Topologinen analoginen signaalinkäsittely

BY admin
|

Blochin omaisongelma

Bulkkikide on yksiulotteinen ja sillä on ristikkovakio a ja kaksi estettä per yksikkösolu. Mallinnamme sen ja määrittelemme sen topologian yksikkösolun siirtomatriisin Mcell avulla. Aloitamme määrittelemällä kaksi sirontamatriisia S1 ja S2, jotka ovat kummankin esteen kaukokentän sirontamatriiseja, kun ne ovat yksinään monomoodisessa aaltojohtimessa. Nämä matriisit suhteuttavat hajottajien bL ja bR vasemmalla (L) ja oikealla (R) puolella lähtevät kompleksiset signaalit saapuviin signaaleihin aL ja aR:

$$\left( {\begin{array}{*{20}{c}}} {b_{{\mathrm{L}},{{i}}}} \\\ {b_{{\mathrm{R}},{{i}}}} \end{array}} \right) = S_i\left( {\begin{array}{*{20}{c}}} {a_{{\mathrm{L}},{{i}}}} \\\ {a_{\mathrm{R}},{i}}}} \end{array}} \right).$$
(2)

Huomaa, että toistaiseksi emme tee oletusta, että nämä kaksi matriisia ovat yhtä suuret: sylintereillä voi esimerkiksi olla eri poikkileikkaukset, tai ne voivat olla siirrettyinä toisiinsa nähden jne. Nämä matriisit riippuvat yleensä myös kulmataajuudesta ω. Jos oletetaan, että energia säilyy sirontaprosessin aikana, niiden on oltava yhtenäisiä. Voimme siis parametrisoida ne hyvin yleisesti seuraavasti

$$S_1 = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}} {e^{i\varphi _1}{\mathrm{cos}}\theta _1} & {e^{i\alpha _1}{\mathrm{sin}}\theta _1} \\ { – e^{ – i\alpha _1}{\mathrm{sin}}\theta _1e^{i{\mathrm{\Phi }}_1}}} & {e^{ – i\varphi _1}{\mathrm{cos}}\theta _1e^{i{\mathrm{\Phi }}_1}}} \end{array}} \right),$$
(3)

$$S_2 = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}} {e^{i\varphi _2}{\mathrm{cos}}\theta _2} & {e^{i\alpha _2}{\mathrm{sin}}\theta _2} \\ { – e^{ – i\alpha _2}{\mathrm{sin}}\theta _2e^{i{\mathrm{\Phi }}_2}} & {e^{ – i\varphi _2}{\mathrm{cos}}\theta _2e^{i{\mathrm{\Phi }}_2}}} \end{array}} \right),$$
(4)

jossa taajuudesta riippuvat kulmat θ1,2, α1,2, ϕ1,2 ja Φ1,2 ovat yksikäsitteisiä, kun kiinnitämme referenssitason, tässä tapauksessa hajottajien keskiasentoon. Jos oletetaan vastavuoroisuus (S21 = S12), meidän on oltava 2α1,2 – Φ1,2 = π, mikä rajoittaa meidät kolmeen parametriin kutakin sirontamatriisia kohti, jolloin voimme kirjoittaa:

$$S_1 = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}} {e^{i\varphi _1}{\mathrm{cos}}\theta _1} & {e^{i\alpha _1}{\mathrm{sin}}\theta _1} \\\ {e^{i\alpha _1}{\mathrm{sin}}\theta _1} & { – e^{ – i\varphi _1}{\mathrm{cos}}\theta _1e^{2i\alpha _1}} \end{array}} \right),$$
(5)

$$S_2 = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}} {e^{i\varphi _2}{\mathrm{cos}}\theta _2} & {e^{i\alpha _2}{\mathrm{sin}}\theta _2} \\\ {e^{i\alpha _2}{\mathrm{sin}}\theta _2} & { – e^{ – i\varphi _2}{\mathrm{cos}}\theta _2e^{2i\alpha _2}} \end{array}} \right).$$
(6)

