Espace de Banach

Opérateurs linéaires, isomorphismesModifier

Si X et Y sont des espaces normés sur le même champ fondamental K, l’ensemble de toutes les cartes continues K-linéaires T : X → Y est noté B(X, Y). Dans les espaces de dimension infinie, toutes les applications linéaires ne sont pas continues. Une application linéaire d’un espace normé X à un autre espace normé est continue si et seulement si elle est bornée sur la boule unitaire fermée de X. Ainsi, on peut donner à l’espace vectoriel B(X, Y) l’opérateur norm

‖ T ‖ = sup { ‖ T x ‖ Y ∣ x ∈ X , ‖ x ‖ X ≤ 1 } . {\displaystyle \|T\|=\sup \left\{\c}Tx\|_{Y}\mid x\\in X,\\|x\|_{X}\leq 1\right\}.}

Pour Y un espace de Banach, l’espace B(X, Y) est un espace de Banach par rapport à cette norme.

Si X est un espace de Banach, l’espace B(X) = B(X, X) forme une algèbre de Banach unitaire ; l’opération de multiplication est donnée par la composition de cartes linéaires.

Si X et Y sont des espaces normés, ils sont des espaces normés isomorphes s’il existe une bijection linéaire T : X → Y telle que T et son inverse T -1 sont continus. Si l’un des deux espaces X ou Y est complet (ou réflexif, séparable, etc.) alors l’autre l’est aussi. Deux espaces normés X et Y sont isomorphes si en plus, T est une isométrie, c’est-à-dire , ||T(x)|| = ||x|| pour tout x dans X. La distance de Banach-Mazur d(X, Y) entre deux espaces X et Y isomorphes mais non isométriques donne une mesure de la différence entre les deux espaces X et Y.

Notions de baseModification

Le produit cartésien X × Y de deux espaces normés n’est pas canoniquement doté d’une norme. Cependant, plusieurs normes équivalentes sont couramment utilisées, telles que

‖ ( x , y ) ‖ 1 = ‖ x ‖ + ‖ y ‖ , ‖ ( x , y ) ‖ ∞ = max ( ‖ x ‖ , ‖ y ‖ ) {\displaystyle \|(x,y)\|_{1}=\|x\|+\|y\|,\qquad \|(x,y)\|_{\infty }=\max(\|x|,\|y|)}

et donnent lieu à des espaces normés isomorphes. En ce sens, le produit X × Y (ou la somme directe X ⊕ Y) est complet si et seulement si les deux facteurs sont complets.

Si M est un sous-espace linéaire fermé d’un espace normé X, il existe une norme naturelle sur l’espace quotient X / M,

‖ x + M ‖ = inf m ∈ M ‖ x + m ‖ . {\displaystyle \|x+M\|=\inf \limits _{m\in M}\|x+m\|.}

Le quotient X / M est un espace de Banach lorsque X est complet. La carte quotient de X sur X / M, envoyant x dans X à sa classe x + M, est linéaire, ondulée et a pour norme 1, sauf lorsque M = X, auquel cas le quotient est l’espace nul.

Le sous-espace linéaire fermé M de X est dit être un sous-espace complémenté de X si M est le domaine d’une projection linéaire bornée P de X sur M. Dans ce cas, l’espace X est isomorphe à la somme directe de M et de Ker(P), le noyau de la projection P.

Supposons que X et Y soient des espaces de Banach et que T ∈ B(X, Y). Il existe une factorisation canonique de T sous la forme

T = T 1 ∘ π , T : X ⟶ π X / Ker ( T ) ⟶ T 1 Y {\displaystyle T=T_{1}\circ \pi ,\ \\ \ T:X\ {\overset {\pi }{\longrightarrow }}\ X/\operatorname {Ker} (T)\ {\ {\overset {T_{1}}{\longrightarrow }}\ Y}

où la première carte π est la carte du quotient, et la seconde carte T1 envoie chaque classe x + Ker(T) dans le quotient à l’image T(x) dans Y. Ceci est bien défini car tous les éléments d’une même classe ont la même image. La cartographie T1 est une bijection linéaire de X / Ker(T) sur l’intervalle T(X), dont l’inverse n’a pas besoin d’être borné.

