The Evolution of the Area Model: Elementary through Algebra

Kun lapset alkavat opetella lukujen kertomista, yksi ensimmäisistä asioista, joita he oppivat, on kuvion muodostaminen joukossa olevista esineistä. He laskevat manipulatiivit ja huomaavat, että niillä on pituus ja leveys. He voivat myös laskea kaikki manipulatiivit kokonaismäärän löytämiseksi. Tästä varhaisesta kokemuksesta oppilaat aloittavat ensimmäisen askeleen kohti taitoa, joka jatkuu koko yläkoulun algebran ajan.

Kun Common Core ja muut opetussuunnitelmat alkoivat painottaa epätyypillisiä algoritmeja perinteisten menetelmien sijaan, joita monet aikuiset käyttivät yksinomaan koulussa, syntyi vastareaktioita. Kaikkialle ilmestyi meemejä ja internet-ketjuja, joissa näitä epätyypillisiä menetelmiä haukuttiin liian hankaliksi tai tehottomiksi. Näissä meni ohi näiden menetelmien opettamisen ja oppimisen tarkoitus, kuten aluemalli oppilaidemme matemaattisessa kehityksessä. Aluemallien kaltaiset menetelmät on kehitetty siten, että tarkoituksena on saada kestävä ymmärrys matematiikan mekaniikasta eikä vain vastaus nopeaan matemaattiseen ongelmaan. Standardialgoritmi on usein tehokkain tapa ratkaista ongelma, mutta se piilottaa usein matematiikan järkeilyn oppilailta, jotka oppivat tekemään monimutkaisempia töitä yhä nuorempana. Kyllä, aluemalli näyttää hyvin erilaiselta kuin matematiikka, jota monet meistä tekivät lapsena, mutta mekaniikka on sama.

Aluemallit ja matriisit perustuvat yhteen yksinkertaiseen ajatukseen: suorakulmion pituus kertaa sen leveys on yhtä suuri kuin kokonaisala. Ensimmäinen pinta-alamalli, jota oppilaat käyttävät, on yksinkertainen fysikaalinen joukko.

Tämä perusmalli on itse asiassa perusta oppimiselle, joka jatkuu läpi lukion! Miten tätä mallia voidaan käyttää edistämään nuorten oppilaiden ymmärrystä? Tämän mallin tärkein käyttötapa on visuaalinen ero siinä, miltä yhteenlasku näyttää verrattuna kertolaskuun. Se tekee selvemmäksi, miten paljon 6 + 4 eroaa 6 x 4:stä. Tämä ero on hyvin tärkeä, kun oppilaat alkavat opiskella operaatioiden järjestystä. Kun oppilaat hallitsevat kertolaskun faktat, he siirtyvät kaksinumeroiseen kertolaskuun. Tässä kohtaa mallit ottavat sen käänteen, että monet aikuiset alkavat olla vaivautuneita matematiikan kanssa!

Onko oppilaillasi vaikeuksia viedä fyysistä mallia algoritmiin? Kokeile tätä vinkkiä: Pyydä oppilaita rakentamaan kertolaskutaulukon päälle fyysisiä matriiseja. Tämä auttaa heitä näkemään yhteyden heidän rakentamansa mallin ja niiden faktojen välillä, joita he opettelevat!

Käyttämällä manipulatiivisia apuvälineitä, kuten kymppipalikoita, osoittaaksemme paikka-arvosuhteita on seuraava askel aluemallin kehityksessä. Tämä menetelmä voi olla hankala opettajille ja vanhemmille, jotka eivät ole tottuneet siihen, miten pituus- ja leveyssuhteet toimivat kussakin peruskymmenen palikoiden yksikössä. Toinen osa tätä mallia, joka voi olla vaikea, on palikoiden kyky edustaa eri arvoja. Kun työskennellään kokonaislukujen kertolaskun parissa, yksikkökuutio edustaa yhtä, mutta kun työskennellään desimaalilukujen parissa, yksikkökuutio edustaa sadasosaa. Paikka-arvomallinnuksen käyttäminen osoittaa oppilaille, miksi nolla on sijoitettava, kun kaksinumeroiset luvut kerrotaan kaksinumeroisilla luvuilla. Se voi myös antaa oppilaille, jotka eivät ole yhtä varmoja kertolaskun suhteen, sillan, jonka avulla he voivat siirtyä yksinumeroisesta kertolaskusta monimutkaisempiin ongelmiin.