Tällöin voidaan johtaa niihin liittyvät siirtomatriisit M1 ja M2, jotka määritellään seuraavasti

$$$\left( {\begin{array}{*{20}{c}}} {{{b}}_{{\mathrm{R}},{{i}}}} \\\ {a_{{\mathrm{R}},{{i}}}} \end{array}} \right) = M_{{i}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}}} {a_{{\mathrm{L}},{{i}}}} \\\ {b_{{\mathrm{L}},{{i}}}} \end{array}} \right)$$
(7)

ja saadaan

$$$M_1 = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}} {\frac{{e^{i\alpha _1}}}{{{\mathrm{sin}} \theta _1}}} & { – \frac{{e^{ – i\varphi _1}e^{i\alpha _1}{\mathrm{cos}}\theta _1}}{{{{\mathrm{sin}}\theta _1}}}} \\ { – \frac{e^{i\varphi _1}e^{ – i\alpha _1}{\mathrm{cos}}\theta _1}}{{{{\mathrm{sin}}\theta _1}}}} & {\frac{{e^{ – i\alpha _1}}}{{{{\mathrm{sin}}\theta _1}}}} \end{array}} \right),$$
(8)

$$$M_2 = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}} {\frac{{e^{i\alpha _2}}}{{{{\mathrm{sin}}\theta _2}}} & { – \frac{{e^{ – i\varphi _2}e^{i\alpha _2}{\mathrm{cos}}\theta _2}}{{{{\mathrm{sin}}\theta _2}}}} \\ { – \frac{e^{i\varphi _1}e^{ – i\alpha _2}{\mathrm{cos}}\theta _2}}{{{{\mathrm{sin}}\theta _2}}}} & {\frac{{e^{ – i\alpha _2}}}{{{{\mathrm{sin}}\theta _2}}}} \end{array}} \right).$$
(9)

Jos kaksi sirontaajaa on erotettu toisistaan etäisyydellä d yksikkösolussa, jonka hilavakio on a, yksikkösolun Mcell kokonaissiirtomatriisi on tulo:

$${\it{M}}}_{{{\mathrm{cell}}} = {\it{M}}_{\frac{{{{a – d}}}}{2}}{\it{M}}_2{\it{M}}_{d}}}{\it{M}}_1{{\it{M}}}_{\frac{{{{a – d}}}}{2}}$$$
(10)

with

$$$M_{{L}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}} {e^{\\frac{i\omega L}}{c}}} & 0 \\ 0 & {e^{ – \frac{i\omega L}}{c}}} \end{array}} \right),$$
(11)

jossa \(L = d,\frac{{{a – d}}{2},\) ja c on vaihenopeus. Saadaan matriisituoton ottamisen jälkeen,

$${\it{M}}_{{\mathrm{cell}}}\left( \omega \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}} {M_{11}\left( \omega \right)} {M_{11}\left( \omega \right)} & {M_{21}^ \ast \left( \omega \right)} {M_{21}^ \ast \left( \omega \right)} \\\ {M_{21}\left( \omega \right)} {M_{21}\left( \omega \right)} & {M_{11}^ \ast \left( \omega \right)} \end{array}} \right)$$
(12)

with

$$${\it{M}}_{11}\left( \omega \right) = e^{\\frac{{i\omega a}}{c}}e^{i\left( {a_1 + a_2} \right)}{\mathrm{csc}}\theta _1{\mathrm{csc}}\theta _2 + e^{\frac{{i\omega \left( {a – – 2d} \right)}}{c}}e^{i\left( {\varphi _1 – \varphi _2} \right)}e^{ – i\left( {a_1 – a_2} \right)}{\mathrm{cot}}\theta _1{\mathrm{cot}}\theta _2,$$
(13)

$$$M_{21}\left( \omega \right) = – e^{\frac{{i\omega d}}{c}}e^{i\varphi _2}e^{i(a_1 – – a_2)}{\mathrm{csc}}\theta _1{\mathrm{cot}}\theta _2 – e^{ – \frac{{i\omega d}}{c}}e^{i\varphi _1}e^{ – i(a_1 + a_2)}{\mathrm{cot}}\theta _1{\mathrm{csc}}\theta _2.$$
(14)

