Brahmagupta

AlgebraEdit

Brahmagupta a donné la solution de l’équation linéaire générale dans le chapitre dix-huit de Brahmasphutasiddhānta,

La différence entre les rupas, une fois inversée et divisée par la différence de la des inconnues, est l’inconnue de l’équation. Les rupas sont inférieures à celle dont le carré et l’inconnue doivent être soustraits.

qui est une solution pour l’équation bx + c = dx + e où rupas se réfère aux constantes c et e. La solution donnée est équivalente à x = e – c/b – d. Il a en outre donné deux solutions équivalentes à l’équation quadratique générale

18,44. Diminuez par le milieu la racine carrée des rupas multipliée par quatre fois le carré et augmentée du carré du milieu ; divisez le reste par deux fois le carré. le milieu .
18.45. Quelle que soit la racine carrée des rupas multipliée par le carré augmenté du carré de la moitié de l’inconnue, diminuez cela de la moitié de l’inconnue divisez par son carré. l’inconnue.

qui sont, respectivement, des solutions de l’équation ax2 + bx = c équivalentes à,

x = ± 4 a c + b 2 – b 2 a {\displaystyle x={\frac {\pm {\sqrt {4ac+b^{2}}}-b}{2a}}}.

et

x = ± a c + b 2 4 – b 2 a {\displaystyle x={\frac {\pm {\sqrt {ac+{\tfrac {b^{2}}{4}}}}-{\tfrac {b}{2}}}{a}}}

Il poursuit en résolvant des systèmes d’équations indéterminées simultanées en indiquant qu’il faut d’abord isoler la variable désirée, puis diviser l’équation par le coefficient de la variable désirée. Il recommandait notamment d’utiliser « le pulvérisateur » pour résoudre les équations à plusieurs inconnues.

18.51. Soustraire les couleurs différentes de la première couleur. divisé par le premier est la mesure de la première. deux par deux considéré diviseurs similaires, à plusieurs reprises. S’il y a beaucoup de , le pulvérisateur .

Comme l’algèbre de Diophante, l’algèbre de Brahmagupta était syncopée. L’addition était indiquée en plaçant les nombres côte à côte, la soustraction en plaçant un point sur la soustraction, et la division en plaçant le diviseur sous le dividende, semblable à notre notation mais sans la barre. La multiplication, l’évolution et les quantités inconnues étaient représentées par des abréviations des termes appropriés. L’étendue de l’influence grecque sur cette syncope, le cas échéant, n’est pas connue et il est possible que les syncopes grecques et indiennes soient dérivées d’une source babylonienne commune.

ArithmétiqueEdit

Les quatre opérations fondamentales (addition, soustraction, multiplication et division) étaient connues de nombreuses cultures avant Brahmagupta. Ce système actuel est basé sur le système numérique arabe hindou et est apparu pour la première fois dans le Brahmasphutasiddhanta. Brahmagupta décrit la multiplication comme suit : « Le multiplicande est répété comme une ficelle pour le bétail, aussi souvent qu’il y a des parties intégrantes dans le multiplicateur et il est multiplié à plusieurs reprises par celles-ci et les produits sont additionnés. C’est la multiplication. Ou bien le multiplicande est répété autant de fois qu’il y a de parties intégrantes dans le multiplicateur ». L’arithmétique indienne était connue en Europe médiévale sous le nom de « Modus Indorum », qui signifie « méthode des Indiens ». Dans le Brahmasphutasiddhanta, la multiplication était appelée Gomutrika. Au début du chapitre douze de son Brahmasphutasiddhānta, intitulé Calcul, Brahmagupta détaille les opérations sur les fractions. Le lecteur est censé connaître les opérations arithmétiques de base jusqu’à la prise de la racine carrée, bien qu’il explique comment trouver le cube et la racine cubique d’un entier et donne ensuite des règles facilitant le calcul des carrés et des racines carrées. Il donne ensuite des règles pour traiter cinq types de combinaisons de fractions : a/c + b/c ; a/c × b/d ; a/1 + b/d ; a/c + b/d × a/c = a(d + b)/cd ; et a/c – b/d × a/c = a(d – b)/cd.

SeriesEdit

Brahmagupta donne ensuite la somme des carrés et des cubes des n premiers entiers.

12,20. La somme des carrés est celle multipliée par le double de l’échelon augmenté de un divisé par trois. La somme des cubes est le carré de que Piles de ceux-ci avec des boules identiques .

Ici Brahmagupta a trouvé le résultat en termes de la somme des n premiers entiers, plutôt qu’en termes de n comme c’est la pratique moderne.

