Apollonius de Perga

Une ellipse (ombrée en vert) était l’une des sections coniques étudiées et nommées par Apollonius.

Apollonius de Perga (Pergaeus) (vers 262 avant notre ère – vers 190 avant notre ère) était un géomètre et astronome grec de l’école d’Alexandrie, remarqué pour ses écrits sur les sections coniques. Sa méthodologie et sa terminologie novatrices, en particulier dans le domaine des coniques, ont influencé de nombreux savants ultérieurs, notamment Ptolémée, Francesco Maurolico, Isaac Newton et René Descartes.

Une parabole (ombrée en vert) est une autre section conique décrite par Apollonius.

Une hyperbole (ombrée en vert) est une troisième section conique étudiée par Apollonius.

C’est Apollonius qui a donné à l’ellipse, à la parabole et à l’hyperbole les noms sous lesquels elles sont maintenant connues. On lui attribue également l’hypothèse des orbites excentriques, ou déférentes et des épicycles, pour expliquer le mouvement apparent des planètes et la vitesse variable de la Lune. Le théorème d’Apollonios démontre que deux modèles peuvent être équivalents, à condition de disposer des bons paramètres. Ptolémée décrit ce théorème dans l’Almageste 12.1. Apollonius a également fait des recherches sur la théorie lunaire, qu’il a appelée Epsilon (ε). Le cratère Apollonius sur la Lune a été nommé en son honneur.

Vie et œuvre majeure

Apollonius est né vers 262 avant notre ère, environ 25 ans après Archimède. Il s’épanouit sous les règnes de Ptolémée Euergète et de Ptolémée Philopator (247-205 avant notre ère). Son traité sur les coniques lui valut son nom, « le grand géomètre », un exploit qui assura sa renommée.

De tous ses traités, seul Coniques survit. Pour les autres, les historiens disposent de titres et de quelques indications sur leur contenu grâce à des auteurs ultérieurs, notamment Pappus. Après la première édition des Coniques en huit livres, Apollonios publia une deuxième édition à la suggestion d’Eudème de Pergame. Alors qu’il révisait chacun des trois premiers livres, Apollonios envoya une copie à Eudème ; les changements les plus considérables vinrent dans les deux premiers livres. Eudemus mourut avant l’achèvement du reste de la révision, alors Apollonios dédia les cinq derniers livres au roi Attalus I (241-197 avant J.-C.). Seulement quatre livres ont survécu en grec ; trois autres existent en arabe ; le huitième n’a jamais été découvert.

Bien qu’un fragment ait été trouvé d’une traduction latine du treizième siècle de l’arabe, ce n’est qu’en 1661, que Giovanni Alfonso Borelli et Abraham Ecchellensis ont fait une traduction des livres 5-7 en latin. Bien qu’ils aient utilisé la version arabe d’Abu ‘l-Fath d’Ispahan de 983, conservée dans un manuscrit florentin, la plupart des érudits s’accordent aujourd’hui à dire que les meilleurs rendus arabes sont ceux de Hilal ibn Abi Hilal pour les livres 1-4 et de Thabit ibn Qurra pour les livres 5-7.

Apollonius s’intéressait aux mathématiques pures. Lorsqu’il fut interrogé sur l’utilité de certains de ses théorèmes dans le livre 4 des Coniques, il affirma fièrement qu' »ils sont dignes d’être acceptés pour le bien des démonstrations elles-mêmes, de la même manière que nous acceptons beaucoup d’autres choses en mathématiques pour cela et pour aucune autre raison. » Et puisque plusieurs de ses résultats n’étaient pas applicables à la science ou à l’ingénierie de son époque, Apollonios a de plus soutenu dans la préface du cinquième livre de Coniques que « le sujet est un de ceux qui semblent dignes d’être étudiés pour leur propre intérêt. »

Coniques

Apollonius déclare que dans les livres 1-4, il travaille la génération des courbes et leurs propriétés fondamentales présentées dans le livre 1 plus complètement que ne le faisaient les traités précédents, et qu’un certain nombre de théorèmes dans le livre 3 et la plus grande partie du livre 4 sont nouveaux. Les allusions aux travaux des prédécesseurs, tels que les quatre livres d’Euclide sur les coniques, montrent une dette non seulement envers Euclide mais aussi envers Conon et Nicotèle.

La généralité du traitement d’Apollonios est remarquable. Il définit et nomme les sections coniques, la parabole, l’ellipse et l’hyperbole. Il considère chacune de ces courbes comme une propriété conique fondamentale qui est l’équivalent d’une équation (appelée plus tard équation cartésienne) appliquée à des axes obliques – par exemple, des axes constitués d’un diamètre et de la tangente à son extrémité – qui sont obtenus en coupant un cône circulaire oblique. (Un cône circulaire oblique est un cône dont l’axe ne forme pas un angle de 90 degrés avec la directrice. En revanche, un cône circulaire droit est un cône dont l’axe forme un angle de 90 degrés avec la directrice). La façon dont le cône est coupé, affirme-t-il, n’a pas d’importance. Il montre que les axes obliques ne sont qu’un cas particulier, après avoir démontré que la propriété conique de base peut être exprimée sous la même forme en référence à tout nouveau diamètre et à la tangente à son extrémité. Ainsi, les livres 5-7 sont clairement originaux.