Espaces classiquesModifié

Les exemples basiques d’espaces de Banach comprennent : les espaces Lp et leurs cas particuliers, les espaces de suites ℓp qui consistent en des suites scalaires indexées par N ; parmi eux, l’espace ℓ1 des suites absolument sommables et l’espace ℓ2 des suites sommables au carré ; l’espace c0 des suites tendant vers zéro et l’espace ℓ∞ des suites bornées ; l’espace C(K) des fonctions scalaires continues sur un espace de Hausdorff compact K, muni de la norme max,

‖ f ‖ C ( K ) = max { | f ( x ) | : x ∈ K } , f ∈ C ( K ) . {\displaystyle \|f\|_{C(K)}=\max\{|f(x)|:x\in K\},\quad f\in C(K).}

Selon le théorème de Banach-Mazur, tout espace de Banach est isométriquement isomorphe à un sous-espace d’un certain C(K). Pour tout espace de Banach séparable X, il existe un sous-espace fermé M de ℓ1 tel que X ≅ ℓ1/M.

Tout espace de Hilbert sert d’exemple d’espace de Banach. Un espace de Hilbert H sur K = R, C est complet pour une norme de la forme

‖ x ‖ H = ⟨ x , x ⟩ , {\displaystyle \|x\|_{H}={\sqrt {\langle x,x\rangle }},}

où

⟨ ⋅ , ⋅ ⟩ : H × H → K {\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle :H\times H\to \mathbf {K} }

est le produit interne, linéaire en son premier argument qui satisfait à ce qui suit :

∀ x , y ∈ H : ⟨ y , x ⟩ = ⟨ x , y ⟩ ¯ , ∀ x ∈ H : ⟨ x , x ⟩ ≥ 0 , ⟨ x , x ⟩ = 0 ⇔ x = 0. {\displaystyle {\begin{aligned}\pour tout x,y\in H:\quad \langle y,x\rangle &={\overline {\langle x,y\rangle }},\\pour tout x\in H:\quad \langle x,x\rangle &\geq 0,\\\\langle x,x\rangle =0\flèche gauche x&=0.\end{aligned}}

Par exemple, l’espace L2 est un espace de Hilbert.

Les espaces de Hardy, les espaces de Sobolev sont des exemples d’espaces de Banach qui sont liés aux espaces Lp et ont une structure supplémentaire. Ils sont importants dans différentes branches de l’analyse, l’analyse harmonique et les équations différentielles partielles entre autres.

Alges de BanachEdit

Une algèbre de Banach est un espace de Banach A sur K = R ou C, ainsi qu’une structure d’algèbre sur K, telle que la carte produit A × A ∋ (a, b) ↦ ab ∈ A est continue. On peut trouver une norme équivalente sur A telle que ||ab|| ≤ ||a|| ||b|| pour tout a, b ∈ A.

ExemplesEdit

• L’espace de Banach C(K), avec le produit ponctuel, est une algèbre de Banach.
• L’algèbre de disque A(D) est constituée de fonctions holomorphes dans le disque unitaire ouvert D ⊂ C et continues sur sa fermeture : D. Munie de la norme max sur D, l’algèbre de disque A(D) est une sous-algèbre fermée de C(D).
• L’algèbre de Wiener A(T) est l’algèbre des fonctions sur le cercle unitaire T avec des séries de Fourier absolument convergentes. Via la carte associant une fonction sur T à la suite de ses coefficients de Fourier, cette algèbre est isomorphe à l’algèbre de Banach ℓ1(Z), où le produit est la convolution des suites.
• Pour tout espace de Banach X, l’espace B(X) des opérateurs linéaires bornés sur X, avec la composition des cartes comme produit, est une algèbre de Banach.
• Une algèbre C* est une algèbre de Banach complexe A avec une involution anti-linéaire a ↦ a∗ telle que ||a∗a|| = ||a||2. L’espace B(H) des opérateurs linéaires bornés sur un espace de Hilbert H est un exemple fondamental de C*-algèbre. Le théorème de Gelfand-Naimark stipule que toute C*-algèbre est isométriquement isomorphe à une C*-sous-algèbre d’une certaine B(H). L’espace C(K) des fonctions continues complexes sur un espace de Hausdorff compact K est un exemple de C*-algèbre commutative, où l’involution associe à toute fonction f son conjugué complexe f .

