The curious powers of 1 + sqrt 2

Juuri äskettäin mathstodon.xyz-sivustolla Colin Wright kirjoitti seuraavan arvoituksen:

Mikä on 99. numero desimaalipisteen oikealla puolella desimaalilaajennuksessa ?

Vastauksen löytäminen tietokoneen avulla on tietysti riittävän yksinkertaista; mikä tahansa kieli tai ohjelmistojärjestelmä, joka osaa laskea mielivaltaisen tarkkuuden reaaliluvuilla, voi löytää oikean vastauksen sekunnin murto-osassa. Mutta se ei tietenkään ole asian ydin! Voimmeko käyttää loogista päättelyä oikean vastauksen päättelemiseksi tai todistamiseksi ilman suuria laskutoimituksia? Vaikka löytäisimme vastauksen laskennallisesti, voimmeko selittää, miksi se on oikea vastaus? Tämän arvoituksen ratkaiseminen vei minut kiehtovaan kaninkoloon, jonka haluaisin jakaa kanssasi seuraavassa postauksessa tai kolmessa tai kahdeksassa.

Tällä hetkellä annan sinun vain miettiä arvoitusta. Vaikka tietokoneen käyttäminen pelkän vastauksen laskemiseen on huijaamista, kannustan kuitenkin käyttämään tietokonetta tai laskinta kokeilemaan pienempiä esimerkkejä ja etsimään kuvioita. Ei ole kovin vaikeaa nähdä kaavaa ja arvailla oikeaa vastausta; mielenkiintoista on tietysti keksiä, miksi tämä kaava tapahtuu, ja todistaa, että se jatkuu.