Le génie d’Apollonius atteint ses plus grands sommets dans le livre 5. Il y traite les normales mathématiques (une normale est une droite tracée perpendiculairement à une surface ou à une autre droite) comme des droites minimales et maximales tracées à partir de points donnés de la courbe (indépendamment des propriétés de la tangente) ; il discute du nombre de normales qui peuvent être tracées à partir de points particuliers ; il trouve leurs pieds par construction ; et il donne des propositions qui déterminent le centre de courbure en tout point et qui conduisent également à l’équation cartésienne de l’évoluée de toute section conique.

Dans les coniques, Apollonius a développé davantage une méthode qui est si semblable à la géométrie analytique que son travail est parfois considéré comme anticipant le travail de Descartes de quelque 1800 ans. Son application de lignes de référence (telles qu’un diamètre et une tangente) est essentiellement la même que notre utilisation moderne d’un cadre de coordonnées. Cependant, contrairement à la géométrie analytique moderne, il ne tenait pas compte des magnitudes négatives. De plus, il superposait le système de coordonnées sur chaque courbe après l’avoir obtenue. Ainsi, il a dérivé des équations à partir des courbes, mais il n’a pas dérivé des courbes à partir des équations.

Autres travaux

Pappus mentionne d’autres traités d’Apollonios. Chacun d’eux était divisé en deux livres, et – avec les Données, les Porismes et les Loci de surface d’Euclide, et les Coniques d’Apollonius – étaient, selon Pappus, inclus dans le corps de l’analyse antique.

De Rationis Sectione

De Rationis Sectione (Découpage d’un rapport) cherchait à résoudre un certain problème : Étant donné deux lignes droites et un point dans chacune d’elles, tracer par un troisième point donné une ligne droite coupant les deux lignes fixes de telle sorte que les parties interceptées entre les points donnés dans celles-ci et les points d’intersection avec cette troisième ligne puissent avoir un rapport donné.

De Spatii Sectione

De Spatii Sectione (Découpage d’une aire) a abordé un problème similaire nécessitant que le rectangle contenu par les deux intercepts soit égal à un rectangle donné.

De Sectione Determinata

De Sectione Determinata (Section déterminée) traite des problèmes d’une manière que l’on peut appeler une géométrie analytique d’une dimension ; avec la question de trouver des points sur une ligne qui étaient dans un rapport avec les autres. Les problèmes spécifiques sont les suivants : Étant donné deux, trois ou quatre points sur une ligne droite, trouver un autre point sur celle-ci tel que ses distances aux points donnés satisfassent la condition que le carré sur l’un ou le rectangle contenu par deux ait un rapport donné soit, (1) au carré sur l’autre ou au rectangle contenu par les deux autres, soit, (2) au rectangle contenu par l’autre et une autre ligne droite donnée.

De Tactionibus

De Tactionibus (Tangences) embrassait le problème général suivant : étant donné trois choses (points, droites ou cercles) en position, décrire un cercle passant par les points donnés et touchant les droites ou les cercles donnés. Le cas le plus difficile et historiquement intéressant se présente lorsque les trois éléments donnés sont des cercles. Au XVIe siècle, Vieta a présenté ce problème (parfois connu sous le nom de problème apollinien) à Adrianus Romanus, qui l’a résolu avec une hyperbole. Vieta proposa alors une solution plus simple, ce qui le conduisit finalement à restituer l’intégralité du traité d’Apollonius dans le petit ouvrage Apollonius Gallus.

De Inclinationibus

L’objet du De Inclinationibus (Inclinations) était de démontrer comment une ligne droite d’une longueur donnée, tendant vers un point donné, pouvait s’insérer entre deux lignes (droites ou circulaires) données.

De Locis Planis

De Locis Planis (Loci planes) est un recueil de propositions relatives aux loci qui sont soit des lignes droites, soit des cercles.

Légitimité

Surnommé « le grand géomètre », les travaux d’Apollonius ont grandement influencé le développement des mathématiques. Son célèbre ouvrage, Coniques, a introduit les termes parabole, ellipse et hyperbole. Il a conçu l’hypothèse des orbites excentriques pour expliquer le mouvement apparent des planètes et la vitesse variable de la Lune. Une autre contribution au domaine des mathématiques est le théorème d’Apollonius, qui démontre que deux modèles peuvent être équivalents compte tenu des bons paramètres.

Notes

• Boyer, Carl B. Une histoire des mathématiques. John Wiley & Sons, 1991. ISBN 978-0471543977
• Fried, Michael N. et Sabetai Unguru. Le Conica d’Apollonius de Perga : Texte, contexte, sous-texte. Brill, 2001. ISBN 978-9004119779
• Heath, T.L. Traité des sections coniques. W. Heffer & Sons, 1961.

Tous les liens récupérés le 8 avril 2016.

• Apollonius de Perga. www-groups.dcs.st-and.ac.uk. Résumé d’Apollonius.
• Problème de tangence d’Apollonius, cercles. agutie.homestead.com.
• Scans PDF de l’édition de Heiberg des sections coniques d’Apollonius de Perga (domaine public). www.wilbourhall.org.