Espace dualEdit

Si X est un espace normé et K le champ sous-jacent (soit les nombres réels, soit les nombres complexes), l’espace dual continu est l’espace des applications linéaires continues de X en K, ou des fonctionnelles linéaires continues. Dans cet article, la notation pour le dual continu est X ′ = B(X, K). Puisque K est un espace de Banach (en utilisant la valeur absolue comme norme), le dual X ′ est un espace de Banach, pour tout espace normé X.

Le principal outil pour prouver l’existence de fonctionnelles linéaires continues est le théorème de Hahn-Banach.

Théorème de Hahn-Banach. Soit X un espace vectoriel sur le champ K = R, C. Soit en outre

• Y ⊆ X un sous-espace linéaire,
• p : X → R une fonction sous-linéaire et
• f : Y → K une fonctionnelle linéaire telle que Re( f (y)) ≤ p(y) pour tout y dans Y.

Alors, il existe une fonctionnelle linéaire F : X → K telle que F | Y = f , et ∀ x ∈ X , Re ( F ( x ) ) ≤ p ( x ) . {\displaystyle F|_{Y}=f,\quad {\text{and}\quad \forall x\in X,\ \N-operatorname {Re} (F(x))\leq p(x).}

En particulier, toute fonctionnelle linéaire continue sur un sous-espace d’un espace normé peut être étendue de façon continue à l’espace entier, sans augmenter la norme de la fonctionnelle. Un cas particulier important est le suivant : pour tout vecteur x dans un espace normé X, il existe une fonctionnelle linéaire continue f sur X telle que

f ( x ) = ‖ x ‖ X , ‖ f ‖ X ′ ≤ 1. {\displaystyle f(x)=\|x\|_{X},\aquad \|f\|_{X’}\a 1.}

Lorsque x n’est pas égal au vecteur 0, la fonctionnelle f doit avoir la norme un, et est appelée une fonctionnelle normative pour x.

Le théorème de séparation de Hahn-Banach stipule que deux ensembles convexes non vides disjoints dans un espace réel de Banach, dont l’un est ouvert, peuvent être séparés par un hyperplan affine fermé. L’ensemble convexe ouvert se trouve strictement d’un côté de l’hyperplan, le second ensemble convexe se trouve de l’autre côté mais peut toucher l’hyperplan.

Un sous-ensemble S dans un espace de Banach X est total si l’étendue linéaire de S est dense dans X. Le sous-ensemble S est total dans X si et seulement si la seule fonctionnelle linéaire continue qui disparaît sur S est la fonctionnelle 0 : cette équivalence découle du théorème de Hahn-Banach.

Si X est la somme directe de deux sous-espaces linéaires fermés M et N, alors le dual X ′ de X est isomorphe à la somme directe des duals de M et N. Si M est un sous-espace linéaire fermé dans X, on peut associer l’orthogonal de M dans le dual,

M ⊥ = { x ′ ∈ X ′ : x ′ ( m ) = 0 , ∀ m ∈ M } . . {\displaystyle M^{\perp }=\left\{{x’\in X’:x'(m)=0,\ \pour tout m\in M\right\}.}

L’orthogonal M ⊥ est un sous-espace linéaire fermé du dual. Le dual de M est isométriquement isomorphe à X ′ / M ⊥. Le dual de X / M est isométriquement isomorphe à M ⊥.

Le dual d’un espace de Banach séparable ne doit pas nécessairement être séparable, mais:

Théorème. Soit X un espace normé. Si X ′ est séparable, alors X est séparable.

Lorsque X ′ est séparable, le critère de totalité ci-dessus peut être utilisé pour prouver l’existence d’un sous-ensemble total dénombrable dans X.