Käytämme merkintää z* kuvaamaan z:n kompleksikonjugaattia. Kun huomioidaan |ψ〉 = T, jolloin a ja b ovat kompleksikentän eteen- ja taaksepäin suuntautuvat amplitudit yksikkösolun sisäänkäynnillä, saadaan Blochin teoreeman soveltamisesta seuraava ominaisarvo-ongelma,

$${\it{M}}_{{\mathrm{cell}}}\left( \omega \right)\left| \psi \right\rangle = e^{i\,k_{\{mathrm{B}}a}\left| \psi \right\rangle$$
(15)

jota kutsumme kiteen Blochin omaisongelmaksi. Huomaa Mcell(ω):n ei-triviaali riippuvuus ω:sta. Yllä olevan yhtälön suoraviivaisin käyttö on seuraava: kaikille ω:n arvoille voidaan diagonalisoida Mcell(ω) ja saada Blochin aaltoluvulle kaksi vastakkaista arvoa ±kB(ω) ensimmäisellä Brillouinin vyöhykkeellä ja ratkaista kaistarakenne. Huomattakoon, että Mcell ei ole unitaarinen ja ei-hermitiläinen, mikä tarkoittaa, että yleensä arvot ±kB(ω) ovat kompleksisia, mikä mahdollistaa periaatteessa äärettömän määrän kaistoja ja kaistalukuja. Huomaa lisäksi ero tavanomaiseen tiukasti sitovaan SSH-malliin, joka johtaa hermeettiseen ominaisarvo-ongelmaan, joka kartoittaa Brillouinin ympyrän SU(2)-matriisien avaruuteen, ja selvään topologiseen luokitteluun kiraalisille symmetrisille systeemeille käämiluvun avulla. Tässä, aikakäänteisen symmetrian54 mukaisesti, \(M_{\mathrm{cell}}}\left( \omega \right) \in {\mathrm{{SU}}}(1,1)\), ei-hermitiläisten matriisien ryhmä55. SU(1,1)-hamiltoneita esiintyy esimerkiksi SSH:n tiukasti sitovan mallin PT-symmetrisissä laajennuksissa56 , joissa hamiltonien ei-hermiittisyys johtuu energian säilymisen puuttumisesta. Tässä tapauksessa Mcell ei ole hamiltonilainen siinä mielessä, että sen ominaisarvot eivät liity ω:een vaan kB:hen, ja Mcellin pseudoantihermeisyys (\(\sigma _{\mathrm{z}}{\it{M}}_{{{\mathrm{cell}}}^{{\mathrm{\dagger }}}\sigma _{\mathrm{z}} = – {\it{M}}}_{\mathrm{cell}}}\)) liittyy aikakäänteissymmetriaan. Täydentävässä kuvassa 11 esitetään siirtomatriisilähestymistavalla saatu kaistarakenne ja verrataan sitä kaistarakenteeseen, joka saadaan suoraan jaksollisten reunaehtojen alaisen yksikkösolun kokoaaltosimuloinneista (FEM-menetelmä). Siirtomatriisin ominaisarvo-ongelman ratkaisemiseksi taajuudesta riippuvat parametrit θ1,2, α1,2 ja Φ1,2 poimittiin aaltojohtimessa olevan yksittäisen esteen FEM-sirontasimulaatioista. Kahden hajottajan välinen etäisyys on \(d = \frac{a}{2} – e_{\mathrm{p}}\), kun ep = 2,8 cm (”triviaali” tapaus) ja a = 23 cm. Sauvan halkaisija on 3,5 cm ja aaltojohdon leveys 7 cm. Näiden kahden lähestymistavan välinen yksimielisyys vahvistaa moninkertaisen sirontamallin tarkkuuden, erityisesti taustalla olevan oletuksen, jonka mukaan kiteessä olevien esteiden välillä ei ole lähikentän vuorovaikutuksia.

Yksikkösolun siirtomatriisin ominaisuudet

Ja jotta voimme määritellä systeemin topologian seuraavassa kappaleessa, meidän on ensin määriteltävä yksikkösolun siirtomatriisin muutama keskeinen ominaisuus. Aloitamme yleisillä ominaisuuksilla, ennen kuin siirrymme spesifisempiin ominaisuuksiin kaistalla tai kaistarakenteen degeneroituneissa pisteissä.