Il donne la somme des carrés des n premiers nombres naturels comme n(n + 1)(2n + 1)/6 et la somme des cubes des n premiers nombres naturels comme (n(n + 1)/2)2
.

ZéroEdit

Le Brahmasphuṭasiddhānta de Brahmagupta est le premier livre qui fournit des règles pour les manipulations arithmétiques qui s’appliquent à zéro et aux nombres négatifs. Le Brahmasphuasiddhānta est le premier texte connu à traiter le zéro comme un nombre à part entière, plutôt que comme un simple chiffre de remplacement dans la représentation d’un autre nombre comme le faisaient les Babyloniens ou comme le symbole d’un manque de quantité comme le faisaient Ptolémée et les Romains. Dans le chapitre dix-huit de son Brahmasphutasiddhānta, Brahmagupta décrit les opérations sur les nombres négatifs. Il décrit d’abord l’addition et la soustraction,

18,30. de deux positifs est positif, de deux négatifs négatif ; d’un positif et d’un négatif est leur différence ; s’ils sont égaux c’est zéro. La somme d’un négatif et d’un zéro est négative, d’un positif et d’un zéro positif, de deux zéros zéro.

18.32. Un négatif moins zéro est négatif, un positif positif ; zéro est zéro. Quand un positif doit être soustrait d’un négatif ou un négatif d’un positif, alors il faut l’ajouter.

Il poursuit en décrivant la multiplication,

18.33. Le produit d’un négatif et d’un positif est négatif, de deux négatifs positif, et de positifs positif ; le produit de zéro et d’un négatif, de zéro et d’un positif, ou de deux zéros est zéro.

Mais sa description de la division par zéro diffère de notre compréhension moderne:

18.34. Un positif divisé par un positif ou un négatif divisé par un négatif est positif ; un zéro divisé par un zéro est zéro ; un positif divisé par un négatif est négatif ; un négatif divisé par un positif est négatif.
18.35. Un négatif ou un positif divisé par zéro a cela pour diviseur, ou zéro divisé par un négatif ou un positif . Le carré d’un négatif ou d’un positif est positif ; de zéro est zéro. Ce dont est le carré est racine carrée.

Ici Brahmagupta affirme que 0/0 = 0 et quant à la question de a/0 où a ≠ 0 il ne s’est pas engagé. Ses règles d’arithmétique sur les nombres négatifs et le zéro sont assez proches de la compréhension moderne, sauf que dans les mathématiques modernes la division par zéro est laissée indéfinie.

Analyse diophantienneEdit

Triplés pythagoriciensEdit

Dans le chapitre douze de son Brahmasphutasiddhanta, Brahmagupta fournit une formule utile pour générer des triplés pythagoriciens:

12.39. La hauteur d’une montagne multipliée par un multiplicateur donné est la distance à une ville ; elle ne s’efface pas. Lorsqu’elle est divisée par le multiplicateur augmenté de deux, c’est le saut d’un des deux qui fait le même trajet.

Ou, en d’autres termes, si d = mx/x + 2, alors un voyageur qui « saute » verticalement vers le haut d’une distance d depuis le sommet d’une montagne de hauteur m, puis voyage en ligne droite jusqu’à une ville située à une distance horizontale mx de la base de la montagne, parcourt la même distance que celui qui descend verticalement de la montagne et voyage ensuite le long de l’horizontale jusqu’à la ville. D’un point de vue géométrique, cela signifie que si un triangle rectangle a une base de longueur a = mx et une hauteur de longueur b = m + d, alors la longueur, c, de son hypoténuse est donnée par c = m(1 + x) – d. Et, en effet, une manipulation algébrique élémentaire montre que a2 + b2 = c2 lorsque d a la valeur indiquée. De plus, si m et x sont rationnels, d, a, b et c le sont aussi. On peut donc obtenir un triple pythagoricien à partir de a, b et c en multipliant chacun d’eux par le plus petit commun multiple de leurs dénominateurs.

Equation de PellEdit

Brahmagupta a ensuite donné une relation de récurrence pour générer des solutions à certaines instances d’équations diophantiennes du second degré telles que Nx2 + 1 = y2 (appelée équation de Pell) en utilisant l’algorithme d’Euclide. L’algorithme euclidien était connu de lui comme le « pulvérisateur » car il décompose les nombres en morceaux toujours plus petits.

La nature des carrés:
18,64. deux fois la racine carrée d’un carré donné par un multiplicateur et augmenté ou diminué par un arbitraire . Le produit du premier , multiplié par le multiplicateur, avec le produit du dernier , est le dernier calculé.
18.65. La somme des produits des foudres est le premier. L’additif est égal au produit des additifs. Les deux racines carrées, divisées par l’additif ou le soustractif, sont les rupas additifs.