Topologies faiblesModification

La topologie faible sur un espace de Banach X est la topologie la plus grossière sur X pour laquelle tous les éléments x ′ dans l’espace dual continu X ′ sont continus. La topologie de la norme est donc plus fine que la topologie faible. Il découle du théorème de séparation de Hahn-Banach que la topologie faible est Hausdorff, et qu’un sous-ensemble convexe fermé par la norme d’un espace de Banach est aussi faiblement fermé. Une carte linéaire normo-continue entre deux espaces de Banach X et Y est aussi faiblement continue, c’est-à-dire continue de la topologie faible de X à celle de Y.

Si X est de dimension infinie, il existe des cartes linéaires qui ne sont pas continues. L’espace X∗ de toutes les applications linéaires de X au champ sous-jacent K (cet espace X∗ est appelé espace dual algébrique, pour le distinguer de X ′) induit également une topologie sur X qui est plus fine que la topologie faible, et beaucoup moins utilisée en analyse fonctionnelle.

Sur un espace dual X ′, il existe une topologie plus faible que la topologie faible de X ′, appelée topologie faible*. C’est la topologie la plus grossière sur X ′ pour laquelle toutes les cartes d’évaluation x′ ∈ X ′ → x′(x), x ∈ X, sont continues. Son importance vient du théorème de Banach-Alaoglu.

Théorème de Banach-Alaoglu. Soit X un espace vectoriel normé. Alors la boule unitaire fermée B ′ = {x′ ∈ X ′ : ||x′|| ≤ 1} de l’espace dual est compacte dans la topologie faible*.

Le théorème de Banach-Alaoglu dépend du théorème de Tychonoff sur les produits infinis d’espaces compacts. Lorsque X est séparable, la boule unité B ′ du dual est un compact métrizable dans la topologie faible*.

Exemples d’espaces duauxModifié

Le dual de c0 est isométriquement isomorphe à ℓ1 : pour toute fonctionnelle linéaire bornée f sur c0, il existe un unique élément y = {yn} ∈ ℓ1 tel que

f ( x ) = ∑ n ∈ N x n y n , x = { x n } ∈ c 0 , et ‖ f ‖ ( c 0 ) ′ = ‖ y ‖ ℓ 1 . {\displaystyle f(x)=\sum _{n\in \mathbf {N} }x_{n}y_{n},\qquad x=\{x_{n}\\\{\i1}dans c_{0},\\N{text{et}\N{\i} \i1}f\||{{{\i}(c_{0})’}={\i}y{\i}{\i}ell _{1}}.}

Le dual de ℓ1 est isométriquement isomorphe à ℓ∞. Le dual de Lp() est isométriquement isomorphe à Lq() lorsque 1 ≤ p < ∞ et 1/p + 1/q = 1.

Pour tout vecteur y dans un espace de Hilbert H, le mapping

x ∈ H → f y ( x ) = ⟨ x , y ⟩ {\displaystyle x\in H\to f_{y}(x)=\langle x,y\rangle }.

définit une fonctionnelle linéaire continue fy sur H. Le théorème de représentation de Riesz stipule que toute fonctionnelle linéaire continue sur H est de la forme fy pour un vecteur y défini de manière unique dans H. Le mapping y ∈ H → fy est une bijection isométrique anti-linéaire de H sur son dual H ′. Lorsque les scalaires sont réels, cette application est un isomorphisme isométrique.

Lorsque K est un espace topologique compact de Hausdorff, le dual M(K) de C(K) est l’espace des mesures de Radon au sens de Bourbaki. Le sous-ensemble P(K) de M(K) constitué de mesures non négatives de masse 1 (mesures de probabilité) est un sous-ensemble convexe w*-fermé de la boule unitaire de M(K). Les points extrêmes de P(K) sont les mesures de Dirac sur K. L’ensemble des mesures de Dirac sur K, équipé de la topologie w*, est homéomorphe à K.

Théorème de Banach-Stone. Si K et L sont des espaces de Hausdorff compacts et si C(K) et C(L) sont isométriquement isomorphes, alors les espaces topologiques K et L sont homéomorphes.

Le résultat a été étendu par Amir et Cambern au cas où la distance multiplicative de Banach-Mazur entre C(K) et C(L) est <2. Le théorème n’est plus vrai lorsque la distance est = 2.