Aikakäänteisen symmetrian54 välittömänä seurauksena systeemin Mcell-siirtomatriisi kuuluu matriisien ryhmään SU(1,1), joka on muotoa

$$$M_M_{{{\mathrm{{{solu}}}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}} \alpha & {\beta ^ \ast } \alpha & {\beta ^ \ast } \\ \ \beta & {\alpha ^ \ast } \beta & {\alpha ^ \ast } \end{array}} \right)$$
(16)

joka parametrisoidaan Pauli-matriisien avulla seuraavasti

$$${\it{M}}_{{{\mathrm{cell}}}} = \alpha _{\mathrm{R}}\sigma _0 + \beta _{\mathrm{R}}\sigma _x + \beta _{\mathrm{I}}\sigma _y + i\alpha _{\mathrm{I}}\sigma _{\mathrm{z}}.$$
(17)

Itsen ominaisarvot, jotka saadaan \(\lambda _ \pm = \alpha _{\mathrm{R}} \pm i\sqrt {\alpha _{\mathrm{I}}^2 – \beta _{\mathrm{R}}^2 – \beta _{\mathrm{I}}^2}\) ovat reaalisia, kun \(\alpha _{\mathrm{I}}^2 < \left| \beta \right|^2\), ja kompleksisia muuten. Nämä ominaisarvot ovat degeneroituneita ehdolla \(\alpha _{\mathrm{I}}^2 – \beta _{\mathrm{R}}^2 – \beta _{\mathrm{I}}^2 = 0\), eli kun parametrit βR, βI ja αI kuuluvat kaksoiskartioon (βR, βI, αI) -avaruudessa. Tämä kartio on esitetty kuvan 6 alimmissa paneeleissa. Kartion kärjessä on βR = βI = αI = 0, mikä tarkoittaa, että Mcell redusoituu muotoon Mcell = αRσ0.

Kuva 6
kuvio6

Kaistojen topologia. Määrittelemme kaistojen topologian sen mukaan, kuinka monta kertaa ääriviivat \(\mathcal{C}\) ylittävät yhtälössä 20 määritellyn kartion akselin. a Triviaalisessa hilassa ääriviiva \(\mathcal{C}\) ei ylitä kartion akselia, mikä vastaa nollatopologista invarianssia. b Kun systeemi käy läpi faasimuutoksen, ääriviiva \(\mathcal{C}\) koskettaa kartion kärkeä. Topologista invarianssia ei voida määritellä tässä tapauksessa. c Sama kuin paneeleissa (a) ja (b), mutta topologisen ristikon osalta. Tällöin ääriviiva \(\mathcal{C}\) ylittää kartion akselin yhden kerran, mikä vastaa ei-triviaalia topologiaa

Kaistaleella matriisilla Mcell on erityinen muoto. Blochin ominaistehtävästä seuraa nimittäin, että \(\alpha _{\mathrm{R}}) \pm i\sqrt {\alpha _I^2 – \left| \beta \right|^2} = e^{i\,k_{\mathrm{B}}a}\), josta seuraa, että

$${\it{\alpha }}_{\mathrm{R}} = {\mathrm{cos}}\left( {k_{\mathrm{B}}a} \right)$$
(18)

ja

$$$\left| \alpha \right|^2 = 1 + \left| \beta \right|^2$$$
(19)

implisiittisesti \(\alpha _{\mathrm{I}}^2 + \alpha _{\mathrm{R}}^2 = 1 + \left| \beta \right|^2 \), joka vastaa \(\alpha _{\mathrm{I}}^2 = {\mathrm{sin}}^2(k_{\mathrm{B}}a) + \left| \beta \right|^2\), tai

$${\it{\alpha }}}_{\mathrm{I}} = \pm \sqrt {{\mathrm{sin}}^2({\it{k}}_{\mathrm{B}}}{\it{a}}) + \left| \beta \right|^2}.$$
(20)

Kaistalla on siis

$$$M_{{{\mathrm{cell}}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}} {{{\mathrm{cos}}(k_{\mathrm{B}}a) \pm i\sqrt {{\mathrm{sin}}^2(k_{\mathrm{B}}a) + \left| \beta \right|^2} } & {\beta \ast } {\beta \ast } \\ \ \beta & {{\mathrm{cos}}(k_{\mathrm{B}}a) \mp i\sqrt {{\mathrm{sin}}^2(k_{\mathrm{B}}a) + \left| \beta \right|^2} } \end{array}} \right).$$
(21)