La clé de sa solution était l’identité,

( x 1 2 – N y 1 2 ) ( x 2 2 – N y 2 2 ) = ( x 1 x 2 + N y 1 y 2 ) 2 – N ( x 1 y 2 + x 2 y 1 ) 2 {\displaystyle (x_{1}^{2}-Ny_{1}^{2})(x_{2}^{2}-Ny_{2}^{2})=(x_{1}x_{2}+Ny_{1}y_{2})^{2}-N(x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1})^{2}}

qui est une généralisation d’une identité découverte par Diophante,

( x 1 2 – y 1 2 ) ( x 2 2 – y 2 2 ) = ( x 1 x 2 + y 1 y 2 ) 2 – ( x 1 y 2 + x 2 y 1 ) 2 . {\displaystyle (x_{1}^{2}-y_{1}^{2})(x_{2}^{2}-y_{2}^{2})=(x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2})^{2}-(x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1})^{2}.}

Utilisant son identité et le fait que si (x1, y1) et (x2, y2) sont solutions des équations x2 – Ny2 = k1 et x2 – Ny2 = k2, respectivement, alors (x1x2 + Ny1y2, x1y2 + x2y1) est solution de x2 – Ny2 = k1k2, il a pu trouver des solutions intégrales à l’équation de Pell par une série d’équations de la forme x2 – Ny2 = ki. Brahmagupta n’a pas pu appliquer sa solution uniformément pour toutes les valeurs possibles de N, il a seulement pu montrer que si x2 – Ny2 = k a une solution entière pour k = ±1, ±2 ou ±4, alors x2 – Ny2 = 1 a une solution. La solution de l’équation générale de Pell devra attendre Bhaskara II vers 1150 CE.

GéométrieEdit

Formule de BrahmaguptaEdit

Le résultat le plus célèbre de Brahmagupta en géométrie est sa formule pour les quadrilatères cycliques. Étant donné les longueurs des côtés de tout quadrilatère cyclique, Brahmagupta a donné une formule approximative et une formule exacte pour l’aire de la figure,

12,21. L’aire approximative est le produit des moitiés des sommes des côtés et des côtés opposés d’un triangle et d’un quadrilatère. L’exacte est la racine carrée du produit des moitiés des sommes des côtés diminués par côté du quadrilatère.

Donc, étant donné les longueurs p, q, r et s d’un quadrilatère cyclique, l’aire approximative est p + r/2 – q + s/2 tandis que, en laissant t = p + q + r + s/2, l’aire exacte est

√(t – p)(t – q)(t – r)(t – s).

Bien que Brahmagupta ne dise pas explicitement que ces quadrilatères sont cycliques, il ressort de ses règles que c’est le cas. La formule de Héron est un cas particulier de cette formule et elle peut être dérivée en mettant un des côtés égal à zéro.

TrianglesEdit

Brahmagupta a consacré une partie importante de son œuvre à la géométrie. Un théorème donne les longueurs des deux segments en lesquels la base d’un triangle est divisée par son altitude :

12,22. La base diminuait et augmentait de la différence entre les carrés des côtés divisés par la base ; divisés par deux, ce sont les vrais segments. La perpendiculaire est la racine carrée du carré d’un côté diminué du carré de son segment.

Donc les longueurs des deux segments sont 1/2(b ± c2 – a2/b).

Il donne en outre un théorème sur les triangles rationnels. Un triangle ayant des côtés rationnels a, b, c et une aire rationnelle est de la forme :

a = 1 2 ( u 2 v + v ) , b = 1 2 ( u 2 w + w ) , c = 1 2 ( u 2 v – v + u 2 w – w ) {\displaystyle a={\frac {1}{2}}\left({\frac {u^{2}}{v}}+v\right),\\N- b={\frac {1}{2}}\left({\frac {u^{2}}{w}}+w\right),\N- c={\frac {1}{2}}\left({\frac {u^{2}}{v}}-v+{\frac {u^{2}}{w}-w\right)}

pour certains nombres rationnels u, v, et w.

Thorème de BrahmaguptaModifié

Brahmagupta poursuit,

12.23. La racine carrée de la somme des deux produits des côtés et des côtés opposés d’un quadrilatère non égal est la diagonale. Le carré de la diagonale est diminué du carré de la moitié de la somme de la base et du sommet ; la racine carrée est la perpendiculaire .