Dans l’algèbre de Banach commutative C(K), les idéaux maximaux sont précisément des noyaux de mesures de Dirac sur K,

I x = ker δ x = { f ∈ C ( K ) : f ( x ) = 0 }. , x ∈ K . {\displaystyle I_{x}=\ker \delta _{x}=\{f\in C(K):f(x)=0\},\quad x\\in K.}

Plus généralement, par le théorème de Gelfand-Mazur, les idéaux maximaux d’une algèbre de Banach commutative unitaire peuvent être identifiés avec ses caractères – non pas simplement comme des ensembles mais comme des espaces topologiques : le premier avec la topologie du noyau de coque et le second avec la topologie w*. Dans cette identification, l’espace idéal maximal peut être vu comme un sous-ensemble w*-compact de la boule unité dans le dual A ′.

Théorème. Si K est un espace de Hausdorff compact, alors l’espace idéal maximal Ξ de l’algèbre de Banach C(K) est homéomorphe à K.

Toute algèbre de Banach commutative unitaire n’est pas de la forme C(K) pour un certain espace de Hausdorff compact K. Cependant, cet énoncé tient si on place C(K) dans la plus petite catégorie des C*-algèbres commutatives. Le théorème de représentation de Gelfand pour les C*-algèbres commutatives stipule que toute C*-algèbre unitaire commutative A est isométriquement isomorphe à un espace C(K). L’espace compact de Hausdorff K est ici encore l’espace idéal maximal, aussi appelé le spectre de A dans le contexte des C*-algèbres.

BidualEdit

Si X est un espace normé, le dual (continu) X ′′ du dual X ′ est appelé bidual, ou second dual de X. Pour tout espace normé X, il existe une carte naturelle,

{F X : X → X ″ F X ( x ) ( f ) = f ( x ) ∀ x ∈ X , ∀ f ∈ X ′ {\displaystyle {\begin{cases}F_{X} :X\to X »\F_{X}(x)(f)=f(x)&\pour tout x\in X,\pour tout f\in X’\end{cases}}}

Ceci définit FX(x) comme une fonctionnelle linéaire continue sur X ′, c’est-à-dire un élément de X ′′. La carte FX : x → FX(x) est une carte linéaire de X vers X ′′. Comme conséquence de l’existence d’une fonctionnelle normative pour tout x dans X, cette carte FX est isométrique, donc injective.

Par exemple, le dual de X = c0 est identifié à ℓ1, et le dual de ℓ1 est identifié à ℓ∞, l’espace des suites scalaires bornées. Sous ces identifications, FX est la carte d’inclusion de c0 à ℓ∞. Elle est en effet isométrique, mais non onto.

Si FX est surjective, alors l’espace normé X est dit réflexif (voir ci-dessous). Étant le dual d’un espace normé, le bidual X ′′ est complet, par conséquent, tout espace normé réflexif est un espace de Banach.

En utilisant l’encastrement isométrique FX, il est habituel de considérer un espace normé X comme un sous-ensemble de son bidual. Lorsque X est un espace de Banach, on le considère comme un sous-espace linéaire fermé de X ′′. Si X n’est pas réflexif, la boule unité de X est un sous-ensemble propre de la boule unité de X ′′. Le théorème de Goldstine affirme que la boule unitaire d’un espace normé est faiblement*-dense dans la boule unitaire du bidule. Autrement dit, pour tout x ′′ dans le bidule, il existe un filet {xj} dans X tel que

sup j ‖ x j ‖ ≤ ‖ x ″ ‖ , x ″ ( f ) = lim j f ( x j ) , f ∈ X ′ . {\displaystyle \sup _{j}\|x_{j}\\_leq \|x »\|,\ \ x »(f)=\lim _{j}f(x_{j}),\quad f\\in X’.}

Le réseau peut être remplacé par une suite faiblement* convergente lorsque le dual X ′ est séparable. Par contre, les éléments du bidual de ℓ1 qui ne sont pas dans ℓ1 ne peuvent pas être des limites faibles* de séquences dans ℓ1, puisque ℓ1 est faiblement séquentielle complète.

