Negatiiviset luvut ja kokonaisluvut

Seuraavat aiheet:
Lisäoppitunteja aritmetiikkaan
Matematiikan työpaperit

Negatiiviset luvut

Olet ehkä vieraillut tietyissä kaupungeissa talvella tai nähnyt elokuvia, joissa näytetään hyvin kylmää säätä toisissa paikoissa. Tiesitkö, että hyvin kylmillä ilmoilla lämpötilat ovat usein alle nollan? Esimerkiksi Pohjois-Kiinassa sijaitsevan Harbinin kaupungin talvilämpötila voi olla 16 astetta pakkasta.

Matemaattisesti ilmaisemme tämän ”alle nollan” tilanteen käyttämällä negatiivisia lukuja. Negatiivinen luku ilmaistaan laittamalla numeron eteen -merkki. Näin ollen edellä mainittu lämpötila Harbinissa olisi -16 °C, joka luetaan ’negatiivisena kuusitoista celsiusastetta’.

Keksitkö muita tilanteita, joissa käytettäisiin negatiivisia lukuja?

Lukuluvut

Olet jo oppinut kokonaisluvut, jotka ovat 0, 1, 2, 3, 4, 5, … Nyt huomaat, että luvut voivat olla myös negatiivisia, kun ne ovat alle nollan.

Kokonaisluvut koostuvat nollasta ja positiivisista kokonaisluvuista, jotka ovat 1, 2, 3, 4, …

Kokonaisluvut muodostavat yhdessä negatiivisten kokonaislukujen kanssa kokonaislukujen joukon. Esimerkkejä kokonaisluvuista ovat -12, -7, -1, 0, 3, 6, 29 jne.
Nollaa ei pidetä positiivisena eikä negatiivisena.

Lukusuora

Lukuluvut voidaan esittää pisteinä lukusuoralla.

Lukuviivan päissä olevat nuolet osoittavat jatkuvuutta.

Lukuviivalla

• minkä tahansa kokonaisluvun ja seuraavan välillä on yhtä pitkä väli
• positiiviset kokonaisluvut sijoittuvat nollan oikealle puolelle. Positiiviset kokonaisluvut voidaan kirjoittaa +-merkillä , eli +1, +2, +3, …, vaikka yleensä jätämme +-merkin pois ja kirjoitamme ne vain 1, 2, 3, … (Positiivisia kokonaislukuja kutsutaan myös luonnollisiksi luvuiksi.)
• negatiiviset kokonaisluvut sijoitetaan nollan vasemmalle puolelle. Negatiiviset kokonaisluvut on kirjoitettava -merkillä, eli -1, -2, -3, -4, …
• jokainen yhtä suuri väli edustaa yhtä monta yksikköä.

Absoluuttiarvo

Seuraavassa kuvassa selitetään absoluuttiarvo. Vieritä sivua alaspäin saadaksesi lisää esimerkkejä ja ratkaisuja.

Harkitse lukuja -3 ja 3 numeroviivalla. Huomaa, että ne ovat yhtä kaukana 0:sta lukujonolla.

Sanotaan, että -3 ja 3 ovat vastakohtia. Samoin 2 on -2:n vastakohta ja -5 on 5:n vastakohta. Jokaisella positiivisella kokonaisluvulla on vastakohta lisäämällä siihen -merkki.

Lukulinjalla olevan 0:n ja minkä tahansa kokonaisluvun välinen etäisyys edustaa kokonaisluvun absoluuttista arvoa. Siten 3:n absoluuttinen arvo on 3, ja -3:n absoluuttinen arvo on myös 3. Toisin sanoen minkä tahansa kokonaisluvun absoluuttista arvoa edustaa pelkkä numero, eikä merkkiä oteta huomioon.

Merkintä |-6| tarkoittaa -6:n absoluuttista arvoa. Näin ollen,

|-6| = 6, |5| = 5 ja |-17| = 17

Kokonaislukujen vertailu

Olet aiemmin oppinut, että 3 on suurempi kuin 2. Voimme kirjoittaa tämän seuraavasti:

3 > 2, joka luetaan niin, että 3 on suurempi kuin 2, tai

2 < 3, joka luetaan niin, että 2 on pienempi kuin 3.

Jos tarkistat lukujonon, huomaat, että 3 on 2:n oikealla puolella, mikä osoittaa, että 3 on suurempi kuin 2, tai 2 on 3:n vasemmalla puolella, mikä tarkoittaa, että 2 on pienempi kuin 3.

Tämä toimii samalla tavalla negatiivisille kokonaisluvuille. Tarkastellaan kokonaislukuja
-1, -2 ja -4. -4 on -2:n tai -1:n vasemmalla puolella, joten voimme kirjoittaa

-4 < -2, ja -4 < -1

Kääntäen -1 on -2:n tai -4:n oikealla puolella, joten

-1 > -2, ja -1 > -4

Seuraavalla videolla selitetään, mitä ovat kokonaisluvut. Esimerkkejä annetaan positiivisten ja negatiivisten lukujen käsitteen selittämiseksi.

• Näytä vaiheittaiset ratkaisut

Seuraavalla videolla selitetään absoluuttisten arvojen ja lukujonon käsite
1) Kokonaisluvut lukujonolla
2) Vastakkaiset kokonaisluvut
3) Kokonaislukujen vertaileminen lukujonon avulla

• Näytä vaiheittaiset ratkaisut

Kokeilkaa alla olevaa ilmaista Mathwayn matematiikkalaskuria ja -tehtävienratkaisijaa harjoitellessanne erilaisia matemaattisia asioita. Kokeile annettuja esimerkkejä tai kirjoita oma ongelmasi ja tarkista vastauksesi vaiheittaisten selitysten avulla.