Tuloksena kaista kuvaa yksikäsitteistä kuvausta Brillouinin ympyrästä suljettuun polkuun \(\mathcal{C}\) SU(1,1)-matriisien Mcell(kB) aliavaruudessa edellä esitetyllä tavalla. Blochin ominaisarvo-ongelmasta \(M_{\mathrm{cell}}}\left( \omega \right)\left| \psi \right\rangle = e^{i\,k_{\mathrm{B}}a}\left| \psi \right\rangle\), voidaan päätellä, että kaistalla Mcell(ω) on kompleksisia ominaisarvoja, mikä tarkoittaa, että \(\alpha _{\mathrm{I}}^2 > \left| \beta \right|^2\), i.eli polun \(\mathcal{C}\) on oltava kartion sisällä, joko ylemmällä alueella αI > |β| tai alemmalla alueella αI < -|β|. Lisäksi polku \(\mathcal{C}\) voi koskettaa kartiota vain silloin, kun Mcellin ominaisarvot, eli \(e^{i\,k_{\mathrm{B}}a}\), ovat degeneroituneita. Näin on välttämättä Brillouinin vyöhykkeen \(\left( {k_{\\mathrm{B}} = \pm \frac{\pi }{a}} \right)\) reunoilla ja sen keskellä kB = 0. Tässä välissä \(\mathcal{C}\) ei voi koskettaa kartiota, koska on löydettävä kaksi erillistä ominaisarvoa \(e^{ \pm i\,k_{\mathrm{B}}a}}\) aikakäänteisen symmetrian vuoksi. Lopuksi, polku \(\mathcal{C}\) ei ole silmukka, vaan yksinkertainen viiva, koska Mcell on yksinkertainen ω:n funktio ja siksi sama kahdelle vastakkaiselle kB:n arvolle kaistalla: Se alkaa kartiosta kohdassa \(k_{\mathrm{B}} = – \frac{\pi }{a}\) ja laskeutuu siihen jälleen kohdassa kB = 0, ennen kuin se seuraa käänteistä polkua välillä kB = 0 ja \(k_{\mathrm{B}} = \frac{\pi }{a}\). Kuvassa 6a on esimerkki \(\mathcal{C}\) ääriviivasta kiteen kolmannelle kaistalle (oletettavasti topologisesti ”triviaali” tapaus, jossa ep = 2,8 cm), ja kuvassa 6c on sama ääriviiva ep = -2,8 cm:n tapauksessa, joka vastaa kaksoissysteemiä, joka on oletettavasti topologinen (topologiset ominaisuudet todistetaan seuraavassa jaksossa). Kuva 6b edustaa tapausta ep = 0 cm, joka sulkee kaistanraot. Kuten odotettua, kaikissa tapauksissa ääriviivat alkavat ja päättyvät kartioon.

Tutkittaessa olosuhteita, joissa kaksi peräkkäistä taajuuskaistaa voi koskettaa toisiaan, on kätevää muotoilla Blochin ominaistehtävä uudelleen vastaavaan muotoon:

$$e^{ – i\{,k_{{\mathrm{B}}a}M_{{{{\mathrm{cell}}}\left( \omega \right)\left| {\psi \rangle } \right. = \left| {\psi \rangle } \right. = \left| {\psi \rangle } \right.$$
(22)

ja ajatellaan asiaa seuraavasti: jokaisen kB:n osalta ensimmäisellä Brillouinin vyöhykkeellä kaistojen löytäminen tarkoittaa niiden ω:n arvojen löytämistä, joilla matriisilla \(e^{ – i\,k_{{\mathrm{B}}a}M_{{{\mathrm{cell}}}\) on vähintään yksi ominaistunnusarvo, joka on yhtä suuri kuin yksi, jolloin sitä vastaava ominaistunnus on Blochin ominaistunnuksen omaisuusvektori kyseisellä kaistalla. Näin voi tapahtua äärettömän monelle ω:n arvolle. Jos \(e^{ – i\,k_{\mathrm{B}}a}M_{{\mathrm{cell}}}\) molemmat ominaisarvot tietyllä taajuudella ovat yhtä suuret kuin yksi, kaistarakenne on kaksinkertaisesti degeneroitunut, mikä on siis järjestelmän sallima suurin taajuusdegeneroituminen. Koska \(e^{ – i\,k_{\mathrm{B}}a}M_{{\mathrm{cell}}}\) ominaisarvojen yleinen muoto kaistalla on \(\upsilon _ \pm = e^{ – i\,k_{\mathrm{B}}a}}\left( {\alpha _{\mathrm{R}}}) \pm i\sqrt {\alpha _{\mathrm{I}}^2 – \left| \beta \right|^2} } \right) = e^{ – i\,k_{\mathrm{B}}a}e^{ \pm i\,k_{\mathrm{B}}a}}\), toinen ominaisarvo \(e^{ – 2i\,k_{\{mathrm{B}}}a}}\) voi tulla yhtä suureksi kuin yksikkö vain Brillouinin vyöhykkeen reunoilla \(\left( {k_{\{\mathrm{B}} = \pm \frac{\pi }{a}}} \right)\) tai kB = 0. Tämän seurauksena kaistaläpiviennit voivat sulkeutua vain Brillouinin vyöhykkeen keskipisteessä tai reunalla, eli kun ääriviiva \(\mathcal{C}\) koskettaa kartiota.