Théorèmes de BanachModification

Voici les principaux résultats généraux sur les espaces de Banach qui remontent à l’époque du livre de Banach (Banach (1932)) et sont liés au théorème de la catégorie de Baire. Selon ce théorème, un espace métrique complet (tel qu’un espace de Banach, un espace de Fréchet ou un espace F) ne peut pas être égal à une union d’un nombre dénombrable de sous-ensembles fermés dont l’intérieur est vide. Par conséquent, un espace de Banach ne peut pas être l’union d’un nombre dénombrable de sous-espaces fermés, à moins qu’il ne soit déjà égal à l’un d’entre eux ; un espace de Banach avec une base de Hamel dénombrable est de dimension finie.

Théorème de Banach-Steinhaus. Soit X un espace de Banach et Y un espace vectoriel normé. Supposons que F soit une collection d’opérateurs linéaires continus de X à Y. Le principe de délimitation uniforme stipule que si pour tout x dans X on a supT∈F ||T(x)||Y < ∞, alors supT∈F ||T||Y < ∞.

Le théorème de Banach-Steinhaus n’est pas limité aux espaces de Banach. Il peut être étendu par exemple au cas où X est un espace de Fréchet, à condition de modifier la conclusion comme suit : sous la même hypothèse, il existe un voisinage U de 0 dans X tel que tous les T dans F sont uniformément bornés sur U,

sup T ∈ F sup x ∈ U ‖ T ( x ) ‖ Y < ∞ . {\displaystyle \sup _{T\in F}\sup _{x\in U}\;\|T(x)\|_{Y}<\infty .}

Théorème de la correspondance ouverte. Soit X et Y des espaces de Banach et T : X → Y un opérateur linéaire continu surjectif, alors T est une carte ouverte. Corollaire. Tout opérateur linéaire borné univoque d’un espace de Banach sur un espace de Banach est un isomorphisme. Premier théorème d’isomorphisme pour les espaces de Banach. Supposons que X et Y sont des espaces de Banach et que T ∈ B(X, Y). Supposons en outre que le domaine de T est fermé dans Y. Alors X/ Ker(T) est isomorphe à T(X).

Ce résultat est une conséquence directe du théorème d’isomorphisme de Banach précédent et de la factorisation canonique des cartes linéaires bornées.

Corollaire. Si un espace de Banach X est la somme directe interne de sous-espaces fermés M1, …, Mn, alors X est isomorphe à M1 ⊕ … ⊕ Mn.

C’est une autre conséquence du théorème d’isomorphisme de Banach, appliqué à la bijection continue de M1 ⊕ … ⊕ Mn sur X envoyant (m1, …, mn) à la somme m1 + …. + mn.

Théorème du graphique fermé. Soit T : X → Y un mapping linéaire entre espaces de Banach. Le graphe de T est fermé dans X × Y si et seulement si T est continu.

ReflexivityEdit

L’espace normé X est dit réflexif lorsque la carte naturelle

{F X : X → X ″ F X ( x ) ( f ) = f ( x ) ∀ x ∈ X , ∀ f ∈ X ′ {\displaystyle {\begin{cases}F_{X}:X\to X »\\F_{X}(x)(f)=f(x)&\forall x\in X,\forall f\in X’\end{cases}}}.

est surjectif. Les espaces normés réflexifs sont des espaces de Banach.

Théorème. Si X est un espace de Banach réflexif, tout sous-espace fermé de X et tout espace quotient de X sont réflexifs.

C’est une conséquence du théorème de Hahn-Banach. De plus, par le théorème des cartographies ouvertes, s’il existe un opérateur linéaire borné de l’espace de Banach X sur l’espace de Banach Y, alors Y est réflexif.

Théorème. Si X est un espace de Banach, alors X est réflexif si et seulement si X ′ est réflexif. Corollaire. Soit X un espace de Banach réflexif. Alors X est séparable si et seulement si X ′ est séparable.

En effet, si le dual Y ′ d’un espace de Banach Y est séparable, alors Y est séparable. Si X est réflexif et séparable, alors le dual de X ′ est séparable, donc X ′ est séparable.

