorAxes.png

DoorAxes.png