Kun oppilaat ovat noin viidennellä tai kuudennella luokalla, pinta-alamallien käyttö saa toisen muutoksen. Konkreettisesta mallista siirrytään kohti visuaalista esitystä. Desimaalilukujen kohdalla tämä tapahtuu usein sadasosaruudukon muodossa. Tämän mallin käyttäminen on yksi parhaista tavoista antaa oppilaille ymmärrys siitä, miksi kymmenluvut eivät ole rivissä kertolaskutehtävässä. Kun oppilaat joutuvat tekemisiin vain algoritmityöskentelyn kanssa, heillä on usein vaikeuksia muistaa, milloin desimaaliluvut on asetettava riviin ja milloin niitä on siirrettävä. Jos annat heille ymmärrystä siitä, miksi desimaalien sijoittelu tapahtuu, se auttaa heitä muistamaan ja ymmärtämään käsitteen luontevammin, eikä heidän tarvitse turvautua yhtä paljon ulkoa opetteluun. Lisäksi kun oppilaat käyttävät murtolukujen kertomisen esittämiseen aluemallia, he pystyvät havainnollistamaan nimittäjien kertomisen syyn. Murtolukujen yhteenlaskun oppimisen jälkeen tämä on tärkeää, koska oppilaat ovat vakiinnuttaneet mieleensä ajatuksen yhteisten nimittäjien löytämisestä murtolukujen kanssa työskentelyssä välttämättömänä. Kertomisen yhteydessä tätä ei tietenkään tarvita, ja se johtaa väärään vastaukseen. Jälleen kerran, kuten kymmenlukujen kanssa työskennellessä, monet oppilaat hämmentyvät yhteen- ja kertolaskuoperaatioiden sääntöeroista.

Onko oppilaillasi vaikeuksia nähdä pituutta ja leveyttä desimaali- ja murtolukujen aluemalleissa? Kokeile tätä vinkkiä: Piirrä numeroviivat pituuden ja leveyden suuntaisesti. Merkitse ensin kokonaisuudet. Korosta sitten kokonaisuudet yksikköneliöiksi, jotta nimittäjä on helppo laskea. Katso alla olevalta videolta vaiheet monimutkaisen sekaluvun kertolaskun kanssa!

Kaikki edelliset mallit, vaikka ne ovatkin erilaisia, käsittelevät numeerista pituutta ja leveyttä. Aluemalleissa ei tarvitse käyttää numeerisia arvoja, ja niiden avulla voidaan yksinkertaistaa algebrallisia lausekkeita. Algebrallisten aluemallien rakentamiseen käytetään yleisesti manipulatiivia nimeltä algebralaatat. Aluemallin käyttöä algebrallisten lausekkeiden yksinkertaistamiseen voidaan käyttää vaihtoehtona FOILille. Vaikka monet meistä, jotka nyt opettavat, ovat kasvaneet käyttämällä FOIL-menetelmää, joka on muistisääntö, joka tarkoittaa ”first, outside, inside, last” (ensimmäinen, ulkopuolinen, sisäpuolinen, viimeinen), algebrallisten lausekkeiden kertomiseen, tässä menetelmässä on joitakin ilmeisiä puutteita. Yksi suurimmista on se, kun yksi sulkeista sisältää kolme termiä kahden sijasta. FOIL-menetelmä toimii vain, jos molemmissa kertojissa on vain kaksi termiä, mutta mikään ei rajoita algebrallisia ongelmia kahteen termiin. Oppilaat, joilla ei ole muuta menetelmää kuin FOIL, jäävät todennäköisesti jumiin ongelmaan, kun heillä ei ole muuta menetelmää käytettävissään.

Aluemallit ovat olennainen apuväline kerrannaisuussuhteiden ymmärtämisen täyteenottamisessa. Ensimmäisestä käyttökerrasta kertolaskufaktojen rakentamiseen aina algebraan asti tämä malli, vaikkei se olekaan se, jonka kanssa useimmat meistä ovat itse kasvaneet matematiikkaa opetellessaan, on yksi parhaista menetelmistä, joilla luodaan oppilaille vakaa ja ymmärrettävä malli ymmärryksen luomiseksi. Vaikka matematiikka muuttuu monimutkaisemmaksi, se voidaan joka kerta saada tuntumaan jo tutulta käyttämällä tuttua ratkaisumallia.