Théorème. Supposons que X1, …, Xn soient des espaces normés et que X = X1 ⊕ … ⊕ Xn. Alors X est réflexif si et seulement si chaque Xj est réflexif.

Les espaces de Hilbert sont réflexifs. Les espaces Lp sont réflexifs lorsque 1 < p < ∞. Plus généralement, les espaces uniformément convexes sont réflexifs, par le théorème de Milman-Pettis. Les espaces c0, ℓ1, L1(), C() ne sont pas réflexifs. Dans ces exemples d’espaces non réflexifs X, le bidule X ′′ est  » beaucoup plus grand  » que X. À savoir que sous l’encastrement isométrique naturel de X dans X ′′ donné par le théorème de Hahn-Banach, le quotient X ′′ / X est de dimension infinie, et même non séparable. Cependant, Robert C. James a construit un exemple d’espace non-réflexif, généralement appelé  » l’espace de James  » et noté J, tel que le quotient J ′′ / J est unidimensionnel. De plus, cet espace J est isométriquement isomorphe à son bidule.

Théorème. Un espace de Banach X est réflexif si et seulement si sa boule unitaire est compacte dans la topologie faible.

Quand X est réflexif, il s’ensuit que tous les sous-ensembles convexes fermés et bornés de X sont faiblement compacts. Dans un espace de Hilbert H, la compacité faible de la boule unitaire est très souvent utilisée de la manière suivante : toute suite bornée dans H a des sous-séquences faiblement convergentes.

La compacité faible de la boule unitaire fournit un outil pour trouver des solutions dans les espaces réflexifs à certains problèmes d’optimisation. Par exemple, toute fonction convexe continue sur la boule unitaire B d’un espace réflexif atteint son minimum en un point de B.

Comme cas particulier du résultat précédent, lorsque X est un espace réflexif sur R, toute fonctionnelle linéaire continue f dans X ′ atteint son maximum || f || sur la boule unitaire de X. Le théorème suivant de Robert C. James fournit un énoncé inverse.

Théorème de James. Pour un espace de Banach, les deux propriétés suivantes sont équivalentes :

• X est réflexif.
• pour tout f dans X ′ il existe x dans X avec ||x|| ≤ 1, de sorte que f (x) = || f ||.

Le théorème peut être étendu pour donner une caractérisation des ensembles convexes faiblement compacts.

Sur tout espace de Banach non réflexif X, il existe des fonctionnelles linéaires continues qui ne sont pas normatives. Cependant, le théorème de Bishop-Phelps stipule que les fonctionnelles contenant la norme sont normo-denses dans le dual X ′ de X.

Convergences faibles de suitesModifié

Une suite {xn} dans un espace de Banach X est faiblement convergente vers un vecteur x ∈ X si f (xn) converge vers f (x) pour toute fonctionnelle linéaire continue f dans le dual X ′. La suite {xn} est une suite de Cauchy faible si f (xn) converge vers une limite scalaire L( f ), pour toute f dans X ′. Une suite { fn } dans le dual X ′ est faiblement* convergente vers une fonctionnelle f ∈ X ′ si fn (x) converge vers f (x) pour tout x dans X. Les suites de Cauchy faibles, les suites faiblement convergentes et faiblement* convergentes sont bornées par une norme, conséquence du théorème de Banach-Steinhaus.

Lorsque la suite {xn} dans X est une suite de Cauchy faible, la limite L ci-dessus définit une fonctionnelle linéaire bornée sur le dual X ′, c’est-à-dire, un élément L du bidule de X, et L est la limite de {xn} dans la topologie faible* du bidule. L’espace de Banach X est faiblement séquentiellement complet si toute suite de Cauchy faible est faiblement convergente dans X. Il résulte de la discussion précédente que les espaces réflexifs sont faiblement séquentiellement complets.

Théorème. Pour toute mesure μ, l’espace L1(μ) est faiblement séquentiellement complet.