Donc, dans un quadrilatère cyclique « non-égal » (c’est-à-dire un trapèze isocèle), la longueur de chaque diagonale est √pr + qs.

Il continue à donner des formules pour les longueurs et les aires des figures géométriques, comme le rayon de circonférence d’un trapèze isocèle et d’un quadrilatère scalène, et les longueurs des diagonales dans un quadrilatère cyclique scalène. Cela conduit au célèbre théorème de Brahmagupta,

12.30-31. En imaginant deux triangles intérieurs aux côtés inégaux, les deux diagonales sont les deux bases. Leurs deux segments sont séparément les segments supérieur et inférieur à l’intersection des diagonales. Les deux des deux diagonales sont les deux côtés d’un triangle ; la base . Sa perpendiculaire est la partie inférieure de la perpendiculaire ; la partie supérieure de la perpendiculaire est la moitié de la somme des perpendiculaires diminuée de la partie inférieure .

PiEdit

Au verset 40, il donne les valeurs de π,

12,40. Le diamètre et le carré du rayon multiplié par 3 sont la circonférence pratique et l’aire . Les exacts sont les racines carrées des carrés de ces deux multipliés par dix.

Donc Brahmagupta utilise 3 comme valeur « pratique » de π, et 10 ≈ 3,1622 … {\displaystyle {\sqrt {10}}\approx 3,1622\ldots }.

comme valeur « précise » de π. L’erreur de cette valeur « précise » est inférieure à 1%.

Mesures et constructionsEdit

Dans certains des versets précédant le verset 40, Brahmagupta donne des constructions de diverses figures aux côtés arbitraires. Il manipule essentiellement des triangles droits pour produire des triangles isocèles, des triangles scalènes, des rectangles, des trapèzes isocèles, des trapèzes isocèles à trois côtés égaux et un quadrilatère cyclique scalène.

Après avoir donné la valeur de pi, il traite de la géométrie des figures planes et des solides, comme la recherche des volumes et des surfaces (ou espaces vides creusés dans les solides). Il trouve le volume des prismes rectangulaires, des pyramides, et le tronc d’une pyramide carrée. Il trouve également la profondeur moyenne d’une série de fosses. Pour le volume d’un tronc de pyramide, il donne la valeur « pragmatique » comme la profondeur multipliée par le carré de la moyenne des arêtes des faces supérieure et inférieure, et il donne le volume « superficiel » comme la profondeur multipliée par leur aire moyenne.

TrigonométrieEdit

Table des sinusEdit

Dans le chapitre 2 de son Brahmasphutasiddhanta, intitulé Longitudes réelles planétaires, Brahmagupta présente une table des sinus:

2.2-5. Les sinus : Les Progéniteurs, jumeaux ; Ursa Major, jumeaux, les Védas ; les dieux, feux, six ; saveurs, dés, les dieux ; la lune, cinq, le ciel, la lune ; la lune, flèches, soleils

Ici Brahmagupta utilise des noms d’objets pour représenter les chiffres des valeurs numériques de lieu, comme cela était courant avec les données numériques dans les traités sanskrits. Les géniteurs représentent les 14 géniteurs (« Manu ») de la cosmologie indienne ou 14, « jumeaux » signifie 2, « Ursa Major » représente les sept étoiles d’Ursa Major ou 7, « Vedas » fait référence aux 4 Vedas ou 4, le dé représente le nombre de faces du dé traditionnel ou 6, et ainsi de suite. Ces informations peuvent être traduites dans la liste des sinus, 214, 427, 638, 846, 1051, 1251, 1446, 1635, 1817, 1991, 2156, 2312, 1459, 2594, 2719, 2832, 2933, 3021, 3096, 3159, 3207, 3242, 3263, et 3270, le rayon étant de 3270.

Formule d’interpolationEdit

En 665, Brahmagupta a conçu et utilisé un cas particulier de la formule d’interpolation de Newton-Stirling du second ordre pour interpoler de nouvelles valeurs de la fonction sinus à partir d’autres valeurs déjà tabulées. La formule donne une estimation de la valeur d’une fonction f à une valeur a + xh de son argument (avec h > 0 et -1 ≤ x ≤ 1) lorsque sa valeur est déjà connue à a – h, a et a + h.

La formule de l’estimation est :

f ( a + x h ) ≈ f ( a ) + x Δ f ( a ) + Δ f ( a – h ) 2 + x 2 Δ 2 f ( a – h ) 2 ! . {\displaystyle f(a+xh)\approx f(a)+x{\frac {\Delta f(a)+\Delta f(a-h)}{2}}+x^{2}{\frac {\Delta ^{2}f(a-h)}{2!}.}.