Edellyttäen ensimmäistä tapausta, eli degeneraatiota kohdassa \(k_{{\mathrm{B}} = \pm \frac{\pi }{a}\), saadaan \(e^{ – i\,k_{\mathrm{B}}a} = – 1\). Saadaan tietyllä rappeutumisfrekvenssillä,

$$$e^{ – i\,k_{\mathrm{B}}a}M_{{{\mathrm{cell}}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}} {1 \mp i\left| \beta \right|} & { – \beta \ast } \\\ { – \beta } & {1 \pm i\left| \beta \right|} \end{array}} \right)$$
(23)

ja tämä matriisi voi olla identtinen vain, jos \(\left| \beta \right| = 0\). Toinen rappeutumistapaus kB = 0:ssa johtaa samaan johtopäätökseen \((\left| \beta \right| = 0)\). Tämä tarkoittaa, että kun kaksi kaistaa koskettaa toisiaan, ääriviiva \(\mathcal{C}\) saavuttaa kartion kärjen, kuten kuva 6b vahvistaa.

Kaistojen topologia

Kuten aiemmissa kappaleissa nähtiin, kukin kaista määrittelee kartoituksen Brillouinin ympyrän ja SU(1,1)-matriisien aliavaruuden välillä. Määrittelemme nyt kullekin kaistalle topologisen invariantin, eli kokonaislukusuuruuden, joka on muuttumaton kaistarakenteen jatkuvilla muunnoksilla. Tämä tarkoittaa, että tämä luku voi muuttua vain silloin, kun kaista kokee epäjatkuvan transformaation, eli koskettaa toista kaistaa, tai vastaavasti silloin, kun ääriviiva \(\mathcal{C}\) koskettaa kartion kärkeä.

Niin kuin tavallisessa tiukasti sitovassa SSH-mallissa, tarvitsemme ylimääräistä symmetriaa, joka on samankaltainen kuin kiraalinen symmetria, voidaksemme määritellä topologiset invariantit kullekin kaistalle. Tässä meidän on vaadittava, että sirontamatriisit S1 ja S2 ovat yhtä suuret, jolloin θ1 = θ2 =θ, α1,2 = α1,2 = α ja φ1 = φ2 = φ. Tällä lisäedellytyksellä saadaan suure \(\beta = M_{21}\left( {\omega (k_{{{\mathrm{B}})})} \right)\) yhtälössä. 14, joka parametrisoi matriisin Mcell kaistalla, tulee

$$$\beta \left( {k_{\mathrm{B}}} \right) = – 2e^{i\left( {\varphi – \alpha } \right)}\cos \left( {\alpha + \frac{{{\omega \left( {k_{\mathrm{B}}} \right)d}}{c}}} \right)\cot \theta \csc \theta,$$
(24)