Une suite orthonormale dans un espace de Hilbert est un exemple simple de suite faiblement convergente, dont la limite est égale au vecteur 0. La base vectorielle unitaire de ℓp, 1 < p < ∞, ou de c0, est un autre exemple de séquence faiblement nulle, c’est-à-dire une séquence qui converge faiblement vers 0. Pour toute séquence faiblement nulle dans un espace de Banach, il existe une séquence de combinaisons convexes de vecteurs de la séquence donnée qui converge en norme vers 0.

La base vectorielle unitaire de ℓ1 n’est pas faiblement de Cauchy. Les séquences faiblement de Cauchy dans ℓ1 sont faiblement convergentes, puisque les espaces L1 sont faiblement complets séquentiellement. En fait, les séquences faiblement convergentes dans ℓ1 sont normalement convergentes. Cela signifie que ℓ1 satisfait la propriété de Schur.

Résultats impliquant la base ℓ1Edit

Les suites de Cauchy faiblement convergentes et la base ℓ1 sont les cas opposés de la dichotomie établie dans le résultat profond suivant de H. P. Rosenthal.

Théorème. Soit {xn} une suite bornée dans un espace de Banach. Soit {xn} possède une sous-séquence de Cauchy faible, soit elle admet une sous-séquence équivalente à la base vectorielle unitaire standard de ℓ1.

Un complément à ce résultat est dû à Odell et Rosenthal (1975).

Théorème. Soit X un espace de Banach séparable. Les résultats suivants sont équivalents :

• L’espace X ne contient pas de sous-espace fermé isomorphe à ℓ1.
• Chaque élément du bidule X ′′ est la limite faible* d’une suite {xn} dans X.

Selon le théorème de Goldstine, tout élément de la boule unitaire B ′′ de X ′′ est limite*faible d’un filet dans la boule unitaire de X. Lorsque X ne contient pas ℓ1, tout élément de B ′′ est limite*faible d’une suite dans la boule unitaire de X.

Lorsque l’espace de Banach X est séparable, la boule unité du dual X ′, muni de la topologie faible*, est un espace compact métrizable K, et tout élément x ′′ dans le bidule X ′′ définit une fonction bornée sur K :

x ′ ∈ K ↦ x ″ ( x ′ ) , | x ″ ( x ′ ) | ≤ ‖ x ″ ‖ . {\displaystyle x’\in K\mapsto x »(x’),\quad \left|x »(x’)\right|\leq \left\||x »\right|.}

Cette fonction est continue pour la topologie compacte de K si et seulement si x ′′ est effectivement dans X, considéré comme sous-ensemble de X ′′. Supposons en outre pour la suite du paragraphe que X ne contient pas ℓ1. Par le résultat précédent de Odell et Rosenthal, la fonction x ′′ est la limite ponctuelle sur K d’une suite {xn} ⊂ X de fonctions continues sur K, c’est donc une fonction de première classe de Baire sur K. La boule unité du bidule est un sous-ensemble compact ponctuel de première classe de Baire sur K.

Séquences, compacité faible et faible*Modification

Lorsque X est séparable, la boule unité du dual est faiblement*-compacte par Banach-Alaoglu et métrizable pour la topologie faible*, donc toute séquence bornée dans le dual a des sous-séquences faiblement* convergentes. Ceci s’applique aux espaces réflexifs séparables, mais plus est vrai dans ce cas, comme indiqué ci-dessous.

La topologie faible d’un espace de Banach X est métrizable si et seulement si X est de dimension finie. Si le dual X ′ est séparable, la topologie faible de la boule unité de X est métrizable. Ceci s’applique en particulier aux espaces de Banach réflexifs séparables. Bien que la topologie faible de la boule unitaire ne soit pas métrizable en général, on peut caractériser la compacité faible en utilisant des séquences.

Théorème d’Eberlein-Šmulian. Un ensemble A dans un espace de Banach est relativement faiblement compact si et seulement si toute séquence {an} dans A a une sous-séquence faiblement convergente.

Un espace de Banach X est réflexif si et seulement si chaque séquence bornée dans X a une sous-séquence faiblement convergente.

Un sous-ensemble A faiblement compact dans ℓ1 est norm-compact. En effet, toute séquence dans A a des sous-séquences faiblement convergentes par Eberlein-Šmulian, qui sont norm convergentes par la propriété de Schur de ℓ1.

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