Ben Green (mathématicien)

La majorité des recherches de Green se situe dans les domaines de la théorie analytique des nombres et de la combinatoire additive, mais il a également des résultats en analyse harmonique et en théorie des groupes. Son théorème le plus connu, prouvé conjointement avec son collaborateur fréquent Terence Tao, affirme qu’il existe des progressions arithmétiques arbitrairement longues dans les nombres premiers : il est maintenant connu sous le nom de théorème de Green-Tao.

Parmi les premiers résultats de Green en combinatoire additive, on trouve une amélioration d’un résultat de Jean Bourgain de la taille des progressions arithmétiques dans les ensembles de sommes, ainsi qu’une preuve de la conjecture de Cameron-Erdős sur les ensembles sans somme de nombres naturels. Il a également prouvé un lemme de régularité arithmétique pour les fonctions définies sur les N premiers nombres naturels {\displaystyle N}, quelque peu analogue au lemme de régularité de Szemerédi pour les graphes.

De 2004 à 2010, dans un travail conjoint avec Terence Tao et Tamar Ziegler, il a développé l’analyse de Fourier dite d’ordre supérieur. Cette théorie met en relation les normes de Gowers avec des objets connus sous le nom de séquences nulles. La théorie tire son nom de ces nilsequences, qui jouent un rôle analogue à celui que jouent les caractères dans l’analyse de Fourier classique. Green et Tao ont utilisé l’analyse de Fourier d’ordre supérieur pour présenter une nouvelle méthode permettant de compter le nombre de solutions à des équations simultanées dans certains ensembles d’entiers, y compris dans les nombres premiers. Cette méthode généralise l’approche classique utilisant la méthode du cercle de Hardy-Littlewood. De nombreux aspects de cette théorie, notamment les aspects quantitatifs du théorème inverse pour les normes de Gowers, font encore l’objet de recherches en cours.

Green a également collaboré avec Emmanuel Breuillard sur des sujets de théorie des groupes. En particulier, conjointement avec Terence Tao, ils ont prouvé un théorème de structure pour les groupes approximatifs, généralisant le théorème de Freiman-Ruzsa sur les ensembles d’entiers avec petit doublage. Green a également travaillé, conjointement avec Kevin Ford et Sean Eberhard, sur la théorie du groupe symétrique, en particulier sur la proportion de ses éléments qui fixent un ensemble de taille k {\displaystyle k} .

Green et Tao ont également un article sur la géométrie combinatoire algébrique, résolvant la conjecture de Dirac-Motzkin (voir théorème de Sylvester-Gallai). En particulier, ils prouvent que, étant donné toute collection de n {\displaystyle n} points dans le plan qui ne sont pas tous colinéaires, si n {\displaystyle n} est assez grand alors il doit exister au moins n / 2 {\displaystyle n/2} lignes dans le plan contenant exactement deux des points.

Kevin Ford, Ben Green, Sergei Konyagin, James Maynard et Terence Tao, initialement dans deux groupes de recherche séparés puis en combinaison, ont amélioré la borne inférieure pour la taille du plus long écart entre deux nombres premiers consécutifs de taille au plus X {\displaystyle X} . La forme de la limite précédemment la plus connue, essentiellement due à Rankin, n’avait pas été améliorée depuis 76 ans.

Plus récemment, Green s’est penché sur des questions de théorie arithmétique de Ramsey. Avec Tom Sanders, il a prouvé que, si un champ fini d’ordre premier suffisamment grand est coloré avec un nombre fixe de couleurs, alors le champ a des éléments x , y {\displaystyle x,y} tels que x , y , x + y , x y {\displaystyle x,y,x{+}y,xy} ont tous la même couleur.

Green a également participé aux nouveaux développements de Croot-Lev-Pach-Ellenberg-Gijswijt sur l’application d’une méthode polynomiale pour limiter la taille des sous-ensembles d’un espace vectoriel fini sans solutions aux équations linéaires. Il a adapté ces méthodes pour prouver, dans les champs de fonctions, une version forte du théorème de Sárközy.