jossa yksittäisen esteen S-matriisia parametrisoivat suureet α, θ ja φ riippuvat yleensä ω(kB):sta. Tämän jälkeen oletetaan, että kyseessä ovat ei-resonanttiset hajottajat, mikä tarkoittaa, että cos θ ei katoa kaistalla ja että α:n ja θ:n vaihtelu kaistalla on häviävän pieni. Koska Mcellillä on aina kaksi kompleksikonjugoitua unimodulaarista ominaisarvoa, ω(kB) on välttämättä monotoninen välillä -π/a ja 0. Keskitetään huomiomme suureeseen \(\cos \left( {\alpha + \frac{{\omega \left( {k_{\mathrm{B}}} \right)d}}{c}}} \right)\), mikä voi mahdollisesti saada kompleksiluvun β(kB) katoamaan jossakin tietyssä Brillouinin vyöhykkeen pisteessä. Kun kB siirtyy arvosta -π/a arvoon 0, kulma \(\gamma = \alpha + \frac{{\omega \left( {k_{\mathrm{B}}} \right)d}}}{c}\) liikkuu monotonisesti kahden reaalisen arvon, vaikkapa γmin ja γmax, välillä, mikä määrittelee jatkuvan monotonisen kuvauksen välillä \(\left\) – . Nyt voi syntyä kaksi tilannetta:

  1. (1)

    Segmentti ei sisällä π/2 (modulo π), jolloin \(\cos \left( {\alpha + \frac{{\omega \left( {k_{\mathrm{B}}}} \right)d}}}{c}} \right)\) ei koskaan katoa, kun kB menee arvosta -π/a arvoon 0. Tämä tarkoittaa, että β ei koskaan katoa kaistalla.

  2. (2)

    Segmentti sisältää π/2 (modulo π), jolloin β katoaa vähintään kerran kaistalla.

Koska β = 0 tarkoittaa, että ääriviiva \(\mathcal{C}\) ylittää kartion akselin, voimme siis määritellä topologisen invariantin η seuraavasti: Tämä kokonaisluku muuttuu joka kerta, kun γmax tai γmin on yhtä suuri kuin π/2 (modulo π), eli kun β on nolla joko Brillouinin vyöhykkeen reunalla tai keskellä, eli kun bändiaukko sulkeutuu. Kuvassa 6 esitetään, miten \(\mathcal{C}\) kehittyy järjestelmämme kolmannen kaistan osalta, kun siirrytään triviaalista järjestelmästä (paneeli a, \(\(\mathcal{C}\) ei ylitä kartioakselia, η = 0) topologiseen järjestelmään (paneeli c, \(\(\mathcal{C}\) ylittää kartioakselin, η = 1). Topologisessa faasimuutoksessa ääriviiva \(\mathcal{C}\) koskettaa kartion kärkeä, mikä sulkee bändiaukon, eikä lukua η ole määritelty.

Symmetriasuojaus

Topologisen invariantin η määrittely lukumääränä, jolla ääriviiva \(\mathcal{C}\) ylittää kartion akselin välillä -π/a – 0, perustuu kahteen taustalla olevaan symmetriaan, ja molempien on täytyttävä:

  1. (1) Aikakäänteissymmetria, joka takaa, että Mcell kuuluu SU(1,1)55:een.

  1. (2) S1:n ja S2:n yhtäsuuruus (molempien esteiden kaukokentän yksittäisten sirontamatriisien on oltava identtiset), tai vastaavasti:

$$$M_{{\mathrm{cell}}}^2 = 1.$$$
(25)

On selvää, että horisontaalinen sijainnin epäjärjestys ei muuta kohteen yksittäisiä sirontaparametreja. Myöskään pystysuora sijaintihäiriö ei muuta sitä, kuten on osoitettu täydentävässä kuvassa 12 (ainoa ero sirontaspektrissä ovat hyvin terävät Fano-interferenssit, jotka syntyvät kytkeytymisestä akustiseen sidottuun tilaan kontinuumissa, mutta ne ovat kaukana kiinnostavalta taajuusalueelta). Tämän seurauksena sijaintihäiriö ei riko \(M_{{\mathrm{cell}}}^2 = 1\). Yhden sauvan halkaisijan muuttaminen muuttaa kuitenkin ehdottomasti sen sirontamatriisia. Eri säteen omaavien sauvojen tapauksessa tapahtuu se, että suureen

$$$\\beta \left( {k_{\mathrm{B}}} \right) = – e^{\\frac{{i\omega \left( {k_{\mathrm{B}}} \right)d}}}{c}}e^{i\varphi _2}e^{i(a_1 – a_2)}\csc \theta _1\cot \theta _2 – e^{ – \frac{{i\omega \left( {k_{\mathrm{B}}} \right)d}}{c}}e^{i\varphi _1}e^{ – – i(a_1 + a_2)}\cot \theta _1\csc \theta _2$$
(26)

ei koskaan ole samanaikaisesti nolla, mikä tarkoittaa, että ääriviiva \(\mathcal{C}\) voi välttää kartion akselin ylittämisen yksinkertaisesti kiertämällä sen. Tämä on analoginen SSH-ketjun kanssa ilman kiraalisymmetriaa, jossa jotkin oikein valitut kiraalisuutta rikkovat viat rajapinnassa voivat muuttaa kierroslukua sulkematta kaistaväliä. Nämä tulokset selittävät päätekstin kuvassa 3 esitettyjen kokoaaltosimulaatioiden lopputuloksen.

Numeeriset menetelmät

Kokoaaltosimulaatiot on kaikki suoritettu Comsol Multiphysics -ohjelmalla (Acoustic- ja RF-moduulit). Dispersiokäyrät saadaan tarkastelemalla ristikkorakenteiden yhtä yksikkösolua, soveltamalla Floquet-reunaehtoa yksikkösolun sivusivuille ja suorittamalla ominaistaajuussimulaatiot kaikille Floquet-Blochin aaltoluvuille.

ODE-ratkaisijoiden taajuusspektrien saamiseksi herätämme systeemiä osuvalla tasoaallolla, jolla on yksikkömääräinen amplitudi, ja mittaamme paineen voimakkuuden aalto-ohjaimen läpäisypuolella.

Kokeellisten mittaustemme ristiinvalidoimiseksi suoritimme numeerisia äärellisten elementtien simulaatioita, joihin sisältyi viskoterminen häviö 1,15 dB/m, jotta saavutetaan siirtofunktio X(ω) esimerkiksi injektoitujen ja lähetettyjen ääniaaltojen välillä. Tämän jälkeen saimme kaiuttimen siirtofunktion Y(ω) jännittämällä tyhjää aaltojohdinta ja mittaamalla siihen liittyvän äänenpainetason lähetyspuolella. Siirtofunktio Z(ω) kaiuttimeen syötetyn jännitteen ja lähetetyn paineen välillä saatiin sitten helposti muotoon \(Z\left( \omega \right) = X(\omega )/Y(\omega )\).

FDTD-simulaatioissamme herätämme aaltojohtimen toisesta päästä halutulla moduloidulla tulosignaalilla ja tallennamme aaltojohtimen toisella puolella olevassa pisteessä vastaanotetun painekentän ajallisen kehityksen (aika-askeleella, johon sovelletaan Courant-Friedrichs-Lewy-ehtoa (CFL) vakauden varmistamiseksi).

Kokeelliset menetelmät

Kuten päätekstissä mainitaan, akustisen aaltojohdon toteuttamiseen käytetään akryylista neliönmuotoista neliön muotoista putkea. Nylon 6 -jatkuvavalusylinterit työnnettiin sitten manuaalisesti aaltojohtimeen SSH-tyyppisen joukon muodostamiseksi. Täydentävässä kuvassa 13a esitetään koejärjestely, jota käytettiin järjestelmän siirtofunktion aikaansaamiseksi. Kokoonpano sisältää kaiuttimen, Data Physics Quattro -signaalianalysaattorin, joka on kytketty sitä ohjaavaan tietokoneeseen (ei kuvassa), yhden ICP-mikrofonin, joka mittaa siirrettyä äänenpainetasoa, ja kotitekoisen kaiuttoman päätteen (ei kuvassa). Näytteen siirtofunktion saamiseksi ohjaamme kaiutinta murtohäiriöjännitteellä (joka on asetettu asetelmassa referenssisignaaliksi) ja mittaamme painetason referenssikanavaan nähden ICP-mikrofonilla. Täydentävässä kuvassa 13b esitetään koejärjestely, jolla luodaan tulosignaali (jännite), jolla on mielivaltainen aikaprofiili \(\tilde g(t)\), ja mitataan lähtösignaalin \(\tilde f(t)\) ajallinen kehitys. Kokoonpano koostuu Speedgoat Performance Real-Time Target Machine -laitteesta, jossa on IO131-liitäntä ja jota ohjataan MATLAB/Simulinkin xPC-kohdeympäristöllä, kaiuttimesta, tehovahvistimesta, kotitekoisesta akustisesta päätelaitteesta (ei kuvassa) ja ICP-mikrofonista, joka mittaa lähetettyä painetta.